1.1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 教学目标 1.探索勾股定理,进一步发展学生的推理能力 2.理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系.(重点、难点 教学过程 情境导入 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若 干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不 但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗? 合作探究 探究点一:勾股定理的初步认识 【类型一】直接利用勾股定理求长度 1如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于点D,求CD 的长 解析:先运用勾股定理求出AC的长,再根据SABc=aAB·CD= -ACBC,求出CD的长 解:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,∴由勾股定理得AC =AB2-BC2=52-32=f,∴AC=4cm又:S、MBCD=AC,BC,∴CD=AB5 AC·BC4×3 (cm),故CD的长是cm 方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高 的积,这个规律也称“弦高公式”,它常与勾股定理联合使用 【类型二】勾股定理与其他几何知识的综合运用
1．1 探索勾股定理 第 1 课时 认识勾股定理 1．探索勾股定理，进一步发展学生的推理能力； 2．理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．(重点、难点) 一、情境导入 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若 干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一， 但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？ 二、合作探究 探究点一：勾股定理的初步认识 【类型一】 直接利用勾股定理求长度 如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB 于点 D，求 CD 的长． 解析：先运用勾股定理求出 AC 的长，再根据 S△ABC＝ 1 2 AB·CD＝ 1 2 AC·BC，求出 CD 的长． 解：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得 AC2 ＝AB2－BC2＝5 2－3 2＝4 2，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝ 1 2 AB·CD＝ 1 2 AC·BC，∴CD＝ AC·BC AB ＝ 4×3 5 ＝ 12 5 (cm)，故 CD 的长是12 5 cm. 方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高 的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 【类型二】 勾股定理与其他几何知识的综合运用
ED 例2如图,已知AD是△ABC的中线.求证:AB2+AC=2(AD2+CD2 解析:结论中涉及线段的平方,因此可以考虑作AE⊥BC于点E,在△ABC中构造直角三 角形,利用勾股定理进行证明 证明:如图,过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中,AB2=AE +BE, AC=AE+CE, AE=AD2-ED,. AB2+AC=(aE+BE)+(aE+CE)=2(AD2-ED)+ DB-DE)2+(DC-+DE)=2AD2-2ED+DB2-2DB DE+DE +DC+2DC. DE+DE=2AD+DB+ DC2+2DE(DC-DB).又∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∴AB2+AC2=2AD2+2DC2=2(AD 方法总结:构造直角三角形,利用勾股定理把需要证明的线段联系起来.一般地,涉及 线段之间的平方关系问题时,通常沿着这个思路去分析问题 【类型三】分类讨论思想在勾股定理中的应用 3在△ABC中,AB=20,AC=15,AD为BC边上的高,且AD=12,求△ABC的周长 解析:应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形 解:当高AD在△ABC内部时,如图①.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD=AB2-AD 202-12=162,∴BD=16:在Rt△A中,由勾股定理,得CD=AC-AD2=152-12=81, ∴CD=9.∴BC=BD+CD=25,∴△ABC的周长为25+20+15=60 当高AD在△ABC外部时,如图②.同理可得BD=16,CD=9.∴BC=BD-CD=7,∴△ABC 的周长为7+20+15=42.综上所述,△ABC的周长为42或60 方法总结:题中未给出图形,作高构造直角三角形时,易漏掉钝角三角形的情况.如在 本例题中,易只考虑高AD在△ABC内的情形,忽视高AD在△ABC外的情形 探究点二:利用勾股定理求面积
如图，已知 AD 是△ABC 的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD 2 )． 解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作 AE⊥BC 于点 E，在△ABC 中构造直角三 角形，利用勾股定理进行证明． 证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.在 Rt△ACE、Rt△ABE 和 Rt△ADE 中，AB2＝AE2 ＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2 )＋(AE2＋CE2 )＝2(AD2－ED2 )＋ (DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋ DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋ CD2 )． 方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及 线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题． 【类型三】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD＝12，求△ABC 的周长． 解析：应考虑高 AD 在△ABC 内和△ABC 外的两种情形． 解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①.在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 BD2＝AB2－AD2 ＝202－122＝162，∴BD＝16；在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②.同理可得 BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60. 方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在 本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形． 探究点二：利用勾股定理求面积
圊4如图,以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3, 则图中△ABE的面积为 阴影部分的面积为 解析:因为AE=BE,所以SAMm=AEBE=2AE.又因为AE2+BE2=AB,所以2AE=AB, 所以Sm=AB=3=4;同理可得Sm+ Sm=AC2+BC.又因为AC2+BC=AB,所以阴影部分的面积为AB+1=2B2 3=2故填:9 方法总结:求解与直角三角形三边有关的图形面积时,要结合图形想办法把图形的面积 与直角三角形三边的平方联系起来,再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系 三、板书设计 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b,c分别表示直 角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2 数学厦思 让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法,进一步发展学生的说理和简单推理的 意识及能力:进一步体会数学与现实生活的紧密联系.在探索勾股定理的过程中,体验获得 成功的快乐:通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国的悠久文化历史,激 励学生发奋学习
如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边 AB＝3， 则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________． 解析：因为 AE＝BE，所以 S△ABE＝ 1 2 AE·BE＝ 1 2 AE2 .又因为 AE2＋BE2＝AB2，所以 2AE2＝AB2， 所以 S△ABE＝ 1 4 AB2＝ 1 4 ×3 2＝ 9 4 ；同理可得 S△AHC＋ S△BCF＝ 1 4 AC2＋ 1 4 BC2 .又因为 AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为1 4 AB2＋ 1 4 AB2＝ 1 2 AB2＝ 1 2 × 3 2＝ 9 2 .故填9 4 、 9 2 . 方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积 与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系． 三、板书设计 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a，b，c 分别表示直 角三角形的两直角边和斜边，那么 a 2＋b 2＝c 2 . 让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的 意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得 成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠久文化历史，激 励学生发奋学习．