52求解二元一次方程组 第1课时代入法 第一环节:情境引入 内容: 教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题,想一想当时是怎么 获得二元一次方程组的解的 设他们中有x个成人,y个儿童,我们得到了方程组 成人和儿 5x+3y=34 童到底去了多少人呢?在上一节课的“做一做”中,我们通过检验 是不 是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解,从而得知这个解既是x+y=8的解,也 是5x+3y=34的解,根据二元一次方程组的解的定义,得出{X=3是方程组 x+y=8 的解.所以成人和儿童分别去了5人和3人 5x+3y=34 提出问题:每一个二元一次方程的解都有无数多个,而方程组的解是方程组 中各个方程的公共解,前面的方法中我们找到了这个公共解,但如果数据不巧, 这可没那么容易,那么,有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢? 目的ε“温故而知新”,培养学生养成时时回顾已有知识的习惯,并在回顾的 过程中学会思考和质疑,通过质疑,自然地引出我们要研究和解决的问题 设计效果:通过对已有知识的回顾和思考,学生知识获得既感到自然又倍添 新奇,有跃跃欲试的心情. 第二环节:探索新知 内容 回顾七年级第一学期学习的一元一次方程,是不是也曾碰到过类似的问题, 能否利用一元一次方程求解该问题?(由学生独立思考解决,教师注意指导学 生规范表达)
5.2 求解二元一次方程组 第 1 课时 代入法 第一环节：情境引入 内容： 教师引导学生共同回忆上一节课讨论的“买门票”问题，想一想当时是怎么 获得二元一次方程组的解的. 设他们中有 x 个成人，y 个儿童，我们得到了方程组 + = + = 5 3 34. 8, x y x y 成人和儿 童到底去了多少人呢？在上一节课 的“做一做”中，我们通过检验 = = 3 5, y x 是不 是方程 x y + = 8 和方程 5 3 34 x y + = 的解，从而得知这个解既是 x y + = 8 的解，也 是 5 3 34 x y + = 的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出 = = 3 5, y x 是方程组 + = + = 5 3 34 8, x y x y 的解.所以成人和儿童分别去了 5 人和 3 人. 提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组 中各个方程的公共解，前面的方法中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧， 这可没那么容易，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？ 目的：“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的 过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题. 设计效果：通过对已有知识的回顾和思考，学生知识获得既感到自然又倍添 新奇，有跃跃欲试的心情. 第二环节：探索新知 内容： 回顾七年级第一学期学习的一元一次方程，是不是也曾碰到过类似的问题， 能否利用一元一次方程求解该问题？ （由学生独立思考解决，教师注意指导学 生规范表达）
解:设去了x个成人,则去了(8-x)个儿童,根据题意,得: 5x+3(8-x)=34 解得:x=5 将x=5代入8 解得:8-5=3 答:去了5个成人,3个儿童 在学生解决的基础上,引导学生进行比较:列二元一次方程组和列一元一次 方程设未知数有何不同?列出的方程和方程组又有何联系?对你解二元一次方 程组有何启示? (先让学生独立思考,然后在学生充分思考的前提下,进行小组讨论,在此 基础上由学生代表回答,老师适时地引导与补充,力求通过学生观察、思考与讨 论后能得出以下的一些要点.) 1.列二元一次方程组设有两个未知数:x个成人,y个儿童.列一元一次方程 只设了一个未知数:x个成人,儿童去的个数等于去的总人数与去的成人数之差, 得出(8-x)个.因此y应该等于(8-x).而由二元一次方程组的一个方程 +y=8,根据等式的性质可以推出y=8-x 2.发现一元一次方程中5x+3(8-x)=34与方程组中的第二个方程 5x+3y=34相类似,只需把5x+3y=34中的“y”用“(8-x)”代替就转化 成了一元一次方程 教师引导学生发现了新旧知识之间的联系,便可寻求到解决新问题的方法 即将新知识(二元一次方程组)转化为旧知识(一元一次方程)便可 (由学生来回答)上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同 个未知量所以将{x+y=8① 中的①变形,得y=8-x③,我们把y=8-x代 5x+3y=34② 入方程②,即将②中的y用(8-x)代替,这样就有5x+3(8-x)=34.“二元”化 成“一元
解：设去了 x 个成人，则去了 (8 ) − x 个儿童，根据题意，得： 5 3 8 34 x x + − = ( ) 解得： x = 5 将 x = 5 代入 8− x , 解得：8－5=3. 答：去了 5 个成人， 3 个儿童. 在学生解决的基础上，引导学生进行比较：列二元一次方程组和列一元一次 方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方 程组有何启示？ （先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此 基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨 论后能得出以下的一些要点.） 1.列二元一次方程组设有两个未知数：x 个成人，y 个儿童.列一元一次方程 只设了一个未知数：x 个成人，儿童去的个数等于去的总人数与去的成人数之差， 得出 (8 ) − x 个.因此 y 应该等于 (8 ) − x .而由二元一次方程组的一个方程 x y + = 8 ，根据等式的性质可以推出 y x = −8 . 2. 发 现 一 元 一 次 方 程 中 5 3(8 ) 34 x x + − = 与 方 程 组 中 的 第 二 个 方 程 5 3 34 x y + = 相类似，只需把 5 3 34 x y + = 中的“y”用“ (8 − x) ”代替就转化 成了一元一次方程. 教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法— —即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可. （由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一 个未知量.所以将 + = + = x y ② x y ① 5 3 34 8, 中的①变形，得 y x = −8 ③，我们把 y x = −8 代 入方程②，即将②中的 y 用 (8− x) 代替，这样就有 5 3 8 34 x x + − = ( ) .“二元”化 成“一元
教师总结:同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未 知为已知”的化归思想,通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这 个二元一次方程组 (教师把解答的详细过程板书在黑板上,并要求学生一起来完成) x+y=8.① 解 5x+3y=34② 由①得:y=8-x.③ 将③代入②得 5x+3(8-x)=34 解得:x=5 把x=5代入③得:y=3 所以原方程组的解为 x=5, =3 (提醒学生进行检验,即把求出的解代入原方程组,必然使原方程组中的每 个方程都同时成立,如不成立,则可知解有误) 下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题 (放手让学生用己经获取的经验去解决新的问题,由学生自己完成,让两个 学生在黑板上规范的板书,教师巡视:发现学生的闪光点以及存在的问题并适时 的加以辅导,以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归” 的数学思想.) 目的ε通过学生自己对比、思考、发现,让学生惊喜的发现“温故而知新”, 将新知融入旧知,体会“化未知为已知”的化归思想的神奇,培养学生独立获取 知识的愿望和能力 设计效果:通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法,从 中体会到解方程组中“消元”的本质 第三环节:巩固新知 内容:
教师总结：同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未 知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这 个二元一次方程组. （教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成） 解： 8, 5 3 34. x y x y + = + = ① ② 由 得： y x = −8 . ③ 将③代入②得： 5 3 8 34 x x + − = ( ) . 解得： x = 5. 把 x = 5 代入③得： y = 3 . 所以原方程组的解为： = = 3. 5, y x （提醒学生进行检验，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每 个方程都同时成立，如不成立，则可知解有误） 下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题. （放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个 学生在黑板上规范的板书，教师巡视：发现学生的闪光点以及存在的问题并适时 的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归” 的数学思想.） 目的：通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”， 将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取 知识的愿望和能力. 设计效果：通过学生自己的观察、比较、总结出二元一次方程组的解法，从 中体会到解方程组中“消元”的本质. 第三环节：巩固新知 内容：
1.例:解下列方程组: 3x+2y=14, 2x+3y=16 x=y+3; x+4y=13 (根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成) (1)解:将②代入①,得:3+3)+2y=14 解得: 把y=1代入②,得:x=4 所以原方程组的解为 (2)由②,得:x=13-4y.③ 将③代入①,得:2(3-4y)+3y=16 解得 将y=2代入③,得:x 所以原方程组的解是 2 (②)题需先进行恒等变形,教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解, 在求解过程中学生消元的具体方法可能不同,所以教学中不必强求解答过程的统 但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单. 让学生在解题中进行思考) (教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考,判断它们是否是原 方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方 2.思考总结:(教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补 充与评价,并提出下面的问题) (1)给这种解方程组的方法取个什么名字好? (2)上面解方程组的基本思路是什么? (3)主要步骤有哪些?
1.例：解下列方程组： (1) = + + = 3; 3 2 14, x y x y (2) + = + = 4 13. 2 3 16, x y x y （根据学生的情况可以选择学生自己完成或教师指导完成） (1)解：将②代入①，得： 3(y +3)+ 2y =14. 解得： y = 1. 把 y =1 代入②，得： x = 4 . 所以原方程组的解为： = = 1. 4, y x (2)由②，得： x = 13 − 4y . ③ 将③代入①，得： 2(13−4y)+3y =16. 解得： y = 2 . 将 y=2 代入③，得： x = 5 . 所以原方程组的解是 = = 2. 5, y x （⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解， 在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统 一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单. 让学生在解题中进行思考） （教师在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原 方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学 会检验方程组解的方 法.） 2.思考总结：（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补 充与评价，并提出下面的问题） ⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？ ⑵上面解方程组的基本思路是什么？ ⑶主要步骤有哪些？
(4)我们观察例题的解法会发现,我们在解方程组之前,首先要观察方程组中 未知数的特点,尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程 变形,这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢? (由学生分组讨论,教师深入参与到学生讨论中,发现学生在自主探索、讨 论过程中的独特想法,请学生小组的代表回答或学生举手回答,其余学生可以补 充,力求让学生能够回答出以下的要点,教师要板书要点,在学生回答时注意进 行积极评价) 1.在解上面两个二元一次方程组时,我们都是将其中的一个方程变形,即用 含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数,然后代入另一个未变形的方程, 从而由“二元”转化为“一元”,达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法 2.解二元一次方程组的基本思路是消元,把“二元”变为“一元” 3.解上述方程组的步骤: 第一步:在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程,将它的某个未知 数用含有另一个未知数的代数式表示出来 第二步:把此代数式代入没有变形的另一个方程中,可得一个一元一次方 程. 第三步:解这个一元一次方程,得到一个未知数的值. 第四步:把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的 方程(一般代入变形后的方程),求得另一个未知数的值. 第五步:把方程组的解表示出来 第六步:检验(口算或笔算在草稿纸上进行),即把求得的解代入每一个方程 看是否成立 用代入消元法解二元一次方程组时,尽量选取一个未知数的系数的绝对值 是1的方程进行变形;若未知数的系数的绝对值都不是1,则选取系数的绝对值 较小的方程变形 目的:进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路,熟练解二元一次方程组 的基本步骤和过程,并能对二元一次方程组的解进行检验 设计效果:通过本环节的学习,学生能够独立地运用代入消元法解二元一次
⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中 未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程 变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？ (由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨 论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补 充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进 行积极评价) 1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用 含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程， 从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法. 2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”. 3.解上述方程组的步骤： 第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知 数用含有另一个未知数的代数式表示出来. 第二步：把此代数式代入没有 变形的另一个方程中，可得一个一元一次方 程. 第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值. 第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的 方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值. 第五步：把方程组的解表示出来. 第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程 看是否成立. 4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值 是 1 的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是 1，则选取系数的绝对值 较小的方程变形. 目的：进一步熟悉解二元一 次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组 的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验. 设计效果：通过本环节的学习，学生能够独立地运用代入消元法解二元一次
方程组. 第四环节:练习提高 内容 1.教材随堂练习(在随堂练习中,可以鼓励学生通过自主探索与交流,各个 学生消元的具体方法可能不同,可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代 换的思想,若有条件可以提出,为下一课做点铺垫也可以) 2.补充练习:用代入消元法解下列方程组: 3x-2y=7 x+2y=4, (1){ 3x-4y=19 V=3 2y=3 ()x+3 y=0 2 (注:[2]题可以用整体代入法来解,把第二个方程变为2y=3-x,再将它 代入第一个方程,得3x-2(x-3)=19 [3]题分数线有括号功能;[4]题如果有 时间,学生学有余力可作为补充题目.) 目的:对本节知识进行巩固练习 设计效果ε通过练习,巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方 第五环节:课堂小结 内容: 师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”,即把“二元” 变为“一元”;解二元一次方程组的第一种解法—一代入消元法,其主要步骤是: 将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代 入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.解这 个一元一次方程,便可得到一个未知数的值,再将所求未知数的值代入变形后的 方程,便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解. 目的ε鼓励学生通过本节课的学习,谈谈自己的收获与感受,加深对“温 故而知新”的体会,知道“学而时习之
方程组. 第四环节：练习提高 内容： 1.教材随堂练习（在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个 学生消元的具体方法可能不同，可以不必强调解答过程统一.可能会出现整体代 换的思想，若有条件可以提出，为下一课做点铺垫也可以） 2.补充练习：用代入消元法解下列方程组： (1) − = + = 2 3; 2 4, x y x y (2) + = − = 2 3; 3 4 19, x y x y ⑶ − = + − = 0. 2 3 3 2 7, y x x y （注：[2]题可以用整体代入法来解，把第二个方程变为 2 3 y x = − ，再将它 代入第一个方程，得 3 2 3 19 x x − − = ( ) ；[3]题分数线有括号功能；[4]题如果有 时间，学生学有余力可作为补充题目.） 目的：对本节知识进行巩固练习. 设计效果：通过练习，巩固和熟练了运用代入消元法解二元一次方程组的方 法. 第五环节：课堂小结 内容： 师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元” 变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是： 将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代 入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这 个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的 方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解. 目的：鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对 “温 故而知新” 的体会，知道“学而时习之
设计效果:学生能够在课堂上畅所欲言,并通过自己的归纳总结,进一步巩 固了所学知识 第六环节:布置作业 课本习题5.2 教学设计反思 1.引入自然.二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容教 材通过上一小节的实际问题,比较一元一次方程的列法和解法,从而自然引入二 元一次方程组的代入消元解法 2.探究有序.回顾一元一次方程的解法,借此探索二元一次方程组的解法, 使得学生的探究有了很好的认知基础,探究显得十分自然流畅 3.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想, 以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基 础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实. 4.值得注意的方面.在学生总结解题步骤的环节,一定要留给学生足够的观 察、思考、总结、组织语言的时间,训练学生的观察归纳能力,提高学生学习能 力
设计效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩 固了所学知识. 第六环节：布置作业 课本习题 5.2 教学设计反思 1.引入自然.二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教 材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二 元一次方程组的代入消元解法. 2.探究有序.回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法， 使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅. 3.充分体现了转化与化归思想.引导学生充分思考和体验转化与化归思想， 以利于总体目标中所提出的“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基 础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的落实. 4.值得注意的方面.在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观 察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察归纳能力，提高学生学习能 力