7.4平行线的性质 教学目标一 1.理解并掌握平行线的性质公理和定理;(重点) 2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明.(重点) 数学过程 情境导入 条公路两次拐弯后和原来的方向相同,第一次拐的角度∠B是130°,第二次拐的角 度∠C是多少度? 二、合作探究 探究点一:平行线的性质定理1 1如图,在△ABC中,点D、E、F分别为BC、AB、AC上的点,DE∥AC且DF∥AB.求 证:∠BED=∠CFD. 解析:由DE∥AC可知∠BED=∠A,由DF∥AB可知∠CFD=∠A,从而可得∠BED=∠CFD 证明:∵DE∥AC(已知),∴∠BED=∠A(两直线平行,同位角相等).∵DF∥AB(已知) ∠CFD=∠A(两直线平行,同位角相等).∴∠BED=∠CFD(等量代换) 方法总结:在已知两直线平行的前提下,若要求证的两角不是平行线被第三条直线所截 得的角,就要借助一个中间量,将两者联系起来 探究点二:平行线的性质定理2 2如图,已知∠B=∠C,AE∥BC,说明AE平分∠CAD
7．4 平行线的性质 1．理解并掌握平行线的性质公理和定理；(重点) 2．能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．(重点) 一、情境导入 一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，第一次拐的角度∠B 是 130°，第二次拐的角 度∠C 是多少度？ 二、合作探究 探究点一：平行线的性质定理 1 如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别为 BC、AB、AC 上的点，DE∥AC 且 DF∥AB.求 证：∠BED＝∠CFD. 解析：由 DE∥AC 可知∠BED＝∠A，由 DF∥AB 可知∠CFD＝∠A，从而可得∠BED＝∠CFD. 证明：∵DE∥AC(已知)，∴∠BED＝∠A(两直线平行，同位角相等)．∵DF∥AB(已知)， ∴∠CFD＝∠A(两直线平行，同位角相等)．∴∠BED＝∠CFD(等量代换)． 方法总结：在已知两直线平行的前提下，若要求证的两角不是平行线被第三条直线所截 得的角，就要借助一个中间量，将两者联系起来． 探究点二：平行线的性质定理 2 如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，说明 AE 平分∠CAD
解析:要说明AE平分∠CAD,即∠DAE=∠CAE.由于A∥BC,根据平行线性质定理1和 性质定理2可知∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.由∠B=∠C即可得证 解:∵AE∥BC(已知), ∴∠DAE=∠B(两直线平行,同位角相等), ∠EAC=∠C(两直线平行,内错角相等) ∠B=∠C(已知), ∠DAE=∠EAC(等量代换), ∴AE平分∠CAD 方法总结:单独考平行线某一性质的题很少,通常都是平行线的性质与其他知识的综合 运用 探究点三:平行线的性质定理3 例3如图,已知DA⊥AB,CB⊥AB,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,试说明DE⊥CE 解析:要证D⊥CE即∠DEC=90°需证∠1+∠2=909由DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD, 则需证∠ADC+∠BCD=180°,从而需证AD∥BC 解:∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴AD∥BC(垂直于同一直线的两直线平行),∴∠ADC+∠BCD 180°(两直线平行,同旁内角互补).∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,∴∠1=∠ADC, 2=∠BCD.∴∠1+∠2=×180°=90°,∴∠DEC=90°,即DE⊥CE 方法总结:平行线与角的大小关系、直线的位置关系是紧密联系在一起的.由两直线平 行的位置关系得到两个相关角的数量关系,从而得到相应角的度数 探究点四:平行于同一条直线的两直线平行 囹4如图所示,AB∥CD.求证:∠B+∠BED+∠D=360° 解析:证明本题的关键是如何使平行线与要证的角发生联系,显然需作岀辅助线,沟通
解析：要说明 AE 平分∠CAD，即∠DAE＝∠CAE.由于 AE∥BC，根据平行线性质定理 1 和 性质定理 2 可知∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.由∠B＝∠C 即可得证． 解：∵AE∥BC(已知)， ∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相等)． ∵∠B＝∠C(已知)， ∴∠DAE＝∠EAC(等量代换)， ∴AE 平分∠CAD. 方法总结：单独考平行线某一性质的题很少，通常都是平行线的性质与其他知识的综合 运用． 探究点三：平行线的性质定理 3 如图，已知 DA⊥AB，CB⊥AB，DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，试说明 DE⊥CE. 解析：要证 DE⊥CE，即∠DEC＝90°.需证∠1＋∠2＝90°.由 DE、CE 分别平分∠ADC、∠BCD， 则需证∠ADC＋∠BCD＝180°，从而需证 AD∥BC. 解：∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC(垂直于同一直线的两直线平行)，∴∠ADC＋∠BCD ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，∴∠1＝ 1 2 ∠ADC， ∠2＝ 1 2 ∠BCD.∴∠1＋∠2＝ 1 2 ×180°＝90°，∴∠DEC＝90°，即 DE⊥CE. 方法总结：平行线与角的大小关系、直线的位置关系是紧密联系在一起的．由两直线平 行的位置关系得到两个相关角的数量关系，从而得到相应角的度数． 探究点四：平行于同一条直线的两直线平行 如图所示，AB∥CD.求证：∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 解析：证明本题的关键是如何使平行线与要证的角发生联系，显然需作出辅助线，沟通
已知和结论.已知AB∥CD,但没有一条直线既与AB相交,又与CD相交,所以需要作辅助 线构造同位角、内错角或同旁内角,但是又要保证原有条件和结论的完整性,所以需要过点 E作AB的平行线 证明:如图所示,过点E作EF∥AB,则有∠B+∠BEF=180°(两直线平行,同旁内角 互补).又∵AB∥CD(已知),∴EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线 也互相平行),∴∠FED+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).∴∠B+∠BEF+∠FED +∠D=180°+180°(等式的性质),即∠B+∠BED+∠D=360° 方法总结:过一点作一条直线或线段的平行线是我们常作的辅助线. 三、板书设计 两直线平行,同位角相等 平行线的性质 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补 平行于同一条直线的两直线平行 教学反思 从简单的几何证明(平行线的判定与性质)入手,逐步形成一个更为清晰的证明思路,进一步 理解和总结证明的步骤、格式、方法.了解两定理在条件和结构上的区别,体会正逆的思维 过程.进一步发展学生的推理能力,培养学生的逻辑思维能力
已知和结论．已知 AB∥CD，但没有一条直线既与 AB 相交，又与 CD 相交，所以需要作辅助 线构造同位角、内错角或同旁内角，但是又要保证原有条件和结论的完整性，所以需要过点 E 作 AB 的平行线． 证明：如图所示，过点 E 作 EF∥AB，则有∠B＋∠BEF＝180°(两直线平行，同旁内角 互补)．又∵AB∥CD(已知)，∴EF∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行)，∴∠FED＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠B＋∠BEF＋∠FED ＋∠D＝180°＋180°(等式的性质)，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 方法总结：过一点作一条直线或线段的平行线是我们常作的辅助线． 三、板书设计 平行线的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两直线平行 从简单的几何证明(平行线的判定与性质)入手，逐步形成一个更为清晰的证明思路，进一步 理解和总结证明的步骤、格式、方法．了解两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维 过程. 进一步发展学生的推理能力，培养学生的逻辑思维能力．