55应用二元一次方程组——里程碑上的数 第一环节知识回顾 1.一个两位数的十位数字是x,个位数字是y,则这个两位数可表示为:10x+y 2.一个三位数,若百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:10 0a+10b+c 3.一个两位数,十位数字为a,个位数字为b,若在这两位数中间加一个0,得到一个三 位数,则这个三位数可表示为:100a+b 4.a为两位数,b是一个三位数,若把a放在b的左边得到一个五位数,则这个五位数可 1000a+b 设计意图:通过复习,为本节课的继续学习做好铺垫 实际效果:提问学生,教师加以点评,这样经过知识的回顾,学生基本能熟练地用代数式表 示有关数字问题。 第二环节情境引入 1. Flash动画,情景展示。 小明星期天开车出去兜风,他在公路上匀速行驶,根据动画中的情景,你 能确定他在12:00看到的里程碑上的数吗? 2:00是一个两位数,它的两个数字之和为7 3:00十位与个位数字与12:00所看到的正好颠倒了; 4:00比12:00时看到的两位数中间多了个0 分析:设小明在12:00看到的数十位数字是X,个位数字是y,那么 刻 百位数字H位数字 位数字 式 12:0 X 10X+y 13:00 y 10y+x 14:00 0 y 00x+y 相等关系:1.12:00看到的数,两个数字之和是7:X+y=7 2.路程差 12:00-13:00:(10y+x)-(10x+y), 13:00-14:00:(100x+y)-(10y+x), 路程差相等 (10y+x)-(10xy)=(100x+y)-(10y+x)
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 第一环节 知识回顾 １．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ. ２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：１０ ０ａ＋１０ｂ＋ｃ. ３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三 位数，则这个三位数可表示为：１００ａ＋ｂ. ４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可 表示为： １０００ａ＋ｂ. 设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫。 实际效果：提问学生，教师加以点评，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表 示有关数字问题。 第二环节 情境引入 1．Flash 动画，情景展 示。 小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你 能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？ １２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７； １３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了； １４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０． 分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是 y，那么 时刻 百位数字 十位数字 个位数字 表达式 １２：００ x y 10x+y １３：００] y x 10y+x １４：００ x 0 y 100x+y 相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７. ２．路程差： １２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y）， １３：００－１４：００： （１００x＋y）－（ １０y＋x）， 路程差相等： （１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）
根据以上分析,得方程组 x+y=7 (10y+x)-(10X+y)=(100Xy)-(10y+x) 解方程组 x+V=7 (10y+x)-(10X+y)=(100xy)-(10y+x) 整理得 x=1, 6x 解得 因此,小明在12:00时看到的里程碑上的数是16 提示:要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量;然后利用 相等关系列方程。 2. Flash动画,情景再现 3.学法小结 (1)对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等 量关系,这样,条理比较清楚 (2)借助方程组解决实际问题 设计意图:生动的情景引入,意在激发学生的学习兴趣;利用图表帮助分析使条 理清楚,降低思维难度,并使列方程解决问题的过程更加清晰;学法小结,着重 强调分析方法,养成归纳小结的良好习惯。 实际效果:动画引入,使数字问题变的更有趣,确实有效地激发了学生的兴趣 学生参与热情很高:借助图表分析,有效地克服了难点,学生基本都能借助图表 分析,在老师的引导下列出方程组 4.变式训练 师生共同研究下题: 有一个三位数,现将最左边的数字移到最右边,则比原来的数小45:又知 百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3,试求原来的3位 数 分析:数字问题中,设未知数也很有技巧,此问题中由十位数字和个位数字 组成的两位数是一个“整体”,可设为一个未知数y,百位数设为x 百位数字位数字个位数字表达式 原数 y
根据以上分析，得方程组 x＋y＝７ ， （１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）. 解方程组 x＋y＝７， （１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）. 整理得 因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６． 提示：要学会在图表中用含 未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用 相等关系列方程。 2．Flash 动画，情景再现. 3．学法小结： （1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等 量关系，这样，条理比较清楚． （２）借助方程组解决实际问题． 设计意图：生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助分析使条 理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；学法小结，着重 强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯。 实际效果：动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣， 学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点，学生基本都能借助图表 分析，在老师的引导下列出方程组。 4．变式训练 师生共同研究下题： 有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知 百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位 数． 分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字 组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数 y，百位数设为 x： 百位数字 十位数字 个位数字 表达式 原数 x y 100 x + y x＋y＝７， x = 1 ， y＝６x. 解得 y =6
新数 10y+ 相等关系:1.原三位数-45=新三位数 2.9×百位数字=两位数-3 解:设百位数字为X,由十位数字与个位数字组成的两位数为y, 根据题意的得 100+y=10yx 9Xy-3 解得1x=4, y=39 答:原来的三位数是439 设计意图:设计本题,意在让学生了解,在具体解决问题时,不一定直接设未知 数,设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一,是转化思想的应用手髟 实际效果:首先由学生思考,说出设未知数的方法,教师再给予点评、引导,然 后共同完成问题的解决。本例中,要求一个三位数,学生习惯设三个未知数,可 是只有两个等量关系,学生发现不太好解答,思维陷入僵局,这时通过教师的引 导,发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起,因此可 以将它们看成一个整体,这时学生一下子豁然开朗,然后列出了方程组并解出该 题 第三环节练习提高 1.李刚骑摩托车在公路上高速行驶,早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位 数,它的数字之和是9;8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和 十位数颠倒了;9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍,李刚在7:00 时看到的数字是18 分析:设李刚在7:00看到的数十位数字是X,个位数字是y,那么 「时刻十位数字个位数字 达式 X y 0 x+y 8:00 y 10y+X 9:00 8(10x+y) 设计意图:练习2是教材上“里程碑上的数”例题的变式,活学活用,强化图表 分析法,使学生知识过手。:(如果此例改为其它例题,未尝不可,但实践中我 们发现,对同一问题的变式运用更有利于学生掌握图表分析法)。 实际效果:本例的解答学生比较得心应手,最重要的是学生基本上都学会了用图 表来帮助分析数字问题
新数 y x 10 y + x 相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数 ２．９ 百位数字＝两位数－３ 解： 设百位数字为 x，由十位数字与个位数字组成的两位数为 y， 根据题意的得： １００x＋y＝１０y＋x， ９x＝y－３. 解得 x＝４， y＝3９. 答：原来的三位数是４３９． 设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知 数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。 实际效果：首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然 后共同完成问题的解决。本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可 是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引 导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可 以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该 题。 第三环节 练习提高 1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨 7:00 时看到里程碑上的数是一个两位 数，它的数字之和是 9；8:00 时看里程碑上的两位数与 7:00 时看到的个位数和 十位数颠倒了；9:00 时看到里程碑上的数是 7:00 时看到的数的 8 倍，李刚在 7:00 时看到的数字是 18 。 分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是 x，个位数字是 y，那么 时刻 十位数字 个位数字 表达式 ７：００ x y １０x＋y ８：００ y x １０y＋x ９：００ ８（１０x＋y） 设计意图：练习 2 是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表 分析法，使学生知识过手。 （如果此例改为其它例题，未尝不可，但实践中我 们发现，对同一问题的变式运用更有利于学生掌握图表分析法）。 实际效果：本例的解答学生比较得心应手，最重要的是学生基本上都学会了用图 表来帮助分析数字问题
2.选一选 小颖家离学校4800米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路。她跑步去 学校共用了30分。已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时,下坡时的平均速 度是12千米/时。问小颖上、下坡各多少千米? A.1.2,3. B.1.8,3 C.1.6,3.2. 分析:本题间接设未知数更简洁 解:设上坡x时,下坡y时,据题意得: 6x+12y=4.8 x+y=0.5. 解之得∫x=0.2, 0.2×6=1203×12=3.6 选A。 设计意图:在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数,有时关系式 难寻求,方程也难解。因此,可以根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个 量为未知数,以便找出符合题意的相等关系,从而达到解题的目的。当然,这两 个练习,也遵从了由易到难的原则。 实际效果:多数学生都解答本题目,都易考虑用间接设未知数,降低思维和计算 难度 3.列方程CIN公司第二季度进出口总额是980万元,第二季度进口额比 季度增长了39%,出口额增长了41%,进出口总额增长了40%,第二季度 的进,出口额分别是多少? 分析:设第二季度的进口额为X万元,出口额为y万元 进口额出口额进出口总额 季度 980 1+39%1+41%1+40% 季度 980 y 980 1+39% 40% X+y=980 若设第一季度的进口额为X万元,出口额为y万元,则: 进口额 出口额 进出口总额
2．选一选 小颖家离学校 4800 米，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路。她跑步去 学校共用了 30 分。已知小颖在上坡时的平均速度是 6 千米/时，下坡时的平均速 度是 12 千米/时。问小颖上、下坡各多少千米？ Ａ．1.2，3.6； Ｂ．1.8，3； Ｃ．1.6，3.2． 分析：本题间接设未知数更简洁. 解：设上坡 x 时，下坡 y 时，据题意得： 6x+12y=4.8 ， x＋y＝0.5. 解之得 x＝0.2， y＝0.3. 选Ａ。 设计意图：在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数，有 时关系式 难寻求，方程也难解。因此，可以根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个 量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的。当然，这两 个练习，也遵从了由易到难的原则。 实际效果：多数学生都解答本题目，都易考虑用间接设未知数，降低思维和计算 难度。 3．列方程 CIN 公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一 季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度 的进，出口额分别是多少？ 分析：设第二季度的进口额为 x 万元，出口额为 y 万元： 进口额 出口额 进出口总额 一季度 1+ 39% x 1+ 41% y 1 40% 980 + 二季度 x y ９８０ 1+ 39% x + 1+ 41% y = 1 40% 980 + ， x + y =980. 若设第一季度的进口额为 x 万元，出口额为 y 万元，则： 进口额 出口额 进出口总额 0.26 =1.2,0.312 = 3.6
季度 980÷(1+40%) X 980 (1+39%)X(1+41%)y 350 300 250 口进口 口出口 150 50 第一季度 第二季度 y=980÷(1+40%), (1+39%)x(1+41%y=980 根据学生设不同未知数出现不同的方程组,若没有考虑到另一种设法,教师给予 补充。 设计意图:练习3的设置,着重于直接设未知数和间接设未知数列出方程的对照 比较,使学生在设未知数时,以简洁和降低计算难度为优 实际效果:学生在直接设未知数时表示已知量未知量有部分学生出错,并且计算 难度较大;转化为间接设未知数的学生表达量更准确,计算难度更低;由此对比, 学生更易发现设间接未知数有时更利于方程组的建立和解答,从而把间接设未知 数作为列方程组解应用题的重要方面来考虑。 第四环节合作学习 现实生活和数学学习中,有许多问题可以借助二元一次方程组解决.试编制 个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题 学生分组进行编题和互评,然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用 题向全班同学汇报。(评选方法:切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误)
x＋y＝ ９８０÷（１＋４０％）， （１＋３９％）x＋（１＋４１％）y＝９８０. 根据学生设不同未知数出现不同的方程组，若没有考虑到另一种设法，教师给予 补充。 设计意图：练习 3 的设置，着重于直接设未知数和间接设未知数列出方程的对照 比较，使学生在设未知数时，以简洁和降低计算难度为优。 实际效果：学生在直接设未知数时表示已知量未知量有部分学生出错，并且计算 难度较大；转化为间接设未知数的学生表达量更准确，计算难度更低；由此对比， 学生更易发现设间接未知数有时更利于方程组的建立和解答，从而把间接设未知 数作为列方程组解应用题的重要方面来考虑。 第四环节 合作学习 现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制 一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题． x＋y＝２， ５x－y＝１０. 学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用 题向全班同学汇报。（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误） 一季度 x y ９８０÷（１＋４０％） 二季度 （１＋３９％） x （１＋４１％） y ９８０ 0 5 0 100 150 200 250 300 350 400 450 500 第一季度 第二季度 进 口 出 口
设计意图:着重于逆向思维训练,体会自己编题,从编题人的高度审视列方程组 解决实际应用题,同时培养学生的合作意识,通过合作,让学生互相评价、修正, 使学生思维跳出固定单一的生活圈,更关注与现实世界的交融,开阔视野 实际效果:有部分学生缺乏想象力,视野狭窄,经过同学互评纠正和互相学习对 现实问题与数学结合有了更深的体会。大多数学生对这种编题形式很感兴趣,课 堂气氛轻松活跃。 第五环节学习反思: 1.在很多实际问题中,都存在着一些等量关系,因此我们往往可以借助列方程或方程组的 方法来处理这些问题. 这种处理问题的过程可以进一步概括为: 分析 求解 问题□方程(组) 解答 抽象 检验 3.要注意的是,处理实际问题的方法是多种多样的,图表分析是一种直观简洁的方法,设 间接未知数可帮助转化问题,还可运用化归等数学思想方法,应根据具体问题灵活选用 设计意图:对学习内容作回顾整理,提炼方法思想 第六环节布置作业 1.甲、乙两个两位数,若把甲数放在乙数的左边,组成的四位数是乙数的201倍:若把乙 数放在甲数的左边,组成的四位数比上面的四位数小1188,求这两个数 2.某车间每天能生产甲种零件600个,或者乙种零300个,或丙种零件500个,甲、乙、 丙三种零件各1个就可以配成一套,要在63天内生产中,使生产的零件全部成套,问甲、乙 丙三种零件各应生产几天? 3.请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例 教学反思 1.突破难点的策略 列方程解应用题的分析方法多种多样,本课继上一节增收节支继续介绍分析 数字等问题的一种比较有效的方法一一图表分析法。本节课除了要解决数字问题 外,在设元的技巧上加以引导,如变式练习中设三个未知数无法解决的问题,可 以转化为通过视为整体设两个未知数解决;同时在练习2,3中选择直接未知数 和间接未知数列方程,比较设未知数的思维难度和计算难度,然后进行优化选择, 这样可以培养学生多种思维方式,突破难点 2.关注数学思想方法的揭示 数学思想方法是数学学习的灵魂。教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法 (如化归方法)的揭示,如果教学时间允许,可以专门介绍化归思想及其运用 这样既可提高学生的学习兴趣,开阔视野,同时也提高学生对数学思想的认识, 提升解题经验
设计意图：着重于逆向思维训练，体会自己编题，从编题人的高度审视列方程组 解决实际应用题，同时培养学生的合作意识，通过合作，让学生互相评价、修正， 使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。 实际效果：有部分学生缺乏想象力，视野狭窄，经过同学互评纠正和互相学习对 现实问题与数学结合有了更深的体会。大多数学生对这种编题形式很感兴趣，课 堂气氛轻松活跃。 第五环节 学习反思： １．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的 方法来处理这些问题． ２．这种处理问题的过程可以进一步概括为： 分析 求解 问题 方程（组） 解答 抽象 检验 ３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设 间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用． 设计意图：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想。 第六环节 布置作业 1．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的 201 倍；若把乙 数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小 1188，求这两个数． 2．某车间每天能生产甲种零件 600 个，或者乙种零 300 个，或丙种零件 500 个，甲、乙、 丙三种零件各 1 个就可以配成一套，要在 63 天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、 丙三种零件各应生产几天？ 3．请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例． 教学反思 1．突破难点的策略 列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析 数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法。本节课除了要解决数字问题 外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可 以转化为通过视为整体设两个未知数解决；同时在练习 2，3 中选择直接未知数 和间接未知数列方程，比较设未知数的思维难度和计算难度，然后进行优化选择， 这样可以培养学生多种思维方式，突破难点. 2．关注数学思想方法的揭示 数学思想方法是数学学习的灵魂。教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法 （如化归方法）的揭示，如果教学时间允许，可以专门介绍化归思想及其运用， 这样既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识， 提升解题经验