5.4应用二元一次方程组一—增收节支 教学目标一 1.会利用列表分析题中所蕴含的数量关系,列出二元一次方程组解决实际问题;(重点) 2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程 数学过程 情境导入 (1)某工厂去年的总产值是x万元,今年的总产值比去年增加了20%,则今年的总产值 万元; (2)若该厂去年的总支出为y万元,今年的总支出比去年减少了10%,则今年的总支出 万元; (3)若该厂今年的利润为780万元,那么由(1),(2)可得方程 合作探究 探究点一:列二元一次方程组解决百分数、小数(增收节支)问题 【类型一】列二元一次方程组解决增长率问题 1为了解决民工子女入学难的问题,我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制 其中一项就是免交“借读费”.据统计,去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习, 预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加,其中小学增加20%,中 学增加30%,这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习 1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算,求今年 秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”? (2)如果小学每40名学生配备2名教师,中学每40名学生配备3名教师,按今年秋季 入学后,民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算,一共需配备多少名中小学教师? 解析:解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中,小学生和初中生各有民工子女多 少人.欲求解这个问题,先要求出去年秋季入学的学生中,小学生和初中生各有民工子女多 少人 解:(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人,在主城区中学学习的民工子 女有y人 解得{=30 20%x+30%y=1160 y=160020%x=680,30%y=480,500×680+ 1000×480=820000(元)=82(万元) 答:今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费” 2)今年秋季入学后,在小学就读的民工子女有3400×(1+209%)=4080(人),在中学就 读的民工子女有1600×(1+30%)=2080(人),需要配备的中小学教师(4080÷40)×2+ (2080÷40)×3=360(名)
5．4 应用二元一次方程组——增收节支 1．会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题；(重点) 2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程． 一、情境导入 (1)某工厂去年的总产值是 x 万元，今年的总产值比去年增加了 20%，则今年的总产值 是________万元； (2)若该厂去年的总支出为 y 万元，今年的总支出比去年减少了 10%，则今年的总支出 是________万元； (3)若该厂今年的利润为 780 万元，那么由(1)，(2)可得方程________________． 二、合作探究 探究点一：列二元一次方程组解决百分数、小数(增收节支)问题 【类型一】 列二元一次方程组解决增长率问题 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制， 其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有 5000 名民工子女进入主城区中小学学习， 预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加 20%，中 学增加 30%，这样今年秋季将新增 1160 名民工子女在主城区中小学学习． (1)如果按小学每年收“借读费”500 元、中学每年收“借读费”1000 元计算，求今年 秋季新增的 1160 名中小学生共免收多少“借读费”？ (2)如果小学每 40 名学生配备 2 名教师，中学每 40 名学生配备 3 名教师，按今年秋季 入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？ 解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多 少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多 少人． 解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有 x 人，在主城区中学学习的民工子 女有 y 人．则 x＋y＝5000， 20%x＋30%y＝1160. 解得 x＝3400， y＝1600. 20%x＝680，30%y＝480，500×680＋ 1000×480＝820000(元)＝82(万元)． 答：今年秋季新增的 1160 名中小学生共免收 82 万元“借读费”． (2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有 3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就 读的民工子女有 1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋ (2080÷40)×3＝360(名)．
答:一共需配备360名中小学教师 方法总结:在解决与增长相关的问题中应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系: 增长率=(增长后的量-原来的量)÷原来的量 【类型二】列二元一次方程组解决利润问题 逦例2]某商场购进甲、乙两种商品后,甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价,适逢 元旦,商场举办促销活动,甲商品打八折销售,乙商品打八五折酬宾,某顾客购买甲、乙商 品各1件,共付款538元,已知商场共盈利88元,求甲、乙两种商品的进价各是多少元? 解析:本题中所含的等量关系有:①甲商品的售价+乙商品的售价=538元;②甲商品 的利润+乙商品的利润=88元.其中甲商品的售价=甲商品的进价×(1+50%)×80%,乙商 品的售价=乙商品的进价×(1+40%)×85%,利润=售价-进价 解:设甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,根据题意,得 y+88=538, lx(1+50%)×80%+y(1+40%)×85%=538 化简 x+y=450, 解得 1.2x+1.19y=538 200 答:甲商品的进价为250元,乙商品的进价为200元 方法总结:销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系:利润=售价-进价, 售价=标价×折扣,售价=进价+利润等 探究点二:列方程组解决方案问题 例3某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机,以满足市场需求.已知该厂 家生产三种不同型号的手机,出厂价分别为甲型号手机每部1200元,乙型号手机每部400 元,丙型号手机每部800元 (1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部,请你研究一下商场的进货 方案 2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元,每销售一部乙型号手机可获利80元,每 销售一部丙型号手机可获利120元,那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中,哪种 进货方案获利最多? 解析:根据题意有三种购买方案:①甲、乙;②甲、丙;③乙、丙.然后根据所含等量 关系求出每种方案的进货数. 解:(1)①若购甲、乙两种型号:设购进甲型号手机x部,乙型号手机y部.根据题意, 1200x1+400y1=4000
答：一共需配备 360 名中小学教师． 方法总结：在解决与增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系： 增长率＝(增长后的量－原来的量)÷原来的量． 【类型二】 列二元一次方程组解决利润问题 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价 50%、乙商品加价 40%作为标价，适逢 元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商 品各 1 件，共付款 538 元，已知商场共盈利 88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ 解析：本题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538 元；②甲商品 的利润＋乙商品的利润＝88 元．其中甲商品的售价＝甲商品的进价×(1＋50%)×80%，乙商 品的售价＝乙商品的进价×(1＋40%)×85%，利润＝售价－进价． 解：设甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，根据题意，得 x＋y＋88＝538， x（1＋50%）×80%＋y（1＋40%）×85%＝538. 化简，得 x＋y＝450， 1.2x＋1.19y＝538. 解得 x＝250， y＝200. 答：甲商品的进价为 250 元，乙商品的进价为 200 元． 方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价， 售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等． 探究点二：列方程组解决方案问题 某商场计划用 40000 元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂 家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部 1200 元，乙型号手机每部 400 元，丙型号手机每部 800 元． (1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共 40 部，请你研究一下商场的进货 方案； (2)商场每销售一部甲型号手机可获利 120 元，每销售一部乙型号手机可获利 80 元，每 销售一部丙型号手机可获利 120 元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种 进货方案获利最多？ 解析：根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量 关系求出每种方案的进货数． 解：(1)①若购甲、乙两种型号：设购进甲型号手机 x1 部，乙型号手机 y1 部．根据题意， 得 x1＋y1＝40， 1200x1＋400y1＝40000
x1=30, 解得 所以购进甲型号手机30部,乙型号手机10部. ②若购甲、丙两种型号:设购进甲型号手机x2部,丙型号手机y2部 根据题意,得 jx2+y2=40, 1200x2+800y2=40000. 解得1 y2=20. 所以购进甲型号手机20部,丙型号手机20部 ③若购乙、丙两种型号:设购进乙型号手机x3部,丙型号手机y3部 根据题意,得 jx3+y3=40, 400x3+800y3=40000 解得 y:=60 因为x3表示手机部数,只能为正整数,所以这种情况不合题意,应舍去 综上所述,商场共有两种进货方案 方案1:购甲型号手机30部,乙型号手机10部 方案2:购甲型号手机20部,丙型号手机20部. (2)方案1获利:120×30+80×10=4400(元); 方案2获利:120×20+120×20=4800(元) 所以,第二种进货方案获利最多 方法总结:仔细读题,找出相等关系.当用含未知数的式子表示相等关系的两边时,要 注意不同型号的手机数量和单价要对应 三、板书设计 增收节支问题 「增长率问题 利润问题 列二元一次方程,组解决实际问题) 利用图表分析等量关系 方案选择 教学反思 通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系,乐于接触生活环境中的 数学信息,愿意参与数学话题的研讨,从中懂得数学的价值,逐步形成运用数学的意识:并 且通过对问题的解决,培养学生合理优化的经济意识,增强他们的节约和有效合理利用资源 的意识
解得 x1＝30， y1＝10. 所以购进甲型号手机 30 部，乙型号手机 10 部． ②若购甲、丙两种型号：设购进甲型号手机 x2 部，丙型号手机 y2 部． 根据题意，得 x2＋y2＝40， 1200x2＋800y2＝40000. 解得 x2＝20， y2＝20. 所以购进甲型号手机 20 部，丙型号手机 20 部． ③若购乙、丙两种型号：设购进乙型号手机 x3 部，丙型号手机 y3 部． 根据题意，得 x3＋y3＝40， 400x3＋800y3＝40000. 解得 x3＝－20， y3＝60. 因为 x3 表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去． 综上所述，商场共有两种进货方案． 方案 1：购甲型号手机 30 部，乙型号手机 10 部； 方案 2：购甲型号手机 20 部，丙型号手机 20 部． (2)方案 1 获利：120×30＋80×10＝4400(元)； 方案 2 获利：120×20＋120×20＝4800(元)． 所以，第二种进货方案获利最多． 方法总结：仔细读题，找出相等关系．当用含未知数的式子表示相等关系的两边时，要 注意不同型号的手机数量和单价要对应． 三、板书设计 增收节支问题 分析 解决 列二元一次方程,组解决实际问题) 增长率问题 利润问题 利用图表分析等量关系 方案选择 通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的 数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识；并 且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们的节约和有效合理利用资源 的意识．
