4.2一次函数与正比例函数 教学目标一 1.掌握一次函数的概念,能根据条件写出一次函数的关系式:(重点) 2.掌握正比例函数的概念.(重点) 数学过程 情境导入 生活中,我们常常见到各式各样的钟表.时钟的秒针每旋转一圈,表示时间过了1min 旋转两圈,表示时间过了2min 那么,秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢? 合作探究 探究点 次函数与正比例函数 【类型一】一次函数与正比例函数的识别 例1下列函数关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数? (1)y=-x-4 (2)y=5x2-6 (3)y=2r (4)y=-2 (5)y (6)y=8x2+x(1-8x) 解析:首先看每个函数的表达式能否变形转化为y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的飛式, 如果x的次数是1,则是一次函数,否则不是一次函数;在一次函数中,如果常数项b=0, 那么它是正比例函数 解:(1)是一次函数,不是正比例函数 (2)不是一次函数,也不是正比例函数 3)是一次函数,也是正比例函数: (4)是一次函数,也是正比例函数; (5)不是一次函数,也不是正比例函数 (6)是一次函数,也是正比例函数 方法总结:一个函数是一次函数的条件:自变量是一次整式,一次项系数不为零;判
4．2 一次函数与正比例函数 1．掌握一次函数的概念，能根据条件写出一次函数的关系式；(重点) 2．掌握正比例函数的概念．(重点) 一、情境导入 生活中，我们常常见到各式各样的钟表．时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了 1min； 旋转两圈，表示时间过了 2min…… 那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？ 二、合作探究 探究点一：一次函数与正比例函数 【类型一】 一次函数与正比例函数的识别 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx; (4)y＝－ x 2 ； (5)y＝ 1 x ； (6)y＝8x2＋x(1－8x)． 解析：首先看每个函数的表达式能否变形转化为 y＝kx＋b(k≠0，k、b 是常数)的形式， 如果 x 的次数是 1，则是一次函数，否则不是一次函数；在一次函数中，如果常数项 b＝0， 那么它是正比例函数． 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 方法总结：一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零； 判
断一个函数是正比例函数的条件:自变量是一次整式,一次项系数不为零,常数项为零 【类型二】根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值 例2已知函数y=(m-5)xm2-24+m+1 (1)若它是一次函数,求m的值; (2)若它是正比例函数,求m的值 解析:(1)要使函数是一次函数,根据一次函数的定义x的指数m-24=1,且一次项系 数m-5≠0;(2)要使函数是正比例函数,除了满足上述条件外,还需加上m+1=0这个条 件 解:(1)因为y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数,所以m2-24=1且m-5≠0,所以m ±5且m≠5,所以m=-5.所以当m=-5时,函数y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数 (2)因为y=(m-5)xm2-24+m+1是一次函数,所以m-24=1且m-5≠0且m+1=0. 所以m=±5且m≠5且m=-1,则这样的m不存在,所以函数y=(m-5)xm2-24+m+1不 可能为正比例函数 方法总结:函数是一次函数,则k≠0,且自变量的次数为1.当b=0时,一次函数为正 比例函数 探究点二:一次函数关系式的确定 例3某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨,用以生产甲、乙两种产品, 生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表: 产品 资源/吨 煤的价格为400元/吨,生产1吨甲产品除需原料费用外,还需其他费用400元,甲产 品每吨售价4600元;生产1吨乙产品除原料费用外,还需其他费用500元,乙产品每吨售 价5500元,现将该矿石原料全部用完,设生产甲产品x吨,乙产品m吨,公司获得的总利 润为y元 (1)写出m与x的关系式; (2)写出y与x的函数关系式.(不要求写自变量的取值范围 解析:(1)因为矿石的总量一定,当生产的甲产品的数量x变化时,那么乙产品的产量 m将随之变化,m和x是动态变化的两个量;(2)题目中的等量关系为总利润y=甲产品的利 润+乙产品的利润 150-5 解:(1)因为4m+10x=300,所以m= (2)生产1吨甲产品获利为4600-10×200-4×400-400=600元);生产1吨乙产品
断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 【类型二】 根据一次函数与正比例函数的定义求字母的值 已知函数 y＝(m－5)xm 2－24＋m＋1. (1)若它是一次函数，求 m 的值； (2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解析：(1)要使函数是一次函数，根据一次函数的定义 x 的指数 m 2－24＝1，且一次项系 数 m－5≠0；(2)要使函数是正比例函数，除了满足上述条件外，还需加上 m＋1＝0 这个条 件． 解：(1)因为 y＝(m－5)xm 2－24＋m＋1 是一次函数，所以 m 2－24＝1 且 m－5≠0，所以 m ＝±5 且 m≠5，所以 m＝－5.所以当 m＝－5 时，函数 y＝(m－5)xm 2－24＋m＋1 是一次函数． (2)因为 y＝(m－5)xm 2－24＋m＋1 是一次函数，所以 m 2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0. 所以 m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1，则这样的 m 不存在，所以函数 y＝(m－5)xm 2－24＋m＋1 不 可能为正比例函数． 方法总结：函数是一次函数，则 k≠0，且自变量的次数为 1.当 b＝0 时，一次函数为正 比例函数． 探究点二：一次函数关系式的确定 某公司以每吨 200 元的价格购进某种矿石原料 300 吨，用以生产甲、乙两种产品， 生产 1 吨甲产品或 1 吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表： 产品 资源/吨 ) 甲 乙 矿石 10 4 煤 4 8 煤的价格为 400 元/吨，生产 1 吨甲产品除需原料费用外，还需其他费用 400 元，甲产 品每吨售价 4600 元；生产 1 吨乙产品除原料费用外，还需其他费用 500 元，乙产品每吨售 价 5500 元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品 x 吨，乙产品 m 吨，公司获得的总利 润为 y 元． (1)写出 m 与 x 的关系式； (2)写出 y 与 x 的函数关系式．(不要求写自变量的取值范围) 解析：(1)因为矿石的总量一定，当生产的甲产品的数量 x 变化时，那么乙产品的产量 m 将随之变化，m 和 x 是动态变化的两个量；(2)题目中的等量关系为总利润 y＝甲产品的利 润＋乙产品的利润． 解：(1)因为 4m＋10x＝300，所以 m＝ 150－5x 2 . (2)生产 1 吨甲产品获利为 4600－10×200－4×400－400＝600(元)；生产 1 吨乙产品
获利为5500-4×200-8×400-500=1000(元).所以y=600x+1000m.将m= 150-5x 得y=600+1002,即y=-1900x+7500 方法总结:根据条件求一次函数的关系式时,要找准题中所给的等量关系,然后求解 板书设计 次函数的概念 次函数正比例函数的概念 函数关系式的确定 教学厦思 经历一般规律的探索过程,培养学生的抽象思维能力,经历从实际问题中得到函数关系式 这一过程,提升学生的数学应用能力.体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的 密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣.使学生在探索过程中体验成功的喜悦,树立学 习的自信
获利为 5500－4×200－8×400－500＝1000(元)．所以 y＝600x＋1000m.将 m＝ 150－5x 2 代入， 得 y＝600x＋1000× 150－5x 2 ，即 y＝－1900x＋75000. 方法总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解． 三、板书设计 一次函数 一次函数的概念 正比例函数的概念 函数关系式的确定 经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式 这一过程，提升学生的数学应用能力．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的 密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学 习的自信心．