2.6实数 教学目标一 1.了解实数的概念,能按要求进行分类:(重点) 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.(难点) 数学过程 情境导入 毕达哥拉斯学派认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比,即都可用有理数来 描述,但后来这个学派的一位年轻成员希伯索斯( Hippasus)发现边长为1的正方形的对角线 的长度不能用整数或整数的比来表示,这就引起了毕达哥拉斯学派信徒们的恐慌,为此希伯 索斯招来了杀身之祸,后来被投入大海.他这一死,使得这一伟大发现的发展推迟了500 多年,给数学的发展造成了不可弥补的损失,这是怎样的一个发现呢? 学习了本节知识之后,你就会知道了 二、合作探究 探究点一:实数的相关概念及分类 1把下列各数填入相应的集合内: 29 -4.201,3.1010010001…(相邻两 个1之间0的个数逐次加1) 有理数集合: 无理数集合:{ 整数集合:{ 分数集合:{ 正实数集合: 负实数集合:{ 解析:根据有理数、无理数等的概念进行分类,应注意先把一些数化简再进行判断,如 解:有理数集合:{-,9,-3 4.201,…};
2．6 实 数 1．了解实数的概念，能按要求进行分类；(重点) 2．能利用化简对实数进行简单的四则运算．(难点) 一、情境导入 毕达哥拉斯学派认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来 描述，但后来这个学派的一位年轻成员希伯索斯(Hippasus)发现边长为 1 的正方形的对角线 的长度不能用整数或整数的比来表示，这就引起了毕达哥拉斯学派信徒们的恐慌，为此希伯 索斯招来了杀身之祸，后来被投入大海．他这一死，使得这一伟大发现的发展推迟了 500 多年，给数学的发展造成了不可弥补的损失．这是怎样的一个发现呢？ 学习了本节知识之后，你就会知道了． 二、合作探究 探究点一：实数的相关概念及分类 把下列各数填入相应的集合内： － 1 2 ，－ 3， 2 3 ， 9 2 ，－ 3 －8，0，－π，－ 117 3 ，－4.2 · 01 · ，3.1010010001…(相邻两 个 1 之间 0 的个数逐次加 1)． 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}； 负实数集合：{ …}； 解析：根据有理数、无理数等的概念进行分类，应注意先把一些数化简再进行判断，如 － 3 －8＝2. 解：有理数集合：{－ 1 2 ， 9 2 ，－ 3 －8，0，－ 117 3 ，－4.2 · 01 · ，…}；
无理数集合 (-5,2 π,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加 整数集合:{-y-8,0,…} 分数集合:{ 1174.201 正实数集合:{ 29 8,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),…} 负实数集合:{ 方法总结:至今我们所学的数不是有理数就是无理数,因此可先把题目中所列各数分成 这两类,再从有理数中找整数及分数,这样可分散难点,逐个突破,同时可避免重复或遗漏 探究点二:实数的性质 团例2分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值 (1)y-64:(2)v225:(3) 解析:根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果.注意(1)(2)中的两个数 要先化简为整数 解:(1)∵V-64=-4, 64的相反数是4,倒数是一,绝对值是4 (2)∵V22=15,∴26的相反数是-15,倒数是,,绝对值是15. (3小1的相反数是一,倒数是,绝对值是 方法总结:在实数范围内,相反数、倒数和绝对值等的意义和在有理数范围内的完全相 探究点三:实数与数轴上点的关系 【类型一】求数轴上的点对应的实数 图如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别为-1和3,点B关于点A的对称点为 C,求点C所表示的实数 2b4 解析:首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度,然后利用对称轴的性质
无理数集合：{－ 3， 2 3 ，－π，3.1010010001…(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1)，…}； 整数集合：{－ 3 －8，0，…}； 分数集合：{－ 1 2 ， 9 2 ，－ 117 3 ，－4.2 · 01 · ，…}； 正实数集合：{ 2 3 ， 9 2 ，－ 3 －8，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}； 负实数集合：{－ 1 2 ，－ 3，－π，－ 117 3 ，－4.2 · 01 · ，…}． 方法总结：至今我们所学的数不是有理数就是无理数，因此可先把题目中所列各数分成 这两类，再从有理数中找整数及分数，这样可分散难点，逐个突破，同时可避免重复或遗漏． 探究点二：实数的性质 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值． (1) 3 －64；(2) 225；(3) 11. 解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数 要先化简为整数． 解：(1)∵ 3 －64＝－4，∴ 3 －64的相反数是 4，倒数是－1 4 ，绝对值是 4. (2)∵ 225＝15，∴ 225的相反数是－15，倒数是 1 15，绝对值是 15. (3) 11的相反数是－ 11，倒数是 1 11 ，绝对值是 11. 方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值等的意义和在有理数范围内的完全相 同． 探究点三：实数与数轴上点的关系 【类型一】 求数轴上的点对应的实数 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 3，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数． 解析：首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段 AB 的长度，然后利用对称轴的性质
即可求出点C所表示的实数 解:∵数轴上A,B两点表示的数分别为-1和5,点B到点A的距离为1+√3,则 点C到点A的距离为1+√3,设点C表示的实数为x,则点A到点C的距离为-1-x 1-x=1+V3,∴x=-2-√3 方法总结:本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系,其中利用了:当点C为点B 关于点A的对称点时,点C到点A的距离等于点B到点A的距离;两点之间的距离为两数差 的绝对值 【类型二】利用数轴进行估算 例如图所示,数轴上A,B两点表示的数分别为2和5.1,则A,B两点之间表示整 数的点共有() 01 A.6个B.5个C.4个D.3个 解析:∵:E≈1.414,√和5.1之间的整数有2,3,4,5,A,B两点之间表示整数 的点共有4个.故选C 方法总结:数轴上的点与实数——对应,结合数轴分析,可轻松得出结论 探究点四:实数的大小比较 例5己知0x<1,则x,,x2,V的大小关系为() A. x<-<x<x B. x<x <. C.x( X<Vx<D√kxx 解析:本题可以用特殊值法求解.例如取x=,则 从而可以比 较其大小,14,即x(点故选C项 方法总结:当直接比较大小较困难时,我们可以采用特殊值法,所取特殊值必须符合两 个条件:(1)在字母取值范围内;(2)求值计算简单.而求实数的相反数、倒数、绝对值的方 法与求有理数的相反数、倒数、绝对值的方法是一样的 探究点五:实数的运算
即可求出点 C 所表示的实数． 解：∵数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 3，∴点 B 到点 A 的距离为 1＋ 3，则 点 C 到点 A 的距离为 1＋ 3，设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x，∴－ 1－x＝1＋ 3，∴x＝－2－ 3. 方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 C 为点 B 关于点 A 的对称点时，点 C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差 的绝对值． 【类型二】 利用数轴进行估算 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 2和 5.1，则 A，B 两点之间表示整 数的点共有( ) A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析：∵ 2≈1.414，∴ 2和 5.1 之间的整数有 2，3，4，5，∴A，B 两点之间表示整数 的点共有 4 个．故选 C. 方法总结：数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论． 探究点四：实数的大小比较 已知 0<x<1，则 x， 1 x ，x 2， x的大小关系为( ) A．x< 1 x <x2 < x B．x<x2 < x< 1 x C．x 2 <x< x< 1 x D. x<x2 <x< 1 x 解析：本题可以用特殊值法求解．例如取 x＝ 1 4 ，则 1 x ＝4，x 2＝ 1 16， x＝ 1 2 ，从而可以比 较其大小， 1 16< 1 4 < 1 2 <4，即 x 2 <x< x< 1 x .故选 C 项． 方法总结：当直接比较大小较困难时，我们可以采用特殊值法，所取特殊值必须符合两 个条件：(1)在字母取值范围内；(2)求值计算简单．而求实数的相反数、倒数、绝对值的方 法与求有理数的相反数、倒数、绝对值的方法是一样的． 探究点五：实数的运算
例6计算: (1)-+2.34-π(精确到0.1) (2)(+√5)2-1)(精确到0.01); (3)(-216+ +V64)×个 0.1) 解析:在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用 解:(1)y+2.34-x≈=×2.24+2.34-3.14≈0.3. (2)(3+√5)2-1)≈(1.732+2.236)×(1.414-1)=3.968×0.414≈1.64 (3)(√-216+ +N64X√(-0.12=(-6+;+4)×10=-0.5×10=-5 方法总结:实数的运算同有理数的运算法则一样.实数运算中,无理数可选取近似值转 化为有理数计算,中间结果所取的近似值要比最终结果要求的多一位小数 三、板书设计 概念及分类 实数实数的性质 实数与数轴上点的关系 实数大小的比较与运算 教学反思 前面已学习了平方根、立方根,认识了无理数,了解了无理数是客观存在的,从而将有 理数扩充到实数范围,使学生对数的认识进一步深入.中学阶段有关数的问题多是在实数范 围内进行讨论的,同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础
计算： (1) 5 2 ＋2.34－π(精确到 0.1)； (2)( 3＋ 5)( 2－1)(精确到 0.01)； (3)( 3 －216＋ 2 1 4 ＋ 3 64)× 1 （－0.1）2. 解析：在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． 解：(1) 5 2 ＋2.34－π≈ 1 2 ×2.24＋2.34－3.14≈0.3. (2)( 3＋ 5)( 2－1)≈(1.732＋2.236)×(1.414－1)＝3.968×0.414≈1.64. (3)( 3 －216＋ 2 1 4 ＋ 3 64)× 1 （－0.1） 2＝(－6＋ 3 2 ＋4)×10＝－0.5×10＝－5. 方法总结：实数的运算同有理数的运算法则一样．实数运算中，无理数可选取近似值转 化为有理数计算，中间结果所取的近似值要比最终结果要求的多一位小数． 三、板书设计 实数 概念及分类 实数的性质 实数与数轴上点的关系 实数大小的比较与运算 前面已学习了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有 理数扩充到实数范围，使学生对数的认识进一步深入．中学阶段有关数的问题多是在实数范 围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础．