免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 第二十四章《圆》 本章知识结构框图 的对称性 圆的基本性质 弧、弦、圆心角之间的关系 L[同孤上的圆周角与圆心角的关系 点与园的位置关系 三角形外接圆 与圆有关的位置关系 直线与园的位置关系切线 三角形内切圆 圆与圆的位置关系 正多边形与圆 等分圆周 弧长 有关园的计算 扇形的面积 员锥的侧面积和全面积 本章知识点概括 (一)圆的有关概念 1、圆(两种定义)、圆心、半径 2、圆的确定条件: ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小 ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径 4、圆弧(弧)、半圆、优弧、劣弧 5、等圆、等弧,同心圆 6、圆心角、圆周角 7、圆内接多边形、多边形的外接圆 8、割线、切线、切点、切线长; 9、反证法:假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确 从而得到原命题成立 (二)圆的基本性质 1、圆的对称性 ①圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴 ②圆是中心对称图形,圆心是对称中心 2、圆的弦、弧、直径的关系 ①垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧 ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 *[引申]一条直线若具有:Ⅰ、经过圆心:Ⅱ、垂直于弦:Ⅲ、平分弦:Ⅳ、平分弦所对 的劣弧;V、平分弦所对的优弧,这五个性质中的任何两条,必具有其余三条性质,即“知 二推三”。(注意:具有Ⅰ和Ⅲ时,应除去弦为直径的情况) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第二十四章《圆》 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 （一）圆的有关概念 1、圆（两种定义）、圆心、半径； 2、圆的确定条件： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径； 4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧； 5、等圆、等弧，同心圆； 6、圆心角、圆周角； 7、圆内接多边形、多边形的外接圆； 8、割线、切线、切点、切线长； 9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确， 从而得到原命题成立。 （二）圆的基本性质 1、圆的对称性 ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 *②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 2、圆的弦、弧、直径的关系 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 * [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对 的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知 二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 3、弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 ②在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等 ③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等 归纳:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的 其余各组量也相等 4、圆周角的性质 ①定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等 ③推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 (三)与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系 设⊙0的半径为r,OP=d则: 点P在圆内dr;点P在圆上分d=r;点P在圆外今d》r 2、直线与圆的位置关系 设⊙0的半径为r,圆心0到1的距离为d则: 直线1与⊙0相交dr2+r1; 两圆外切合d=r2+r1; 两圆相交今r2-n1n) 两圆内含分0≤dr1)。 (四)圆的切线 1、定义:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 2、性质 ①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理:圆的切线垂直于过切点的半径 ③切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。 3、判定 ①利用切线的定义 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 ③定理:经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线 (五)圆与三角形 1、三角形的外接圆 (1)定义:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆 (2)三角形外心的性质:①是三角形三条边垂直平分线的交点;②到三角形各顶点距离相 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3、弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。 4、圆周角的性质 ①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 ③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （三）与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，OP=d 则： 点 P 在圆内 dr. 2、直线与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到 l 的距离为 d 则： 直线 l 与⊙O 相交 dr 直线和圆没有公共点。 3、圆与圆的位置关系 ①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含； 如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切； 如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。 ②设⊙O1 的半径为 r1，⊙O2 半径为 r2，圆心距为 d，则： 两圆外离 d＞r2＋r1； 两圆外切 d＝r2＋r1； 两圆相交 r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）； 两圆内切 d＝r2－r1（r2＞r1）； 两圆内含 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。 （四）圆的切线 1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、性质： ①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 ③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分 两条切线的夹角。 3、判定： ①利用切线的定义。 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 ③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。 （五）圆与三角形 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 等;③外心的位置:锐角三角形外心在三角形内,直角三角形的外心恰好是斜边的中点,钝 角三角形外心在三角形外面 2、三角形的内切圆 (1)定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 (2)三角形内心的性质:①是三角形角平分线的交点:②到三角形各边的距离相等;③都 在三角形内 (六)圆与四边形 1、由圆周角定理可以得到:圆内接四边形对角互补。 *2、由切线长定理可以得到:圆的外切四边形两组对边的和相等 (七)圆与正多边形 1、正多边形的定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形,其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形与圆的关系 把圆分成n(n≥3)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形,这时圆 叫做正n边形的外接圆 3、正多边形的有关计算(11个量) 边数n,内角和,每个内角度数,外角和,每个外角度数,中心角an,边长an,半径R,边 心距r,周长1,面积S。(S=1/21nrn) 4、正多边形的画法 画正多边形的步骤:首先画出符合要求的圆:然后用量角器或用尺规等分圆:最后顺次连结 各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。 (八)弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式 弧长 =m1S形二360 F2=1R(实中1为长S9轴=(其中1为每线 长) (九)直角三角形的一个判定 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形 (十)本章常见的辅助线 课后反思 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝 角三角形外心在三角形外面。 2、三角形的内切圆 （1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都 在三角形内。 （六）圆与四边形 1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。 *2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。 （七）圆与正多边形 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形与圆的关系 把圆分成 n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形，这时圆 叫做正 n 边形的外接圆。 3、正多边形的有关计算（11 个量） 边数 n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长 an，半径 Rn，边 心距 rn，周长 ln，面积 Sn (Sn=1/2lnrn) 4、正多边形的画法 画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结 各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。 （八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式 180 n R l 弧长 = 2 360 n R S 扇形 ＝ ＝ 1 2 lR (其中 l 为弧长) S圆锥侧 ＝rl (其中 l 为母线 长) （九）直角三角形的一个判定 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （十）本章常见的辅助线 课 后 反 思