27二次根式 第2课时二次根式的运算 【上节知识回顾】 1.关于二次根式的概念,要注意以下几点: (1)从形式上看,二次根式是以根号“”表示的代数式,这里的开方运算是最后一步 运算如1+G,√·√等不是二次根式,而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算 (2)当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式(整式或分式)时,虽然最后运算不是 开方而是乘法,但为了方便起见,我们把它看作一个整体仍叫做二次根式,而前面与其相乘 的有理数或有理式就叫做二次根式的系数; (3)二次根式的被开方数,可以是某个确定的非负实数,也可以是某个代数式表示的数, 但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数 1)像“√16,√-”等虽然可以进行开方运第,但它们仍属于二次根式 2.二次根式的主要性质 (a≥0) 1)vl20(a20 2)(a)2=a(a20) =ab (3) -a(a0) (5)商的算术平方根的性质 (6)若a>b≥0,则Ya> =|ak={a(a20 3.注意 -a(a、<或=”填空 16×√25
2.7 二次根式 第 2 课时 二次根式的运算 【上节知识回顾】 1．关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“ ”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步 运算。如 ， 等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算； （2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是 开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘 的有理数或有理式就叫做二次根式的系数； （3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数， 但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）像“ ， ”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。 2．二次根式的主要性质 （1） ； （2） ； （3） ； （4）积的算术平方根的性质： ； （5）商的算术平方根的性质： ； （6）若 ，则 。 3．注意 与 的运用。 【新授】 一、二次根式的乘法 一、复习引入 1．填空 （1） 4 × 9 =_______， 4 9 =______； （2） 16 × 25 =_______， 16 25 =________． （3） 100 × 36 =________， 100 36 =_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4 × 9 _____ 4 9 ， 16 × 25 _____ 16 25 ， 100 × 36 ________ 100 36
一般地,对二次根式的乘法规定为 Ga·√b=√G b.(a≥0,b≥ 反过来 √ab=a·√b(a≥0,b≥0) 例1.计算 (1)5×√(2),×(3)√x√27(4),×√6 例2化简 (1)√9×16(2)√6×81(3)81×100(4)√xy2(5) 例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正: (1) √-4)×(-9)=-4x-9 (2)4 √25=4 √25=4√12=8 25 25 二、二次根式的除法 1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2.填空 5 (2) 666 (3) (4) 16 81 规律: 6 6√36 36√16 16 一般地,对二次根式的除法规定: √a (a≥0,b>0), 反过来 √bVb b b (a≥0,b>0) 例1.计算:(1)2 (2) (3) l6(4)M64 例2.化简: (2) (4)
一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ ab ．（a≥0，b≥0） 反过来: ab = a · b （a≥0，b≥0） 例 1．计算 （1） 5 × 7 （2） 1 3 × 9 （3） 9 × 27 （4） 1 2 × 6 例 2 化简 （1） 9 16 （2） 16 81 （3） 81 100 （4） 2 2 9x y （5） 54 例 3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） ( 4) ( 9) 4 9 − − = − − （2） 12 4 25 × 25 =4× 12 25 × 25 =4 12 25 × 25 =4 12 =8 3 二、二次根式的除法 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 9 16 =________， 9 16 =_________； （2） 16 36 =________， 16 36 =________； （3） 4 16 =________， 4 16 =_________； （4） 36 81 =________， 36 81 =________． 规律： 9 16 ______ 9 16 ； 16 36 ______ 16 36 ； 4 16 _______ 4 16 ； 36 81 _______ 36 81 ． 一般地，对二次根式的除法规定： a b = a b （a≥0，b>0）， 反过来， a b = a b （a≥0，b>0） 例 1．计算：（1） 12 3 （2） 3 1 2 8 （3） 1 1 4 16 （4） 64 8 例 2．化简： （1） 3 64 （2） 2 2 64 9 b a （3） 2 9 64 x y （4） 2 5 169 x y
例3.已知 且x为偶数,求(1+x) 的值 分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们说这两个代数式 互为有理化因式。对于有理化因式,要注意以下四点: (1)它们必须是成对出现的两个代数式; (2)这两个代数式都是二次根式 (3)这两个代数式的积不含有二次根式 (4)一个二次根式,可以与几个不同的代数式互为有理化因式 ①单项:Gx√G=a(单项二次根式的有理化因式是它本身); ②两项:(a+√ba-√)=a-b(平方差公式) 在进行二次根式的除法运算时,把分母中的根号化去,叫做分母有理化.分母有理化的 般方法是:先将分母的二次根式化简,再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母,把 分母的根号化去;特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号,如约分 例1.判断题:()√+y的理化因式是 √ -y(x>y) (2)a+b-b的有理化因式是a+b+b (3y+√与√都是2 的有理化因式 例2.将 +√6 进行分母有理化 例3.观察下列各式,通过分母有理化,进行化简: (√2-1)√2-1 1x(3-)-=-E 33+√(3+√2X3-2)3-2 同理可得: √4-√3 √4+√3 从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算 〈互++④+万项202+ )(√2002+1)的值 把形如一的式子分母有理化,可以应用以下三种方法
例 3．已知 9 9 6 6 x x x x − − = − − ，且 x 为偶数，求（1+x） 2 2 5 4 1 x x x − + − 的值． 三、分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式 互为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点： (1)它们必须是成对出现的两个代数式； (2)这两个代数式都是二次根式； (3)这两个代数式的积不含有二次根式； (4)一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。 ①单项： a a a = （单项二次根式的有理化因式是它本身）； ②两项： ( )( ) a b a b a b + − = − （平方差公式）。 在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的 一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把 分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分． 例 1. 判断题：(1) 的理化因式是 (2) (3) 的有理化因式 例 2. 将 进行分母有理化 例 3．观察下列各式，通过分母有理化，进行化简： 1 2 1+ = 1 ( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1) 2 1 − − = + − − = 2 -1， 1 3 2 + = 1 ( 3 2) 3 2 ( 3 2)( 3 2) 3 2 − − = + − − = 3 - 2 ， 同理可得： 1 4 3 + = 4 - 3 ，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （ 1 2 1+ + 1 3 2 + + 1 4 3 + +…… 1 2002 2001 + ）（ 2002 +1）的值． 把形如 a a 的式子分母有理化，可以应用以下三种方法：
(1将分子与分母乘以同一个代数式,使分母有理化,即a=a0=4Na=、a (2)逆用关系式()=a(a≥0),把分子与分母中的公因式直接约分,得 / (3)逆用关系式a2=a(a≥0),再根据二次根式的除法法则进行约分,即 a=y2=a=、练习:选择恰当的方法把下列各式的分母有理化 √3 (1) (2) v27:(3)3y2 3√ 4r.(4)vSa (5) 3a+6b ;(6) √40 a+2b 四、二次根式的加减 1计算下列各式 (1)2√2+3√(2)2√8-33+53(3)√7+√7+3√9×7(4) 33-23+ 二次根式加减法的法则 二次根式相加减,先把各个二次根式化简成最简二次根式,在把同类二次根式分别合并 合并同类二次根式与合并同类项类似,因此,二次根式的加减可以对比整式的加减进行 2h2-4+348.(65-272) 例1.计算:(1) V27 例2.计算 348-+22)(48+)+(2-√ 例3.已知42+y24x-6+00,求(2xx+,x)-(x2,-5x,2)的值 例4.如图所示的Rt△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的 速度向点A移动;同时,点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问:几 秒后△PBQ的面积为35平方厘米?PQ的距离是多少厘米?(结果用最简二次根式表示)
（1）将分子与分母乘以同一个代数式，使分母有理化，即 a a a a a a a a a a = = = ； （2）逆 用关 系式 ( ) ( 0) 2 a = a a ，把分子 与分母 中的公 因式 直接约 分，得 ( ) a a a a a = = 2 ； （3）逆用关系式 ( 0) 2 a = a a ，再根据二次根式的除法法则进行约分，即 a a a a a a a = = = 2 2 练习：选择恰当的方法把下列各式的分母有理化： （1） 40 3 ；（2） 27 − 3 2 ；（3） xy y 4 2 2 ；（4） a a 10 5 ；（5） a b a b 2 3 6 + + ；（6） 5 5 2 − − x x ． 四、二次根式的加减 1 计算下列各式． （1）2 2 +3 2 （2）2 8 -3 8 +5 8 （3） 7 +2 7 +3 9 7 （4） 3 3 -2 3 + 2 二次根式加减法的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。 合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。 例 1.计算：(1) (2) 例 2．计算 （1）3 48 -9 1 3 +3 12 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ） 例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2 9 3 x x +y2 3 x y ）-（x 2 1 x -5x y x ）的值． 例 4．如图所示的 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/•秒的 速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动．问：几 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
例5.已知+-b2-b x-a ,其中a、b是实数,且a+b≠0,化简 x+ x+1+ 并求值. x+1+√x√x+-√x 五、二次根式运算中的技巧 例1:计算 (1)已知x=2-3,y=2+3,求:x2+y+y2的值 (2)已知x+x=-3,求x-￥的值 例2:化简 ),点几,面 √6+43+32 18+√12+3+√6 例3:化简: (1)4-3,(2)23-610+43-2
A B C Q P 例 5 ．已知 x b a − =2- x a b − ，其中 a 、 b 是 实 数 ， 且 a+b ≠ 0 ，化简 1 1 x x x x + − + + + 1 1 x x x x + + + − ，并求值． 五、 二次根式运算中的技巧 例 1：计算 例 2：化简： 例 3：化简： (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x 2＋xy＋y 2的值． (2)已知 x＋ 1 x ＝－3，求 x－ 1 x的值．