7.3平行线的判定 教学目标一 1.了解并掌握平行线的判定公理和定理;(重点) 2.了解证明的一般步骤.(重点 数学过程 情境导入 我们知道,光线从空气中进入水中会发生折射现象,光线从水中进入空气中,同样也会 发生折射现象.如图为光线从空气中进入水中,再从水中进入空气中的示意图.由于折射率 相同,因此有∠1=∠4, ∠3,那么你能说明光线c与d平行吗? 空气 a=-2×- 空气 、合作探究 探究点一:平行线的判定 【类型一】平行线的判定公理 1如图,直线1、12、13、14两两相交,且∠1=∠2=∠3.求证:1∥12,13∥1 l3 解析:∠1和∠2是直线1、L2被直线l所截得的同位角,∠2和∠3是直线13、14被直 线12所截得的同位角,所以由∠1=∠2可以判定1112,由∠2=∠3可以判定11 证明:∵∠1=∠2(已知),∴1∥12(同位角相等,两直线平行).∵∠2=∠3(已知), ∴13∥l4(同位角相等,两直线平行) 方法总结:利用平行线的判定公理进行推理证明的关键是分清同位角是哪两条直线被第 三条直线所截构成的 【类型二】平行线的判定定理1 2如图,已知AB,CD与直线EF分别相交于点B,C,且∠ABE=∠DCF.求证:AB∥CD
7．3 平行线的判定 1．了解并掌握平行线的判定公理和定理；(重点) 2．了解证明的一般步骤．(重点) 一、情境导入 我们知道，光线从空气中进入水中会发生折射现象，光线从水中进入空气中，同样也会 发生折射现象．如图为光线从空气中进入水中，再从水中进入空气中的示意图．由于折射率 相同，因此有∠1＝∠4，∠2＝∠3，那么你能说明光线 c 与 d 平行吗？ 二、合作探究 探究点一：平行线的判定 【类型一】 平行线的判定公理 如图，直线 l1、l2、l3、l4 两两相交，且∠1＝∠2＝∠3.求证：l1∥l2，l3∥l4. 解析：∠1 和∠2 是直线 l1、l2 被直线 l3 所截得的同位角，∠2 和∠3 是直线 l3、l4 被直 线 l2 所截得的同位角，所以由∠1＝∠2 可以判定 l1∥l2，由∠2＝∠3 可以判定 l3∥l4. 证明：∵∠1＝∠2(已知)，∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)．∵∠2＝∠3(已知)， ∴l3∥l4(同位角相等，两直线平行)． 方法总结：利用平行线的判定公理进行推理证明的关键是分清同位角是哪两条直线被第 三条直线所截构成的． 【类型二】 平行线的判定定理 1 如图，已知 AB，CD 与直线 EF 分别相交于点 B，C，且∠ABE＝∠DCF.求证：AB∥CD
解析:由等角的补角相等可知∠ABC=∠BCD.再由平行线的判定定理1即可得到结论 证明:因为∠ABC+∠ABE=∠DCB+∠DCF=180°(邻补角的定义),∠ABE=∠DCF(已 知),所以∠ABC=∠DCB(等角的补角相等),所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行) 方法总结:要证明两条直线平行,主要是指出图形中两条直线被第三条直线所截的角, 观察是否有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或由角的数量关系推得同位角相等、内 错角相等、同旁内角互补 【类型三】平行线的判定定理2 例3如图,直线AE,CD相交于点0,如果∠A=110°,∠1=70°,就可以说明AB∥CD 这是为什么? 解析:由题意可知∠1=∠AOD=70°,又因为∠A=110°,所以∠A+∠AOD=180°,故 AB∥CD. 解:因为∠1=∠AOD(对顶角相等),∠1=70°,所以∠AOD=70°.又因为∠A=110°, 所以∠A+∠AOD=180°(等式的性质),所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行) 方法总结:(1)本题运用数形结合思想,平行线的判定是由角之间的数量关系到“形” 的判定.要判定两直线平行,可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角,若同位角相等、内 错角相等或同旁内角互补,则两直线平行.(2)若题中的结论能用同位角相等、内错角相等 或同旁内角互补中的一个方法说明两直线平行时,一般都要通过结合对顶角、互补角等知识 来说明 探究点二:平行线的判定公理、定理的综合应用 囹4如图,已知DE,BF分别平分∠ADC和∠ABC,∠1=∠2,∠ADC=∠ABC,因此可 推出图中哪些线段平行?为什么?
解析：由等角的补角相等可知∠ABC＝∠BCD.再由平行线的判定定理 1 即可得到结论． 证明：因为∠ABC＋∠ABE＝∠DCB＋∠DCF＝180°(邻补角的定义)，∠ABE＝∠DCF(已 知)，所以∠ABC＝∠DCB(等角的补角相等)，所以 AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． 方法总结：要证明两条直线平行，主要是指出图形中两条直线被第三条直线所截的角， 观察是否有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或由角的数量关系推得同位角相等、内 错角相等、同旁内角互补． 【类型三】 平行线的判定定理 2 如图，直线 AE，CD 相交于点 O，如果∠A＝110°，∠1＝70°，就可以说明 AB∥CD， 这是为什么？ 解析：由题意可知∠1＝∠AOD＝70°，又因为∠A＝110°，所以∠A＋∠AOD＝180°，故 AB∥CD. 解：因为∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，所以∠AOD＝70°.又因为∠A＝110°， 所以∠A＋∠AOD＝180°(等式的性质)，所以 AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)． 方法总结：(1)本题运用数形结合思想，平行线的判定是由角之间的数量关系到“形” 的判定．要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角，若同位角相等、内 错角相等或同旁内角互补，则两直线平行．(2)若题中的结论能用同位角相等、内错角相等 或同旁内角互补中的一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识 来说明． 探究点二：平行线的判定公理、定理的综合应用 如图，已知 DE，BF 分别平分∠ADC 和∠ABC，∠1＝∠2，∠ADC＝∠ABC，因此可 推出图中哪些线段平行？为什么？
解析:结合图形以及已知条件,能证明DE∥BF,DFBE和AD∥BC 解:DE∥BF,DF∥BE,AD∥BC.理由如下 (1)DE∥BF.∵∠1=∠2(已知),∴DE∥BF(同位角相等,两直线平行) (2)DF∥BE.∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC(己知),∴∠3=∠ADC,∠2=∠ABC(角平 分线定义).∵∠ADC=∠ABC(已知),∴∠2=∠3(等量代换).又∵∠1=∠2(已知),∴∠1 ∠3(等量代换),∴DF∥BE(内错角相等,两直线平行) 3)AD∥BC.由(2)知∠3=∠1,又∵DE平分∠ADC(已知),∴∠ADE=∠3(角平分线定 义),∠ADE=∠1(等量代换).∴∠A=180°-∠ADE-∠1=180°-2∠ADE=180°-∠ADC 180°一∠ABC(三角形内角和为180°及等量代换),即∠A+∠ABC=180°,∴AD∥BC(同 旁内角互补,两直线平行) 方法总结:解此类题应首先结合图形猜测结论,然后证明.证明两条直线平行,一般先 找它们的截线,再求同位角相等(或内错角相等,同旁内角互补)来说明两直线平行.若没有 公共截线,则需作出两直线的截线辅助证明 板书设计 「判定公理:同位角相等,两直线平行 平行线的判定)判定定理内错角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行 数学反思 本节课通过经历探索平行线的判定方法的过程,发展学生的逻辑推理能力,逐步掌握规 范的推理论证格式
解析：结合图形以及已知条件，能证明 DE∥BF，DF∥BE 和 AD∥BC. 解：DE∥BF，DF∥BE，AD∥BC.理由如下： (1)DE∥BF.∵∠1＝∠2(已知)，∴DE∥BF(同位角相等，两直线平行)． (2)DF∥BE.∵DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC(已知)，∴∠3＝ 1 2 ∠ADC，∠2＝ 1 2 ∠ABC(角平 分线定义)．∵∠ADC＝∠ABC(已知)，∴∠2＝∠3(等量代换)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1 ＝∠3(等量代换)，∴DF∥BE(内错角相等，两直线平行)． (3)AD∥BC.由(2)知∠3＝∠1，又∵DE 平分∠ADC(已知)，∴∠ADE＝∠3(角平分线定 义)，∠ADE＝∠1(等量代换)．∴∠A＝180°－∠ADE－∠1＝180°－2∠ADE＝180°－∠ADC ＝180°－∠ABC(三角形内角和为 180°及等量代换)，即∠A＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC(同 旁内角互补，两直线平行)． 方法总结：解此类题应首先结合图形猜测结论，然后证明．证明两条直线平行，一般先 找它们的截线，再求同位角相等(或内错角相等，同旁内角互补)来说明两直线平行．若没有 公共截线，则需作出两直线的截线辅助证明． 三、板书设计 平行线,的判定) 判定公理：同位角相等，两直线平行 判定定理 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 本节课通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规 范的推理论证格式．