第五章二元一次方程组 51认识二元一次方程组 第一环节:情境引入 内容: (一)情境1 实物投影,并呈现问题:在一望无际的呼伦贝尔大草原上,一头老牛和 匹小马驮着包裹吃力地行走着,老牛喘着气吃力地说:“累死我了”,小马说:“你 还累,这么大的个,才比我多驮2个”老牛气不过地说:“哼,我从你背上拿来 个,我的包裹就是你的2倍!”,小马天真而不信地说:“真的?!”同学们, 你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢? 请每个学习小组讨论(讨论2分钟,然后发言)教师注意引导学生设两个 未知数,从而得出二元一次方程 这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数,我们设老牛驮x个 包裹,小马驮y个包裹,老牛的包裹数比小马多2个,由此得方程x-y=2,若 老牛从小马背上拿来1个包裹,这时老牛的包裹是小马的2倍,得方程: x+1=2(y-1 (二)情境2 实物投影,并呈现问题:昨天,有8个人去红山公园玩,他们买门票共花了 34元每张成人票5元,每张儿童票3元那么他们到底去了几个成人、几个儿童 呢?同学们,你们能否用所学的方程知识解决呢? 仍请每个学习小组讨论(讨论2分钟,然后发言),老师注意引导学生分析 其中有几个未知量,如果分别设未知数,将得到什么样的关系式? 这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数,我们设他们中有 x个成年人,有y个儿童,在题目的条件中,我们可以找到的等量关系为:成人 人数十儿童人数=8,成人票款+儿童票款=34.由此我们可以得到方程x+y=8 和5x+3y=34 在这个问题中,可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答,我们要肯定
第五章 二元一次方程组 5.1 认识二元一次方程组 第一环节：情境引入 内容： （一）情境 1 实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一 匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你 还累，这么大的个，才比我多驮 2 个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来 一个，我的包裹就是你的 2 倍！”，小马天 真而不信地说：“真的？！”同学们， 你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？ 请每个学习小组讨论（讨论 2 分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个 未知数，从而得出二元一次方程. 这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮 x 个 包裹，小马驮 y 个包裹，老牛的包裹数比小马多 2 个，由此得方程 x y − = 2 ，若 老牛从小马背上拿来 1 个包裹，这时老牛的包裹是小马的 2 倍， 得方程： x y + = − 1 2 1 ( ). （二）情境 2 实物投影，并呈现问题：昨天，有 8 个人去红山公园玩，他们买门票共花了 34 元.每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童 呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？ 仍请每个学习小组讨论（讨论 2 分钟，然后发言），老师注意引导学生分析 其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？ 这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有 x 个成年人，有 y 个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人 人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程 x y + = 8 和 5 3 34 x y + = . 在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定
学生的做法,并将学生的答案保留下来,放到第二节二元一次方程组解法的学习 中去,让学生更有学习的好奇心与积极性同时告诉学生在某些有两个等量关系 的实际问题中,列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚 目的ε通过现实情景再现,让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学 模型,培养学生良好的数学应用意识. 设计效果:学生通过前面的情景引入,在老师的引导下,列出关注两个未 知数的方程,为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材,同时,有趣的情境, 也激发了学生学习的兴趣 第二环节:新课讲解,练习提高 内容: (一)二元一次方程概念的概括 提请学生思考:上面所列方程有几个未知数?所含未知数的项的次数是多 少?从而归纳出二元一次方程的概念:含有两个未知数,并且所含未知数的项 的次数都是1的方程教师对概念进行解析,要求学生注意:这个定义有两个要 求 ①含有两个未知数; ②所含未知数的项的最高次数是一次 再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题,进行巩固练习: 1.下列方程有哪些是二元一次方程 (1)x+3y-9=0,(2)3x2-2y+12=0,(3)32-4b=7 (4、y/,(5)3x(x-2y)=5,(6)m-5n=1 2如果方程2xm1-3y2m+n=1是二元一次方程,那么m=_,n= (二)二元一次方程组概念的概括 师提请学生思考:上面的方程x-y=2,x+1=2y-1)中的x含义相同吗? y呢?(两个方程中x的表示老牛驮的包裹数,y表示小马的包裹数,x、y的含 义分别相同.)由于x、y的含义分别相同,因而必同时满足x-y=2和 x+1=2(y-,我们把这两个方程用大括号联立起来,写成{-y=2 x+1=2(y-1) 从
学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习 中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系 的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚. 目的：通过现 实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学 模型，培养学生良好的数学应用意识. 设计效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个 未 知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境， 也激发了学生学习的兴趣. 第二环节：新课讲解，练习提高 内容： （一）二元一次方程概念的概括 提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多 少？从而归纳出二元一次方程的概念 ：含有两个未知数，并且所含未知数的项 的次数都是 1 的方程.教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要 求： ①含有两个未知数； ②所含未知数的项的最高次数是一次. 再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习： 1.下列方程有哪些是二元一次方程： （1） x + 3y − 9 = 0 ，（2） 3 2 12 0 2 x − y + = ，（3） 3a − 4b = 7 ， （4） 1 1 3 − = y x ，（5） 3x(x − 2y) = 5 ，（6） 5 1 2 − n = m . 2.如果方程 2 3 1 1 2 − = m− m+n x y 是二元一次方程，那么 m＝ ，n＝ . （二）二元一次方程组概念的概括 师提请学生思考：上面的方程 x y x y − = + = − 2 1 2 1 ， ( ) 中的 x 含义相同吗？ y 呢？（两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y 的含 义分别相同.）由于 x、y 的含义分别 相同，因而必同时满足 x y − = 2 和 x y + = − 1 2 1 ( ) ，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成 ( ) + = − − = 1 2 1 . 2, x y x y ，从
而得出二元一次方程组的概念:像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成 的一组方程如: 2x+3y=3,5x+3y=8 3y=0;,x+y=8 注意:在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象 再呈现一些辨析题,让学生进行巩固练习: 判断下列方程组是否是二元一次方程组 2y=1, x-7y=3 (1) (3) 3x+5y=12 3y+5=1; 2 3b=1, (4) (5) (6) 5ab+2b=3. 3x+8y=12, (三)因承上面的情境,得出有关方程的解的概念 1.x=6,y=2适合方程x+y=8吗?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你还能 找到其他xy值适合x+y=8方程吗? 2.x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗?x=2,y=8呢? 3你能找到一组值xy同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗?各小组合作 完成,各同学分别代入验算,教师巡回参与小组活动,并帮助找到3题的结论 由学生回答上面3个问题,老师作出结论 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的解 如x6y=2是方程x+y=8的一个解,记作{=6,;同样,{=5,也是方 y=2 y 程x+y=8的一个解,同时 又是方程5x+3y=34的一个解 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解 例如,{x=5就是二元一次方程组{+)=8的解 5x+3y= 然后,同样呈现一些辨析性练习:(投影) 1.下列四组数值中,哪些是二元一次方程x-3y=1的解?
而得出二元一次方程组的概念：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成 的一组方程.如： − = + = 3 0; 2 3 3, x y x y + = + = 8. 5 3 8, x y x y 注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象. 再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习： 判断下列方程组是否是二元一次方程组： （1） + = − = 3 5 12; 2 1, x y x y （2） − = + = 3 5; 1, 2 x y x y （3） + = − = 3 5 1; 7 3, y z x y （4） = = 2; 1, y x （5） + = − = 3 8 12; 5, 2 x y y x （6） + = − = 5 2 3. 2 3 1, ab b a b （三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念 1. x y = = 6, 2 适合方程 x y + = 8 吗？ x y = = 5, 3 呢？ x y = = 4, 4 呢？你还能 找到其他 x,y 值适合 x y + = 8 方程吗？ 2. x y = = 5, 3 适合方程 5 3 34 x y + = 吗？ x y = = 2, 8 呢？ 3.你能找到一组值 x,y 同时适合方程 x y + = 8 和 5 3 34 x y + = 吗？各小组合作 完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到 3 题的结论. 由学生回答上面 3 个问题，老师作出结论： 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解. 如 x=6, y=2 是方程 x+ y =8 的一个解，记作 = = 2 6, y x ；同样， = = 3 5, y x 也是方 程 x y + = 8 的一个解，同时 = = 3 5, y x 又是方程 5 3 34 x y + = 的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 例如， = = 3 5, y x 就是二元一次方程组 + = + = 5 3 34 8, x y x y 的解. 然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影） 1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程 x − 3y = 1 的解？
10 (A) (B) (D) y=3 2二元一次方程2x+3y=28的解有: 2.5 3二元一次方程组{x+2y=10的解是() (A){x=4(B){x=3 y=3 (C)/x=2 (D)/x=4 6 以{x=为解的二元一次方程组是() (A){x-y=3 (B) x-y=-1 (C) 5二元一次方程x+y=6的正整数解为 6如果{是 的解,那么 7写出一个以{=2,为解的二元一次方程组为(答案不唯一) 目的:通过新课的讲解以及学生的练习,充分做到讲练结合,让学生更好巩 固新知识 设计效果:通过本环节的讲解与训练,让学生对利用新知识解决一些简单问 题有更加明确的认识,同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的,需要前后联系, 才能更好地处理一些新问题. 第三环节:课堂小结 内容 1含有两未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元
（A） = = 3; 2, y x （B） = = 1; 4, y x （C） = = 3; 10, y x （D） = − = − 2. 5, y x 2.二元一次方程 2x + 3y = 28 的解有： = = _____. 5, y x = − = 2. _____, y x = = − _______. 2.5, y x = = . 3 7 _____, y x …… 3.二元一次方程组 = + = y x x y 2 2 10, 的解是（ ） （A） = = 3; 4, y x （B） = = 6; 3, y x （C） = = 4; 2, y x （D） = = 2. 4, y x 4.以 = = 2 1, y x 为解的二元一次方程组是（ ） （A） − = − = 3 1; 3, x y x y （B） + = − − = − 3 5; 1, x y x y （C） + = − − = − 3 5 5; 2 3, x y x y （D） + = − = − 3 5. 1, x y x y 5.二元一次方程 x + y = 6 的正整数解为 . 6.如果 = = 2 1, y x 是 − = + = x y n x y m 3 2 , 的解，那么 m＝ ，n＝ . 7.写出一个以 = − = 3 2, y x 为解的二元一次方程组为 . （答案不唯一） 目的：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩 固新知识. 设计效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问 题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系， 才能更好地处理一些新问题. 第三环节：课堂小结 内容： 1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一
次方程 2二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值,它有无数个解 3含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程,叫做二元一次方程 组,它的解是两个方程的公共解,是一组确定的值 目的:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,从而将本节知识点 进行很好的回顾以加深学生的印象,同时使知识系统化 设计效果:本环节虽然用时不多,却是必不可少的教学环节,对学生回顾与 整理本节课的知识效果明显. 第四环节:布置作业 习题5.1 教学设计反思 本节课充分体现了从问题情景中抽象数学问题、使用各种数学语言表达问 题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的 有意义的这一变化学习过程在教学中力求体现“问题情景——建立数学模型 ——解释、应用与拓展”的模式,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立 元一次方程的数学模型,学会逐步掌握基本的数学知识和方法,形成良好的数学 思维习惯和应用意识,提高自己解决问题的能力,感受数学创造的乐趣,增进学 好数学的信心,获得对数学较全面的体验和理解 2通过情境引入,让同学们体会到了生活中的数学无处不在,激发了学生强 烈的求知欲望,学生的反应非常积极踊跃,丰富了学生们的情感与态度充分利 用小组合作交流,让同学们自己找出方程中的等量关系,启发同学们自己说出各 个定义的理解在同学们合作做题的时候,老师进一步强调小组合作交流、合理 分配时间会取得更好的效果教学过程各环节紧紧相扣,整个教学过程逻辑思维 清晰,问题与问题之间衔接紧密,每一步都为下一步做了很好的铺垫 3这个案例主要针对中等生而设计,教师可根据学生学习能力再进行设计上 的侧重比如,学生学习能力较强,可在实际问题中抽象二元一次方程组的模型 环节、课后的拓展环节增加适当的深层次的内容,以满足学生的学习需要
次方程. 2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解. 3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程 组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值. 目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点 进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化. 设计效果：本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与 整理本节课的知识效果明显. 第四环节：布置作业 习题 5.1 教学设计反思 1.本节课充分体现了从问题情景中抽象数学问题、使用各种数学语言表达问 题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的 有意义的这一变化学习过程.在教学中力求体现“问题情景——建立数学模型 ——解释、应用与拓展”的模式，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立二 元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学 思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学 好数学的信心，获得对数学较全面的体验和理解. 2.通过情境引入，让同学们体会到了生活中的数学无处不在，激发了学生强 烈的求知欲望，学生的反应非常积极踊跃，丰富了学生们的情感与态度.充分利 用小组合作交流，让同学们自己找出方程中的等量关系，启发同学们自己说出各 个定义的理解.在同学们合作做题的时候，老师进一步强调小组合作交流、合理 分配时间会取得更好的效果.教学过程各环节紧紧相扣，整个教学过程逻辑思维 清晰，问题与问题之间衔接紧密，每一步都为下一步做了很好的铺垫. 3.这个案例主要针对中等生而设计，教师可根据学生学习能力再进行设计上 的侧重.比如，学生学习能力较强，可在实际问题中抽象二元一次方程组的模型 环节、课后的拓展环节增加适当的深层次的内容，以满足学生的学习需要