27二次根式 第1课时二次根式及其化简 重点难点提示 本单元重点是二次根式的重要性质: a 它是二次根式化简和运算的重要依据。 (a20) 1.二次根式的重要性质 a(a<0 要注意以下问题: (1)因为被开方数a20(非负数),所以a可以取任意实数。而√a2是表示算术根,所以 (非负数),即 可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值 符号时,首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定,要对其进行讨论 (2)应用公式√aˉ化简时,为保证结果的非负性,也避免出现运算上的错误,应首先写成 2-al的形式,然后再去绝对值符号 2.()2=a(a20与2al的区别 (1)a的取值范围不同:(a)2=a中的a必须是非负数。 a 中的a可以是任何实数。 (2)运算顺序不同,(a)2 表示对非负数a先开方,再平方。而va表示对实数a先平 方,再开方。 知识点精析
2.7 二次根式 第 1 课时 二次根式及其化简 重点难点提示 本单元重点是二次根式的重要性质： ，它是二次根式化简和运算的重要依据。 1．二次根式的重要性质： 要注意以下问题： （1）因为被开方数 a 2 ≥0(非负数)，所以 a 可以取任意实数。而 是表示算术根，所以 （非负数），即 ，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值 符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定，要对其进行讨论。 （2）应用公式 化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成 的形式，然后再去绝对值符号。 2． 的区别 （1）a 的取值范围不同： 中的 a 必须是非负数。 中的 a 可以是任何实数。 （2）运算顺序不同， 表示对非负数 a 先开方，再平方。而 表示对实数 a 先平 方，再开方。 知识点精析
例1.判断下列各式是否正确 (1) √E-√2=√2 (5-√2=±(B-√2) 解,根据二次根式√2+a20知,(1210,都是错的,只有4)6)是对的 例2.化简 (2)Vx +2x+1-√x2-16x+64 (-10.x-84时,原式=4+x-3=2x-7 当x<3时,原式=4-xx+3=7-2x。 (3≤x<4) 原式
例 1．判断下列各式是否正确 (1) (2) (3) (4) (5) 解：根据二次根式 知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。 例 2．化简 (1) (2) (-10, ∴ (2) ∵ -10, x-8<0. ∴ =|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7. (3) ∵ 0<x<1, ∴ . ∴ . (4) = =|x-4|+|x-3| 当 x≥4 时，原式=x-4+x-3=2x-7. 当 3≤x<4 时，原式=4-x+x-3=1. 当 x<3 时，原式=4-x-x+3=7-2x。 ∴ 原式=
说明:对于二次根式Va的化简,首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。而正确去 掉绝对值符号是化简的关键。去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。此类 问题,一般可分为两类。第一类是不需要讨论直接化简。属于此类问题一般有以下三种情况①具 体数字,此时化简的条件已暗中给定,②恒为非负值或根据题中的隐含条件,如(1)小题。③ 给出明确的条件,如(2)小题。第二类,需讨论后再化简。当题目中给定的条件不能判定绝对 值符号内代数式值的符号时,则需讨论后化简,如(4)小题。 例3.已知a+2=6,25,求Vba的值。 a,b同号 又∵a+b=6<0,∴a<0,b<0 A+ b 说明:此题中的隐含条件a<0,b<0不能忽视。否则会出现错误。 例4.化简 解:原式=x-6412x+x+5 令x6=0,得x=6,令1+2x=0,得 令x+5=0,得x=5 这样xx”2,x=5,把数轴分成四段(四个区间)在这五段里分别讨论如下: 当x≥6时,原式=(x-6}(1+2x)+(x+5)=2 <x<6 时,原式=(x6)(1+2x)H(x+5)=2x+10 5≤g 2时,原式=(x46)1+2x)+(x+5)=2x+1 当x<5时,原式=(x-6)+(1+2x)(x+5)=2
说明：对于二次根式 的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。而正确去 掉绝对值符号是化简的关键。去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。此类 问题，一般可分为两类。第一类是不需要讨论直接化简。属于此类问题一般有以下三种情况①具 体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题。③ 给出明确的条件，如（2）小题。第二类，需讨论后再化简。当题目中给定的条件不能判定绝对 值符号内代数式值的符号时，则需讨论后化简，如（4）小题。 例 3．已知 a+b=-6, ab=5，求 的值。 解： ∵ ab=5>0 , ∴ a,b 同号， 又∵ a+b=-6<0, ∴ a<0, b<0 ∴ . 说明：此题中的隐含条件 a<0,b<0 不能忽视。否则会出现错误。 例 4．化简： 解：原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5| 令 x-6=0，得 x=6，令 1+2x=0，得 ， 令 x+5=0，得 x=-5. 这样 x=6, , x=-5，把数轴分成四段（四个区间）在这五段里分别讨论如下： 当 x≥6 时，原式=(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2. 当 时，原式=-(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2x+10. 当 时，原式=-(x-6)-[-(1+2x)]+(x+5)=2x+12. 当 x<-5 时，原式=-(x-6)+(1+2x)-(x+5)=2
说明。利用公式a24a1,如果绝对值符号里面的代数式的值的符号无法决定,则需要 讨论。方法是:令每一个绝对值内的代数式为零,求出对应的“零点”,再用这些“零点”把数轴分 成若干个区间,再在每个区间内进行化简
说明：利用公式 ，如果绝对值符号里面的代数式的值的符号无法决定 ，则需要 讨论。方法是：令每一个绝对值内的代数式为零，求出对应的“零点”，再用这些“零点”把数轴分 成若干个区间，再在每个区间内进行化简