5.5应用二元一次方程组一一里程碑上的数 教学目标一 1.利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题:(重点) 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程 数学过程 、情境导入 小刚的爸爸开车带着小刚出去玩,他们匀速行驶在公路上.10:00时,小刚看到里程碑 上是一个两位数,它的两个数字之和是8:11:00时,他又看到里程碑上是一个两位数,它 的两个数字与第一次看到的两位数的数字刚好互换了位置;14:00时他看到里程碑上的数 变成了三位数,它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少1,十位数字比第一次看 到的两位数的个位数字多1,个位数字是0.你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少 吗? 二、合作探究 探究点一:利用二元一次方程组解决数字问题 【类型一】年龄问题 囹1父亲给儿子出了一道题,要儿子猜出答案:有一对母女,5年前母亲的年龄是女 儿年龄的15倍,15年后,母亲的年龄比女儿年龄的2倍只多6岁.那么现在这对母女的年 龄分别是多少? 解析:先分别设出现在这对母女的年龄,再用它们表示出5年前母女的年龄和15年后 母女的年龄,则根据①5年前,母亲的年龄是女儿年龄的15倍;②15年后,母亲的年龄是 女儿年龄的2倍再加6,列出方程组 母亲女儿 现在年龄/岁 X y 5年前的年龄/岁|x y-5 15年后的年龄/岁|x+15|y+15 x-5=15( 5) 解设现在这对母女的年龄分别是x岁和y岁,由题意,得x+15=2(7+15)+6
5．5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题；(重点) 2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程． 一、情境导入 小刚的爸爸开车带着小刚出去玩，他们匀速行驶在公路上.10：00 时，小刚看到里程碑 上是一个两位数，它的两个数字之和是 8；11：00 时，他又看到里程碑上是一个两位数，它 的两个数字与第一次看到的两位数的数字刚好互换了位置；14：00 时他看到里程碑上的数 变成了三位数，它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少 1，十位数字比第一次看 到的两位数的个位数字多 1，个位数字是 0.你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少 吗？ 二、合作探究 探究点一：利用二元一次方程组解决数字问题 【类型一】 年龄问题 父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母女，5 年前母亲的年龄是女 儿年龄的 15 倍，15 年后，母亲的年龄比女儿年龄的 2 倍只多 6 岁．那么现在这对母女的年 龄分别是多少？ 解析：先分别设出现在这对母女的年龄，再用它们表示出 5 年前母女的年龄和 15 年后 母女的年龄，则根据①5 年前，母亲的年龄是女儿年龄的 15 倍；②15 年后，母亲的年龄是 女儿年龄的 2 倍再加 6，列出方程组. 母亲 女儿 现在年龄/岁 x y 5 年前的年龄/岁 x－5 y－5 15 年后的年龄/岁 x＋15 y＋15 解：设现在这对母女的年龄分别是 x 岁和 y 岁，由题意，得 x－5＝15（y－5）， x＋15＝2（y＋15）＋6
解得 答:现在这对母女的年龄分别是35岁和7岁 方法总结:解答年龄问题的关键是年龄差不变及增长岁数相同 【类型二】数字问题 例2一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为9,把这个两位数的十位数字 和个位数字对调所得新两位数比原两位数大9,求这个两位数 解析:若个位上的数字为x,十位上的数字为y,则这个两位数为10y+x.由相等关系 数字之和为9”及“新两位数比原两位数大9”可列方程组 解:设这个两位数的个位上的数字为x,十位上的数字为y 根据题意,得 Jx+y=9, (10x+y)-(10y+x)=9 解得 Vy=4,则10y+x=45 故这个两位数是45 方法总结:数字问题中所求的未知量一般是原数,解题时,一般先设原数数位上的数字 为未知数,再写出这个数 探究点二:利用二元一次方程组解决行程问题 【类型一】相遇问题 例3某体育场的一条环形跑道长400m甲、乙两人从跑道上同一地点出发,分别以不 变的速度练习长跑和骑自行车.如果背向而行,每隔〓in他们相遇一次;如果同向而行, 每隔1-min乙就追上甲一次.问甲、乙每分钟各行多少米? 解析:题中的两个相等关系为:①乙骑车的路程+甲跑步的路程=400m(背向);②乙骑 车的路程-甲跑步的路程=400m(同向) 解:设乙骑车每分钟行xm,甲每分钟跑ym,由题意,得 解得 y=250 2x-y=400 答:甲每分钟跑250m,乙每分钟骑550m 方法总结:环路上的等量关系:若同时同地出发,当背向而行,第一次相遇时,二者路
解得 x＝35， y＝7. 答：现在这对母女的年龄分别是 35 岁和 7 岁． 方法总结：解答年龄问题的关键是年龄差不变及增长岁数相同． 【类型二】 数字问题 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 9，把这个两位数的十位数字 和个位数字对调所得新两位数比原两位数大 9，求这个两位数． 解析：若个位上的数字为 x，十位上的数字为 y，则这个两位数为 10y＋x.由相等关系 “数字之和为 9”及“新两位数比原两位数大 9”可列方程组． 解：设这个两位数的个位上的数字为 x，十位上的数字为 y. 根据题意，得 x＋y＝9， （10x＋y）－（10y＋x）＝9. 解得 x＝5， y＝4， 则 10y＋x＝45. 故这个两位数是 45. 方法总结：数字问题中所求的未知量一般是原数，解题时，一般先设原数数位上的数字 为未知数，再写出这个数． 探究点二：利用二元一次方程组解决行程问题 【类型一】 相遇问题 某体育场的一条环形跑道长 400m.甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不 变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔1 2 min 他们相遇一次；如果同向而行， 每隔 1 1 3 min 乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？ 解析：题中的两个相等关系为：①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400m(背向)；②乙骑 车的路程－甲跑步的路程＝400m(同向)． 解：设乙骑车每分钟行 xm，甲每分钟跑 ym，由题意，得 1 2 x＋ 1 2 y＝400， 4 3 x－ 4 3 y＝400. 解得 x＝550， y＝250. 答：甲每分钟跑 250m，乙每分钟骑 550m. 方法总结：环路上的等量关系：若同时同地出发，当背向而行，第一次相遇时，二者路
程之和=环路的周长;若同时同地出发,同向而行,第一次相遇时,快者的路程-慢者的路 程=环路的周长 【类型二】行程问题 囹4A、B两码头相距140km,一艘轮船在其间航行,顺水航行用了7h,逆水航行用了 10h,求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 解析:设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h,水流速度为ykm/h,列表如下, 路程 速度 时间 顺流140km(x+y)km/h 逆流140km(x-y)km 解:设这艘轮船在静水中的速度为xkmh,水流速度为ykm/h.由题意,得 10( x=y)=10每得x=17, 7(x+y)=140, y=3 答:这艘轮船在静水中的速度为17km/h,水流速度为3km/h 方法总结:本题关键是找到各速度之间的关系,顺速=静速+水速,逆速=静速-水速 再结合公式“路程=速度×时间”列方程组 三、板书设计 数字问题 “里程碑上的数”问题 行程问题 数学反思 数学思想方法是数学学习的灵魂.教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法(如化归方 法),介绍化归思想及其运用,既可提高学生的学习兴趣,开阔视野,同时也提高学生对数 学思想的认识,提升解题能力
程之和＝环路的周长；若同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，快者的路程－慢者的路 程＝环路的周长． 【类型二】 行程问题 A、B 两码头相距 140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了 7h，逆水航行用了 10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度． 解析：设这艘轮船在静水中的速度为 xkm/h，水流速度为 ykm/h，列表如下， 路程 速度 时间 顺流 140km (x＋y)km/h 7h 逆流 140km (x－y)km/h 10h 解 ： 设 这艘 轮 船在 静水 中 的速 度 为 xkm/h ， 水流 速 度为 ykm/h.由题意， 得 7（x＋y）＝140， 10（x－y）＝140. 解得 x＝17， y＝3. 答：这艘轮船在静水中的速度为 17km/h，水流速度为 3km/h. 方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速； 再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组． 三、板书设计 “里程碑上的数”问题 数字问题 行程问题 数学思想方法是数学学习的灵魂．教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法(如化归方 法)，介绍化归思想及其运用，既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数 学思想的认识，提升解题能力．