75三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 学习目标: [知识与技能目标]:掌握三角形内角和定理的证明和简单应用,初步学会 作辅助线证明的基本方法,培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标] l、对比过去折纸、撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]:通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流 的精神,体验成功的乐趣,引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 学习重难点: 本节课的重点是:探索证明三角形内角和定理的不同方法,利用三角形内角 和定理进行简单的计算或证明 本节课的难点是:应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确 引入辅助线是本节课的关键 学习方法:引导发现法、尝试探究法。 学习过程: 、创设情景、提出问题: “三角形内角和是180°”一定是个真命题吗?你是怎样知道的? (学生回答:是个真命题。是从度量、折纸、拼角得到的)。教师指出:任 何实验都会有误差,即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形,但也不能就 此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是 180°”的真实性呢? 证明由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为180°?渗透 公理化的思想,自然导入三角形内角和定理证明的学习。 、探究新知
7.5 三角形内角和定理 第 1 课时 三角形内角和定理 学习目标： [知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会 作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流 的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 学习重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角 和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确 引入辅助线是本节课的关键。 学习方法：引导发现法、尝试探究法。 学习过程： 一、创设情景、提出问题： “三角形内角和是 180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？ （学生回答：是个真命题。是从度量、折纸、拼角得到的）。教师指出：任 何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就 此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是 180°”的真实性呢？ 证明由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为 180°？渗透 公理化的思想，自然导入三角形内角和定理证明的学习。 二、探究新知
(一)动手操作、探索解法: 每个学生画出一个三角形,并将它的内角剪下,分小组做拼角实验。通过小 组合作交流,讨论有几种拼合方法? 1、开展小组竞赛(看哪个小组发现多?说理清楚。),各小组派代表展示 拼图,并说出理由。 学生各抒已见,畅所欲言,鼓励学生倾听他人的方法 归纳:可以搬一个角用“两直线平行,同旁内角互补”来说理,也可以搬两 个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线(学生讨论,教师 点评),为书写证明过程做好铺垫。 2、指导学生写出已知、求证、证明过程(抽两人板演,教师点评,规范证 明格式) 应指出辅助线通常画为虚线,并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的 而是证明需要引用某个定义、公理、定理,但原图形不具备直接使用它们的条件, 这时就需要添辅助线创造条件,以达到证明的目的。 已知:如图,△ABC 求证:∠A+∠B+∠C=180° 证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥BA ∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等) ∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等) ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) (二)议一议、开阔思野: 搬三个角’的特点:把角‘搬’到一起,让顶点重合、两条边形成一条直 线,以便利用平角定义 在证明三角形内角和定理时,可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗? 引导学生叙述证明过程。 已知:如图,△ABC 求证:∠A+∠B+∠C=180 B
（一）动手操作、探索解法： 每个学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验。通过小 组合作交流，讨论有几种拼合方法？ 1、开展小组竞赛（看哪个小组发现多？说理清楚。），各小组派代表展示 拼图，并说出理由。 学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法。 归纳：可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以搬两 个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线（学生讨论，教师 点评），为书写证明过程做好铺垫。 2、指导学生写出已知、求证、证明过程（抽两人板演，教师点评，规范证 明格式）。 应指出辅助线通常画为虚线,并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的， 而是证明需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件， 这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CE∥BA． ∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) （二）议一议、开阔思野： ‘搬三个角’的特点：把角‘搬’到一起，让顶点重合、两条边形成一条直 线，以便利用平角定义。 在证明三角形内角和定理时，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗？ 引导学生叙述证明过程。 已知：如图，△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° A B C E D A B C D E
证明:过A点作DE∥BC ∵∴DE∥BC ∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C(两直线平行,内错角相等) ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) 那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢?集中在内部任意一点上 呢?外部呢?引导学生开阔思维,大胆探索证明方法。 让学生讲解自己的思维过程和解法 (三)例题解析,强化重点 已知:如图,AB∥CD。求证:∠ABE+∠BED+∠EDC=360°(用两种方法证明)。 F D D C (四)应用知识,深化主题: 学习了以上定理,我们来看看特殊三角形内角和有什么特殊的地方? 问题:“直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少 度?请证明你的结论。” (五)探究升化: 利用课件演示 1、三角形BC边不动,把顶点A‘压向BC,∠A越来越大,而∠B与∠C 的和越来越小,由此你能想到什么? 2、三角形BC边不动,把点A“拉离”BC,∠A就越来越小,而∠B与∠C则 越来越大,它们的和越来越接近180°,由此你能想到什么? B C C 图 图2
证明：过 A 点作 DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) 那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢？集中在内部任意一点上 呢？外部呢？引导学生开阔思维，大胆探索证明方法。 让学生讲解自己的思维过程和解法。 （三）例题解析，强化重点： 已知：如图， AB∥CD。求证：∠ABE+∠BED+∠EDC=360°（用两种方法证明）。 A B A B A B E F E E C D CD C D （四）应用知识，深化主题： 学习了以上定理，我们来看看特殊三角形内角和有什么特殊的地方？ 问题：“直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少 度？请证明你的结论。” （五）探究升化： 利用课件演示： 1、三角形 BC 边不动，把顶点 A‘压’向 BC，∠A 越来越大，而∠B 与∠C 的和越来越小，由此你能想到什么？ 2、三角形 BC 边不动，把点 A“拉离”BC，∠A 就越来越小，而∠B 与∠C 则 越来越大，它们的和越来越接近 1800，由此你能想到什么？ A B C A B C 图 1 图 2
三、反馈练习 (1)△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=? (2)∠A=50°,∠B=∠C,则△ABC中∠B=? (3)三角形中三角之比为1:2:3,则三个角各为多少度 (4)课本239页随堂练习2, 四、回顾小结,课堂延伸: “这节课你学到了哪些知识?你有什么收获?” 五、作业布置: 课本180页数学理解1、2、3
三、反馈练习： （1）△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？ （2）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC 中∠B=？ （3）三角形中三角之比为 1∶2∶3，则三个角各为多少度？ （4）课本 239 页随堂练习 2， 四、回顾小结，课堂延伸： “这节课你学到了哪些知识？你有什么收获？” 五、作业布置： 课本 180 页数学理解 1、2、3