13勾股定理的应用 第一环节:情境引入 内容: 情景1:多媒体展示: 提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近? B 情景2 如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食 物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从 A二二 A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? 意图: 通过情景1复习公理:两点之间线段最短;情景2的创设引入新课,激发学 生探究热情 效果: 从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠 定了良好基础. 第二环节:合作探究 内容: 学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总 各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总 结出最短路线.让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎 么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的 方法 意图: 通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距 离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸, 培养学生与人合作交流的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展 空间观念
1.3 勾股定理的应用 第一环节:情境引入 内容: 情景 1:多媒体展示: 提出问题:从二教楼到综合楼怎样走最近? 情景 2: 如图:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食 物在 B 处,恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从 A 处爬向 B 处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近? 意图: 通过情景 1 复习公理:两点之间线段最短;情景2的创设引入新课,激发学 生探究热情. 效果: 从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠 定了良好基础. 第二环节:合作探究 内容: 学生分为4人活动小组,合作探究 蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总 各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案的路 线计算方法,通过具体计算,总 结出最短路线.让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎 么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的 方法. 意图: 通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距 离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸, 培养学生与人合作交流的能力,增强学生探究能力,操作能力,分析能力,发展 空间观念.
效果: 学生汇总了四种方案: (1) (2) (3) (4) 学生很容易算出:情形(1)中A→B的路线长为:AA+d 情形(2)中A→B的路线长为:A+md 所以情形(1)的路线比情形(2)要短 学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母 线AA剪开圆柱得到矩形,情形(3)A→B是折线,而情形(4)是线段,故根 据两点之间线段最短可判断(4)较短,最后通过计算比较(1)和(4)即可 如图: (1)中A→B的路线长为:AA+d B (2)中A→B的路线长为:AA+AB>AB 3)中A→B的路线长为:AO+OB>AB.A= (4)中A→B的路线长为:AB 得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解 决问题.在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体, 具体观察.接下来后提问:怎样计算AB? 在Rt△AAB中,利用勾股定理可得 AB2=AA2+AB2,若已知圆柱体高为12cm,底面半径为3cm,x取3,则 AB2=122+(3×3),AB=15 注意事项:本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面,目的仅 仅是让学生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路 径究竟是哪条.因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后,把探究集中到对圆柱 侧面最短路径的探究上
效果: 学生汇总了四种方案: (1) (2) (3) (4) 学生很容易算出:情形(1)中 A→B 的路线长为: AA d '+ , 情形(2)中 A→B 的路线长为: ' 2 d AA + 所以情形(1)的路线比情形(2)要短. 学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母 线 AA’剪开圆柱得到矩形,情形(3)A→B 是折线,而情形(4)是线段,故根 据两点之间线段最短可判断(4)较短,最后通过计算比较(1)和(4)即可. 网] 如图: (1)中 A→B 的路线长为: AA d '+ . (2)中 A→B 的路线长为: AA A B ' ' + >AB. (3)中 A→B 的路线长为:AO+OB>AB. (4)中 A→B 的路线长为:AB. 得出结论:利用展开图中两点之间,线段最短解 决问题.在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体, 具体观察.接下来后提问:怎样计算 AB? 在 Rt △ AA′B 中 , 利 用 勾 股 定 理 可 得 2 2 2 AB = AA + A'B ,若已知圆柱体高为 12cm,底面半径为 3cm,π 取 3,则 2 2 2 AB AB = + = 12 (3 3) , 15. 注意事项:本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面,目的仅 仅是让学生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路 径究竟是哪条.因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后,把探究集中到对圆柱 侧面最短路径的探究上. A ’ A ’ A ’
方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型,解决 这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下: 1.审题一一分析实际问题; 2.建模一一建立相应的数学模型; 求解一一运用勾股定理计算; 4.检验—一是否符合实际问题的真实性. 第三环节:做一做 内容: 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂 直于底边AB,但他随身只带了卷尺, (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长 是50厘米,AD边垂直于AB边吗?为什么 (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否 垂直于AB边吗?BC边与AB边呢? 解答:(2)∵:AD2+AB2=302+402=2500 BD=2500 AD+AB=BD AD和AB垂直 意图 运用勾股定理逆定理来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许的工 具灵活处理问题. 效果 先鼓励学生自己寻找办法,再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺 较短时,学生可能会在上面解决问题的基础上,想出多种办法,如利用分段相加 的方法量出AB,AD和BD的长度,或在AB,AD边上各量一段较小长度,再去 量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论
方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型,解决 这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下: 1.审题——分析实际问题; 2.建模——建立相应的数学模型; 3.求解——运用勾股定理计算; 4.检验——是否符合实际问题的真实性. 第三环节:做一做 内容: 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和BC 边是否分别垂 直于底边 AB,但他随身只带了卷尺, (1)你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得 AD 长是 30 厘米,AB 长是 40 厘米,BD 长 是 50 厘米,AD 边垂直于 AB 边吗?为什么? (3)小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺,他能有办法检验 AD 边是否 垂直于 AB 边吗?BC 边与 AB 边呢? 解答:(2) 2 2 2 2 AD AB + = + = 30 40 2500 2 BD = 2500 2 2 2 + = AD AB BD ∴AD 和 AB 垂直. 意图: 运用勾股定理逆定理来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许的工 具灵活处理问题. 效果: 先鼓励学生自己寻找办法,再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺 较短时,学生可能会在上面解决问题的基础上,想出多种办法,如利用分段相加 的方法量出 AB,AD 和 BD 的长度,或在 AB,AD 边上各量一段较小长度,再去 量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论.
第四环节:小试牛刀 内容 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨8:00甲先出发,他以6kmh 的速度向正东行走,1时后乙出发,他以5km/h的速度向正北行走.上午10 00,甲、乙两人相距多远? 解答:如图已知A是甲、乙的出发点,1000甲到达B点,乙到达C点.则: AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km) 在R1△ABC中 BC2=AC2+AB2=52+122=169=132. ∴BC=13.(km) 东 即甲乙两人相距13km 2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?并求出最 近距离 解答:∴AB2=152+202=625=252 3.有一个高为1.5m,半径是lm的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔, 从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根铁棒有多长? 解答:设伸入油桶中的长度为xm. 则最长时:x=152+2. x=2.5. ∴最长是2.5+0.5=3(m) 最短时:x=1.5 ∴最短是1.5+0.5=2(m) 答:这根铁棒的长应在2~3m之间 意图 对本节知识进行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算
北 东 C A B 3 2 20 B A 第四环节:小试牛刀 内容: 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨 8:00 甲先出发,他以 6 km/h 的速度向正东行走,1 时后乙出发,他以 5 km/h 的速度向正北行走.上午 10: 00,甲、乙两人相距多远? 解答:如图:已知 A 是甲、乙的出发点,10:00 甲到达 B 点,乙到达 C 点.则: AB=2×6=12(km) AC=1×5=5(km) 在 Rt△ABC 中: 2 2 2 2 2 2 BC AC AB = + = + = = 5 12 169 13 . ∴BC=13(km). 即甲乙两人相距 1 3 km. 2.如图,台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物,它怎么走最近?并求出最 近距离. 解答: 2 2 2 2 = + = = AB 15 20 625 25 . 3.有一个高为 1.5 m,半径是 1m 的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔, 从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m,问这根铁棒有多长? 解答:设伸入油桶中的长度为 x m. 则最长时: 2 2 2 1.5 2 2.5 x x = + = . . ∴最长是 2.5+0.5=3(m). 最短时: x =1.5 . ∴最短是 1.5+0.5 =2(m). 答:这根铁棒的长应在 2~3m 之间. 意图: 对本节知识进行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算.
效果: 学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解. 第五环节:举一反三 内容 1.如图,在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶 点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在 20s内从A爬到B? A 解:如图,在Rt△ABC中:AB2=AC2+BC2=102+202=500 500>202 ∴不能在20s内从A爬到B 2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题 的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有 根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好 到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解答:设水池的水深AC为x尺,则这根芦苇长为 AD=AB=(x+1)尺 在直角三角形ABC中,BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2 (x+1) 25+x2=x2+2x+1 2x=24 x=12,x+1=13
效果: 学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解. 第五环节:举一反三 内容: 1.如图,在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁,现要向顶 点 B 处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在 20 s 内从 A 爬到 B? 解:如图,在 Rt△ABC 中: 2 2 2 2 2 AB AC BC = + = + 10 20 =500. ∵500>202 . ∴不能在 20 s 内从 A 爬到 B. 2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题 的意思是:有一个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形,在水池的中央有一 根新生的芦苇,它高出水面 1 尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好 到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解答:设水池的水深 AC 为 x 尺,则这根芦苇长为 AD=AB=(x+1)尺, 在直角三角形 ABC 中,BC=5 尺. 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2. 即 5 2+ x 2=(x+1)2. 25+x 2= x 2+2x+1. 2x=24. ∴ x=12,x+1=13. B A B A B C
答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺 意图: 第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是 将空间问题平面化;第2题,学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应 用,了解我国古代人民的聪明才智;运用方程的思想并利用勾股定理建立方程 效果 学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出AB位置,并正确计算.如有可能 还可把正方体换成长方体进行讨论 学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程 注意事项:对于普通班级而言,学生完成“小试牛刀”,已经基本完成课堂 教学任务.因此本环节可以作为教学中的一个备选环节,共老师们根据学生状况 选用 第六环节:交流小结 内容: 师生相互交流总结: 1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解 2.在寻求最短路径时,往往把空间问题平面化,利用勾股定理及其逆定理 解决实际问题 意图 鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定 理的广泛应用及它们的悠久历史 效果 学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结出在寻求曲面最短路径时, 往往考虑其展开图,利用两点之间,线段最短进行求解.并赞叹我国古代数学的 成就 第七环节:布置作业 1.课本习题1.4第1,2,3题
答:水池的水深 12 尺,这根芦苇长 13 尺. 意图: 第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是 将空间问题平面化;第 2 题,学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应 用,了解我国古代人民的聪明才智;运用方程的思想并利用勾股定理建立方程. 效果: 学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出 AB 位置,并正确计算.如有可能, 还可把正方体换成长方体进行讨论. 学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程. 注意事项:对于普通班级而言,学生完成“小试牛刀”,已经基本完成课堂 教学任务.因此本环节可以作为教学中的一个备选环节,共老师们根据学生状况 选用. 第六环节:交流小结 内容: 师生相互交流总结: 1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解. 2.在寻求最短路径时,往往把空间问题平面化,利用勾股定理及其逆定理 解决实际问题. 意图: 鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定 理的广泛应用及它们的悠久历史. 效果: 学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结出在寻求曲面最短路径时, 往往考虑其展开图,利用两点之间,线段最短进行求解.并赞叹我国古代数学的 成就. 第七环节:布置作业 1.课本习题 1.4 第 1,2,3 题.
2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老 师想知道旗杄的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案? 注意事项:作业2作为学有余力的学生的思考题 教学设计反思 本节从生动有趣的问题情景出发,通过学生自主探究,运用勾股定理及其逆 定理解决简单的实际问题,既巩固了基本知识点,又在将实际问题抽象成几何图 形过程中,学会观察,提高分析能力,渗透数学建摸思想.在设计中,我注重以 下两点: 1.要充分利用好教材提供的素材 “蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题,让学生充满了探究的欲望,这 个问题体现了二、三维图形的转化,对发展学生的空间观念很有好处 2.合理使用教材提供的练习 本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组,使练习有梯 度,既巩固了基本知识点,又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理 解和应用勾股定理及逆定理 3.突破重点、突破难点的策略 在教学过程中教师应通过情景创设,激发兴趣,鼓励引导学生经历探索过程, 得出结论,从而发展学生的数学应用能力,提高学生解决实际问题的能力 4.分层教学 根据本班学生实际情况可在教学过程中选择:基础训练一—“小试牛刀” 提高训练一—“举一反三”;拓展训练—一作业第2题. 5.评价方式 根据新课标的评价理念,在教学过程中应关注学生的参与程度,关注活动中 所反映出的思维水平,关注对实际问题的理解水平,关注学生对基本知识的掌握 情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中尊重学 生的个体差异,对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励,并帮助学生树立
2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老 师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案? 注意事项:作业 2 作为学有余力的学生的思考题. 教学设计反思 本节从生动有趣的问题情景出发,通过学生自主探究,运用勾股定理及其逆 定理解决简单的实际问题,既巩固了基本知识点,又在将实际问题抽象成几何图 形过程中,学会观察,提高分析能力,渗透数学建摸思想.在设计中,我注重以 下两点: 1.要充分利用好教材提供的素材 “蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题,让学生充满了探究的欲望,这 个问题体现了二、三维图形的转化,对发展学生的空间观念很有好处. 2.合理使用教材提供的练习 本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组,使练习有梯 度,既巩固了基本知识点,又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理 解和应用勾股定理及逆定理. 3.突破重点、突破难点的策略 在教学过程中教师应通过情景创设,激发兴趣,鼓励引导学生经历探索过程, 得出结论,从而发展学生的数学应用能力,提高学生解决实际问题的能力. 4.分层教学 根据本班学生实际情况可在教学过程中选择:基础训练——“小试牛刀”; 提高训练——“举一反三”;拓展训练——作业第 2 题. 5.评价方式 根据新课标的评价理念,在教学过程中应关注学生的参与程度,关注活动中 所反映出的思维水平,关注对实际问题的理解水平,关注学生对基本知识的掌握 情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中尊重学 生的个体差异,对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励,并帮助学生树立
学习数学的自信,充分发挥教育的价值 附:板书设计 蚂蚁怎样走最近 情境引入 小试牛刀 举一反 合作探究 123 课后作业:
学习数学的自信,充分发挥教育的价值. 附:板书设计 蚂蚁怎样走最近 情境引入———— 小试牛刀: 举一反三————— 合作探究———— 1.—————— 1. —————— 2.—————— 2.—————— 3.—————— 课后作业: