43一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质 、学生起点分析 八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”,对利用图象表示变量之 间的关系已有所认识,并能从图象中获取相关的信息,对函数与图象的联系还比 较陌生,需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系 二、教学任务分析 《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级(上)第 六章《一次函数》的第三节.本节内容安排了2个课时,第1课时是让学生了解函 数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法,明确一次函数的图象是一条直 线,能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归 类,探索一次函数及其图象的简单性质.本课时是第一课时,教材注重学生在探 索过程的体验,注重对函数与图象对应关系的认识 为此本节课的教学目标是 1.了解一次函数的图象是一条直线,能熟练作出一次函数的图象 2.经历函数图象的作图过程,初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描 点、连线 3.已知函数的代数表达式作函数的图象,培养学生数形结合的意识和能力 4.理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系. 教学重点是 初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线 教学难点是 理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系 教学过程设计 本节课设计了七个教学环节 第一环节:创设情境引入课题;
4.3 一次函数的图象 第 1 课时 正比例函数的图象和性质 一、学生起点分析 八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之 间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比 较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系． 二、教学任务分析 《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级（上）第 六章《一次函数》的第三节．本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函 数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直 线，能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归 类，探索一次函数及其图象的简单性质．本课时是第一课时，教材注重学生在探 索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识． 为此本节课的教学目标是: 1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象． 2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描 点、连线． 3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力． 4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系． 教学重点是: 初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． 教学难点是: 理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系． 三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节： 第一环节：创设情境 引入课题；
第二环节:画一次函数的图象 第三环节:动手操作,深化探索 第四环节:巩固练习,深化理解; 第五环节:课时小结; 第六环节:拓展探究; 第七环节:作业布置. 第一环节:创设情境引入课题 内容: 一天,小明以80米/分的速度去上学,请问小明离家的距离S(米)与小明 出发的时间t(分)之间的函数关系式是怎样的?它是一次函数吗?它是正比例 S_米) 函数吗?S=80t(t≥0) 80 下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗? t(分) 我们说,上面的图象是函数S=80t(t≥0)的图象,这 就是我们今天要学习的主要内容:一次函数的图象的特殊情况正比例函数的 图象。 目的:通过学生比较熟悉的生活情景,让学生在写函数关系式和认识图象的 过程中,初步感受函数与图象的联系,激发其学习的欲望 效果:学生通过对上述情景的分析,初步感受到函数与图象的联系,激发了 学生的学习欲望 第二环节:画正比例函数的图象 内容:首先我们来学习什么是函数的图象? 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐 标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成 的图形叫做该函数的图象( graph) 例1请作出正比例函数y=2x的图象 解:列表 …=2|:o:2|… x
第二环节：画一次函数的图象； 第三环节：动手操作，深化探索； 第四环节：巩固练习，深化理解； 第五环节：课时小结； 第六环节：拓展探究； 第七环节：作业布置． 第一环节：创设情境 引入课题 内容： 一天，小明以 80 米/分的速度去上学，请问小明离家的距离 S（米）与小明 出发的时间 t（分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例 函数吗？ S=80t（t≥0） 下面的图象能表示上面问题中的 S 与 t 的关系吗？ 我们说，上面的图象是函数 S=80t（t≥0）的图象,这 就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的 图象。 目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的 过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望． 效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了 学生的学习欲望． 第二环节：画正比例函数的图象 内容：首先我们来学习什么是函数的图象？ 把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐 标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成 的图形叫做该函数的图象（graph）． 例 1 请作出正比例函数 y=2x 的图象． 解：列表: x … -2 -1 0 1 2 … O t（分） 80 S（米） 1
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点 连线:把这些点依次连结起来,得到y=2x的图象 由例1我们发现:作一个函数的图象需要三个步骤: 列表,描点,连线. 目的:通过本环节的学习,让学生明确作一个函数图象的一般步骤,能做出 个函数的图象,同时感悟正比例函数图象是一条直线 效果:学生通过学习,掌握了作一个函数图象的一般方法,能作出一个函数 的图象,同时感悟到正比例函数图象是一条直线 第三环节:动手操作,深化探索 内容:儆一做 (1)作出正比例函数y=-3x的图象 (2)在所作的图象上取几个点,找出它们的横坐标和纵坐标,并验证它们 是否都满足关系y=-3x 请同学们以小组为单位,讨论下面的问题,把得出的结论写出来 (1)满足关系式y=-3x的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数y=-3x 的图象上吗? (2)正比例函数y=-3x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=-3x吗? (3)正比例函数y=kx的图象有什么特点? 明晰 由上面的讨论我们知道:正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的,即 满足正比例函数的代数表达式的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数的图 象上:正比例函数的图象上的点(x,y)都满足正比例函数的代数表达式.正比 例函数y=kx的图象是一条直线,以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线 议一议 既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线.那么在画正比例函数图 象时有没有什么简单的方法呢?
y=2x … -4 -2 0 2 4 … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． 连线：把这些点依次连结起来，得到 y=2x 的图象． 由例 1 我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤： 列表，描点，连线． 目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出 一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线． 效果：学生通过学习，掌握了作一个函数图象的一般方法，能作出一个函数 的图象，同时感悟到正比例函数图象是一条直线． 第三环节：动手操作，深化探索 内容：做一做 （1）作出正比例函数 y= − 3x 的图象． （2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们 是否都满足关系 y= − 3x． 请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来． （1）满足关系式 y= − 3x 的 x，y 所对应的点（x，y）都在正比例函数 y= − 3x 的图象上吗？ （2）正比例函数 y= − 3x 的图象上的点（x，y）都满足关系式 y= − 3x 吗？ （3）正比例函数 y=kx 的图象有什么特点？ 明晰 由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即 满足正比例函数的代数表达式的 x，y 所对应的点（x，y）都在正比例函数的图 象上；正比例函数的图象上的点（x，y）都满足正比例函数的代数表达式．正比 例函数 y=kx 的图象是一条直线，以后可以称正比例函数 y=kx 的图象为直线 y=kx． 议一议 既然我们得出正比例函数 y=kx 的图象是一条直线．那么在画正比例函数图 象时有没有什么简单的方法呢？
因为“两点确定一条直线”,所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出 两个点就可以了.因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,所以只需再 确定一个点就可以了,通常过(0,0),(1,k)作直线 例2在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-x,y=-4x的图象 解:列表 3 0 过点(0,0)和(1,1)作直线,则这条直线就是y=x的图象 过点(0,0)和(1,3)作直线,则这条直线就是y=3x的图象 过点(0,0)和(1,-)作直线,则这条直线就是y=-x的图象 过点(0,0)和(1,-4)作直线,则这条直线就是y=-4x的图象 目的:做一做“作出这几个正比例函y=4x yox 数的图象”,意在让学生进一步熟悉如何 作一个正比例函数的图象,同时要求学生 通过这几个函数的图象,分析正比例函数 图象的性质,以及k的绝对值大小与直线 倾斜程度的关系. 效果:学生通过作出正比例函数的图 象,明确了作函数图象的一般方法.在探 究函数与图象的对应关系中加深了理解, 并能很快地作出正比例函数的图象 议一议 上述四个函数中,随着x的增大y的值分别如 y--.X 何变化? 在正比例函数y=kx中
因为“两点确定一条直线 ”，所以画正比例函数 y=kx 的图象时可以只描出 两个点就可以了．因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,所以只需再 确定一个点就可以了,通常过(0,0),(1,k)作直线. 例 2 在同一直角坐标系内作出 y=x,y=3x,y=- 1 2 x,y=-4x 的图象． 解：列表 x 0 1 y=x 0 1 y=3x 0 3 y=- 1 2 x 0 - 1 2 y= − 4x 0 -4 过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是 y=x 的图象． 过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是 y=3x 的图象． 过点（0，0）和（1，- 1 2 ）作直线，则这条直线就是 y=- 1 2 x 的图象． 过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是 y=-4x 的图象． 目的：做一做“作出这几个正比例函 数的图象”，意在让学生进一步熟悉如何 作一个正比例函数的图象，同时要求学生 通过这几个函数的图象，分析正比例函数 图象的性质,以及 k 的绝对值大小与直线 倾斜程度的关系. 效果：学生通过作出正比例函数的图 象，明确了作函数图象的一般方法．在探 究函数与图象的对应关系中加深了理解， 并能很快地作出正比例函数的图象． 议一议 上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如 何变化? 在正比例函数y=kx中
当k>0时,图象在第一、三象限,y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观 察图象时,直线是向上倾斜的);当k0时,y与x的函数解析式为y=2x,当x≤0时,y与x的函数解析 式为y=-2x,则在同一直角坐标系中的图象大致为 练习3:对于函数y=-√3x的两个确定的值x、x2来说,当x1y2D.无法确定 目的:这里的三个练习题,一是让学生熟练正比例函数图象的作法,二是明 确正比例函数图象的性质,要注意自变量的取值范围
当k＞0时,图象在第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观 察图象时,直线是向上倾斜的);当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x 值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的). 请你进一步思考: （1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增 加得更快？你能说明其中的道理吗？ （2）正比例函数y=- 1 2 x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一 个减小得更快？你是如何判断的？ 我们发现： k 越大，直线越靠近y轴。 第四环节：巩固练习，深化理解 内容： 练习 1：在同一直角坐标系中分别作出 y= 2 1 x 与 y=- 1 3 x 的图象． 练习 2：当 x 0 时， y 与 x 的函数解析式为 y = 2x ，当 x 0 时， y 与 x 的函数解析 式为 y = −2x ，则在同一直角坐标系中的图象大致为( ) A B C D 练习 3：对于函数 y = − 3x 的两个确定的值 1 x 、 2 x 来说，当 1 2 x x 时， 对应的函数值 1 y 与 2 y 的关系是( ) A. 1 2 y y B. 1 2 y = y C. 1 2 y y D. 无法确定 目的：这里的三个练习题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明 确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围。 x y O x y O x y O x y O
效果:学生通过练习,进一步熟练了正比例函数图象的作法,对正比例函数 和正比例函数图象的一般特征有了清楚的认识 第五环节:课时小结 内容:本节课我们通过对正比例函数图象的研究,掌握了以下内容 (1)函数与图象之间是一一对应的关系 (2)正比例函数的图象是一条经过原点的直线 (3)作正比例函数图象时,只取原点外的另一个点,就能很快作出 目的:让学生在回忆的过程中,进一步加深对正比例函数图象的理解,同时 对本节所学知识有一个总结性的认识. 效果:学生通过对本节学习的回顾和小结,对所学知识更清楚,抓住了重点, 明确了关键 第六环节:拓展探究 内容: 如图所示,你认为下列结论中正确的是() A. k,<k,<k, B. k,<k C. k,<k<, D. k,<k,<k2 让他们的学习活动深入下去,同时为以后学习正y=k33/=k2x 目的:对学有余力的学生,能进一步提高 比例函数图象的应用奠定基础 y=kit 效果:学生通过对上面问题的探究,对正比 456 例函数图象的认识更深入 第七环节:作业布置 习题4.31、2、3、4题,5题选做。 四、教学设计反思 这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象,对函数与图
效果：学生通过练习，进一步熟练了正比例函数图象的作法，对正比例函数 和正比例函数图象的一般特征有了清楚的认识． 第五环节：课时小结 内容：本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容： （1）函数与图象之间是一一对应的关系； （2）正比例函数的图象是一条经过原点的直线． （3）作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出． 目的：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时 对本节所学知识有一个总结性的认识． 效果：学生通过对本节学习的回顾和小结，对所学知识更清楚，抓住了重点， 明确了关键． 第六环节：拓展探究 内容： 如图所示，你认为下列结论中正确的是（ ） A. 1 2 3 k k k B. 213 k k k C. 3 1 2 k k k D. 1 3 2 k k k 目的：对学有余力的学生，能进一步提高， 让他们的学习活动深入下去，同时为以后学习正 比例函数图象的应用奠定基础． 效果：学生通过对上面问题的探究，对正比 例函数图象的认识更深入． 第七环节：作业布置 习题 4.3 1、2、3、4 题，5 题选做。 四、教学设计反思 这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图
象的对应关系有点陌生.在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴 趣,对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践,去发现,对正比例函数的图 象是一条直线应让学生自己得出.在得出结论之后,让学生能运用“两点确定 条直线”,很快作出正比例函数的图象.在巩固练习活动中,鼓励学生积极思考, 提高学生解决实际问题的能力. 当然,根据学生状况,教学设计也应做出相应的调整。如第一环节:创设情境引 入课题,固然可以激发学生兴趣,但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求, 甚至对部分学生形成一定的认知障碍,因此该环节也可以直接开门见山,直入主 题,如提出问题:正比例函数的代数形式是y=kx,那么,一个正比例函数对应 的图形具有什么特征呢?
象的对应关系有点陌生．在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴 趣，对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图 象是一条直线应让学生自己得出．在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一 条直线”，很快作出正比例函数的图象．在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考， 提高学生解决实际问题的能力． 当然，根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整。如第一环节：创设情境 引 入课题，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求， 甚至对部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直入主 题，如提出问题：正比例函数的代数形式是 y=kx，那么，一个正比例函数对应 的图形具有什么特征呢？