22平方根 第1课时算术平方根 第一环节:问题情境 方法一:问题导入 内容:上节课学习了无理数,了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性, 掌握了无理数的概念,知道有理数和无理数的区别是:有理数是有限小数或无限 循环小数,无理数是无限不循环小数.比如上一节课我 们做过的:由两个边长为1的小正方形,通过剪一剪, 拼一拼,得到一个边长为a的大的正方形,那么有 2是有理数,而a是无理数.在1 前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方,反过来x叫a 的什么呢?本节课我们一起来学习. 方法二:问题导入 内容:前面我们学习了勾股定理,请大家根据勾股定理,结 合图形完成填空: 目的:方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习,让学生体会到学习算 术平方根的必要性 效果:能表示x2=2,y2=3,z2=4,w2=5;能求得z=2,但不能求得 y,w的值. 说明:方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子,起到了承前 启后的作用,方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用,说明 学习这节课的必要性.相对而言,建议选用方法
2.2 平方根 第 1 课时 算术平方根 第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性， 掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限 循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我 们做过的：由两个边长为 1 的小正方形，通过剪一剪， 拼一拼，得到一个边长为 a 的大的正方形，那么有 2 2 a = ，a＝ ，2 是有理数，而 a 是无理数．在 前面我们学过若 x = a 2 ，则 a 叫 x 的平方，反过来 x 叫 a 的什么呢？本节课我们一起来学习． 方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结 合图形完成填空： = 2 x ， = 2 y ， = 2 z ， = 2 w ． 目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算 术平方根的必要性． 效果：能表示 2 2 x = ， 3 2 y = ， 4 2 z = ， 5 2 w = ；能求得 z = 2 ，但不能求得 x， y ， w 的值． 说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前 启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明 学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．
第二环节:初步探究 内容1:情境引出新概念 x2=2,y2=3,x2=4,w2=5,已知幂和指数,求底数x,你能求出来 吗? 目的:让学生体验概念形成过程,感受到概念引入的必要性. 效果:学生可以估算出x,y是1到2之间的数,w是2到3之间的数,但 无法表示x,y,,从而激发学生继续往下学习的兴趣,进而引入新的运算 一开方 说明:无论是用方法一引入,还是方法二引入,都是激发学生继续往下学习 的兴趣,都可以提出同样的问题“已知幂和指数,求底数x,你能求出来吗?” 内容2:在上面思考的基础上,明晰概念: 般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a 的算术平方根,记为“√a”,读作“根号a”.特别地,我们规定0的算术平方 根是0,即√0=0 目的:对算术平方根概念的认识 效果:了解算术平方根的概念,知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆 的 内容3:简单运用巩固概念 例1求下列各数的算术平方根 (1)900;(2)1;(3) 目的:体验求一个正数的算术平方根的过程,利用平方运算求一个正数的算 术平方根的方法,让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来,有的正数的算 术平方根只能用根号表示,如14的算术平方根是√14 效果:会求一个正数的算术平方根,更进一步了解算术平方根的性质:一个 正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,负数没有算术平方根
第二环节：初步探究 内容 1：情境引出新概念 2 2 x = ， 3 2 y = ， 4 2 z = ， 5 2 w = ，已知幂和指数，求底数 x ，你能求出来 吗？ 目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性． 效果：学生可以估算出 x， y 是 1 到 2 之间的数， w 是 2 到 3 之间的数，但 无法表示 x， y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算— —开方． 说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习 的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数 x ，你能求出来吗？” 内容 2：在上面思考的基础上，明晰概念： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x = a 2 ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ a ”，读作“根号 a ”．特别地，我们规定 0 的算术平方 根是 0，即 0 = 0 ． 目的：对算术平方根概念的认识． 效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆 的． 内容 3：简单运用 巩固概念 例 1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) 64 49 ； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算 术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算 术平方根只能用根号表示，如 14 的算术平方根是 14 ． 效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个 正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根．
答案:解:(1)因为302=90,所以900的算术平方根是30,即√900=30 (2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即√=1 因为(7y2=49,所以4的算术平方根是,即=7 (4)14的算术平方根是√14 内容4:回解课堂引入问题 x2=2,y2=3,m2=5,那么x=√2,y=√3,w=√5 第三环节:深入探究 内容1:例2自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒) 的关系为h=4912.有一铁球从196米高的建筑物上自由下落, 到达地面需要多长时间? 目的:用算术平方根的知识解决实际问题 效果:学生多能利用等式的性质将h=4912进行变形,再 用求算术平方根的方法求得题目的解. 解:将h=196代入公式h=4912,得t2=4,所以正数 t=√4=2(秒) 即铁球到达地面需要2秒 说明:强调实际问题t是正数,用的是算术平方根,此题是为得出下面的结 论作铺垫的 内容2:观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点 目的:让学生认识到算术平方根定义中的两层含义:√a中的a是一个非负 数,a的算术平方根√a也是一个非负数,负数没有算术平方根.这也是算术平 方根的性质一一双重非负性
答案：解：(1)因为 30 900 2 = ，所以900的算术平方根是30，即 900 = 30 ； (2)因为 1 1 2 = ，所以1的算术平方根是1，即 1 =1 ； (3)因为 64 49 ) 8 7 ( 2 = ，所以 64 49 的算术平方根是 8 7 ， 即 8 7 64 49 = ； (4)14 的算术平方根是 14 ． 内容 4：回解课堂引入问题 2 2 x = ， 3 2 y = ， 5 2 w = ，那么 x = 2 ， y = 3 ，w = 5 ． 第三环节：深入探究 内容 1：例 2 自由下落物体的高度 h (米)与下落时间 t (秒) 的关系为 2 h = 4.9t ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落， 到达地面需要多长时间？ 目的：用算术平方根的知识解决实际问题． 效果：学生多能利用等式的性质将 2 h = 4.9t 进行变形，再 用求算术平方根的方法求得题目的解． 解：将 h =19.6 代入公式 2 h = 4.9t ，得 4 2 t = ，所以正数 t = 4 = 2 (秒)． 即铁球到达地面需要 2 秒． 说明：强调实际问题 t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结 论作铺垫的． 内容 2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点． 目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义： a 中的 a 是一个非负 数， a 的算术平方根 a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平 方根的性质——双重非负性．
效果:再一次深入地认识算术平方根的概念,明确只有非负数才有算术平方 根 第四环节:反馈练习 、填空题: 若一个数的算术平方根是√,那么这个数是 2.√9的算术平方根是 3.(2)的算术平方根是 4.若√m+2=2,则(m+2)2 求下列各数的算术平方根 36,121 15,0.64,10-,√25 、如图,从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉 根绳子AC固定帐篷.若绳子的长度为5.5米,地 面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米,则 帐篷支撑竿的高是多少米? 答案:一、1.7;2 4.16 6:1:、15:0.8:10 三、解:由题意得AC=5.5米,BC=45米,∠ABC=90°,在Rt△ABC 中,由勾股定理得AB=√AC2-BC2=√55-452=√0(米).所以帐篷支撑竿 的高是√10米 目的:旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况,以便根据学生 情况调整教学进程. 效果:练习注意了问题的梯度性,由浅入深,一步步加深对算术平方根的概 念以及性质的认识对学生的回答,教师要给予评价和点评
效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方 根． 第四环节：反馈练习 一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是 7 ，那么这个数是 ； 2． 9 的算术平方根是 ； 3． 2 ) 3 2 ( 的算术平方根是 ； 4．若 m + 2 = 2 ，则 + = 2 (m 2) ． 二、求下列各数的算术平方根： 36， 144 121 ，15，0.64， 4 10 − ， 225 ， 0 ) 6 5 ( ． 三、如图，从帐篷支撑竿 AB 的顶部 A 向地面拉 一根绳子 AC 固定帐篷．若绳子的长度为 5.5 米，地 面固定点 C 到帐篷支撑竿底部 B 的距离是 4.5 米，则 帐篷支撑竿的高是多少米？ 答案：一、1．7；2． 3 ；3． 3 2 ；4．16；二、 6； 12 11 ； 15 ；0.8； 2 10 − ； 15 ；1． 三、解：由题意得 AC＝5.5 米，BC＝4.5 米，∠ABC＝90°，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 5.5 4.5 10 2 2 2 2 AB = AC − BC = − = (米)．所以帐篷支撑竿 的高是 10 米． 目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生 情况调整教学进程. 效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概 念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．
第五环节:学习小结 内容:这节课学习的算术平方根是本章的基本概念,是为以后的学习做铺垫 的.通过这节课的学习,我们要掌握以下的内容 (1)算术平方根的概念,式子a中的双重非负性:一是a≥0,二是√a20 (2)算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根 是0:负数没有算术平方根 (3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互 逆运算关系求非负数的算术平方根 目的:依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点,强化算 术平方根的概念和性质 第六环节:作业布置 习题2.3 四、教学设计反思 1.细讲概念、强化训练 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念,需要由浅入深、不断深 化的过程.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特 征,保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程 的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到:讲清概 念,加强训练,逐步深化 “讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征.算术平方根 的本质特征就是定义中指出的:“如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那 么这个正数x就叫做a的算术平方根,”的“正数x”,即被开方数是正的,由 平方的意义,a也是正数,因此算术平方根也必须是正的.当然零的算术平方根 是零 “加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的 质和量,也包括书写格式的训练,如在求正数的算术平方根时,不是直接写出算
第五环节：学习小结 内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫 的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容： (1)算术平方根的概念，式子 a 中的双重非负性：一是 a≥0，二是 a ≥0． (2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根 是 0；负数没有算术平方根． (3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互 逆运算关系求非负数的算术平方根． 目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算 术平方根的概念和性质． 第六环节：作业布置 习题 2.3 四、教学设计反思 1．细讲概念、强化训练 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深 化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特 征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程 的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概 念，加强训练，逐步深化． “讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根 的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x = a 2 ，那 么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，”的“正数 x ”，即被开方数是正的，由 平方的意义， a 也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根 是零. “加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的 质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算
术平方根,而是通过平方运算来求算术平方根,非平方数的算术平方根只能用根 号来表示 “逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组 成题组,在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用 2.发展思维、适度拓展 在教学中,根据学生的实际情况,在学有余力的情况下,可以对a的双重 非负性的知识进行适当的拓展
术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根 号来表示. “逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组 成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用. 2．发展思维、适度拓展 在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对 a 的双重 非负性的知识进行适当的拓展