免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 《一元二次方程》小结 本章知识结构框图 设未,列方翟 数学问题 实际问题 ax2+bx+c=0(a≠O) 方法 公式法 分解因洼 数学问题的解 b±vb 拉验 实际问题的答案 二、本章知识点概括 1、相关概念 (1)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次 数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 (2)一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0), 其中ax2是二次项,a是二次项系数:bx是一次项,b是一次项系数:c是常数项。 (3)一元二次方程的根:一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围. 次方程:一元一次方程,二元一次方程,三元方程 整式方程二次方程:一元二次方程,二元二次方程 *(4)有理方程 高次方程: 分式方程 2、降次—解一元二次方程 (1)配方法:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法 配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.其步骤是 ①方程化为一般形式; ②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项 ③化二次项系数为1: ④配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,使方程左边是完全平方式 从而原方程化为(mx+n)2=p的形式 ⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了,如果p<0,则原方程无实数根。 (2)公式法:利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 其方法为:先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c 将a、b、c代入求根公式x b±√b-4(b-4ac≥0)就得到方程的根 2 (3)分解因式法:先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 《一元二次方程》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 1、相关概念 （1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次 数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a≠0)， 其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 （3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围． 一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程 整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程 *（4）有理方程 高次方程： 分式方程 2、降次——解一元二次方程 （1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是: ①方程化为一般形式； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③化二次项系数为 1； ④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式， 从而原方程化为（mx+n） 2 =p 的形式； ⑤如果 p≥0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果 p<0，则原方程无实数根。 （2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 其方法为：先将一元二次方程化为一般形式 ax 2 +bx+c=0，当⊿＝b 2－4ac≥0 时， 将 a、b、c 代入求根公式 x= 2a b b 4ac 2 − − （b 2 -4ac≥0）就得到方程的根． （3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 次式分别等于0,从而降次.这种解法叫做因式分解法.步骤是: ①通过移项将方程右边化为 ②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积 ③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程 ④解这两个一元一次方程,得一元二次方程的解。 3、一元二次方程根的判别式 (1)=b2-4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 (2)运用根的判别式,在不解方程的前提下判别根的情况: ①4=b2-4ac>0<方程有两个不相等实数根 ②4=b2-4ac=0<方程有两个相等实数根 ③4=b2-4ac<0<方程没有实数根 ④4=b2-4ac≥0<方程有两个实数根 (3)应用: ①不解方程,判别方程根的情况: ②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围 ③应用判别式证明方程的根的状况(常用到配方法) 注意:运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程,即:a≠0 *4、一元二次方程根与系数的关系(本部分内容为选学内容) (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0的两个实数根是x1,x2, 那么x1+x2 (2)应用: ①验根,不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根; ②已知方程的一个根,求另一根及未知系数的值 ③已知方程的两根满足某种关系,求方程中字母系数的值或取值范围 ④不解方程可以求某些关于x1,x2的对称式的值,通常利用到: (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 1x-x2上=√(x1+x2)-4xx2= 当x1+x2=0且x1x2≤0,两根互为相反数 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 次式分别等于 0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是： ①通过移项将方程右边化为 0； ②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积； ③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。 3、一元二次方程根的判别式 （1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的根的判别式。 （2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况： ①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根； ②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根； ③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根； ④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。 （3）应用： ①不解方程，判别方程根的情况； ②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围； ③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）； 注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。 *4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容） （1）如果一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的两个实数根是 1 2 x , x ， 那么 a c x x a b x1 + x2 = − , 1 2 = （2）应用： ①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值； ③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围； ④不解方程可以求某些关于 1 2 x , x 的对称式的值，通常利用到： 1 2 2 1 2 2 2 2 x1 + x = (x + x ) − 2x x 1 2 2 1 2 2 (x1 − x2 ) = (x + x ) − 4x x ( ) | a | | | x x 4x1x2 2 1 2 1 2 x − x = + − = 当 1 2 x + x =0 且 1 2 x x ≤0，两根互为相反数；
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 当4≥0且xx2=1,两根互为倒数 (重点强调:一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0,A≥0前提条件下应用的, 解题中一定要注意检验 ⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0): ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根 5、实际问题与一元二次方程 传播式分支问题;平均变化率问题;数字问题;利润问题;图形的面积问题;匀变速问题; 握手、写信问题;银行利率问题:浓度问题;方案设计问题等 三、典型例题辨析 1、在下列方程中,是一元二次方程的有 ①3x2+7=0 ③(x-2)(x+5)=x2-1 x 2、当m 时,关于x的方程(m+2)xl+3mx+1=0是一元二次方程 3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为,一次项系数为 ,常数项为 4、根据下列表格的对应值: 3.233.243.253.26 x2+bx+c-O 判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是 5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为 6、已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,则这个三角形的周长是 7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是 8、已知2和-1是关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根,则m的值为 n的值 9、已知方程3x2+2x-3=0的两根为1、x2,则x+x的值为 10、一个小组若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72张,则这个小组共人 11、一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为 12、解下列方程: (1)x2-4x-6=0 (2)2x2+3=7x (3)-x2-√2x+1=0 ()3x(x+2)=5(x+2) 13、若关于x的一元二次方程ax2-2x+6=0有两个实数根,求a的取值范围 14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 当⊿≥0 且 1 2 x x =1，两根互为倒数。 （重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数 a≠0，⊿≥0 前提条件下应用的， 解题中一定要注意检验） ⑩用公式法因式分解二次三项式 ax 2 +bx+c(a≠0)： ax 2 +bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中 1 2 x , x 是方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的两个实数根。 5、实际问题与一元二次方程 传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题； 握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。 三、典型例题辨析 1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个． ①3x 2 +7=0 ②ax 2 +bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2 -1 ④3x2 - 5 x =0 2、当 m 时,关于 x 的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0 是一元二次方程. 3、方程3x2 -3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 4、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2 +bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 判断关于 x 的方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的一个根 x 的取值范围是________。 5、已知方程 5x2 +mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________． 6、已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x 2 -4x+3=0 的解，则这个三角形的周长是 _____． 7、已知 x 2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是_____． 8、已知 2 和 −1 是关于 x 的方程 2 0 2 x + mx + n = 的两个根，则 m 的值为 ，n 的值 为 . 9、已知方程 的两根为 ，则 的值为 。 10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共_____人． 11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为 _______． 12、解下列方程： ⑴ 4 6 0 2 x − x − = ⑵ 2x 3 7x 2 + = ⑶ 2 1 0 2 1 2 x − x + = ⑷ 3x(x + 2) = 5(x + 2) 13、若关于 x 的一元二次方程 2 6 0 2 ax − x + = 有两个实数根，求 a 的取值范围. 14、已知方程 x 2 +(2k+1)x+k2 -2=0 的两实根的平方和等于 11,求 k 的值
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 15、k为何值时,方程x2-(k+1)x+(k-2)=0 (1)两根互为相反数:(2)两根互为倒数:(3)有一根为零,另一根不为零 16、如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别 沿AC、BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB 面积的一半 C 17、某电脑公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的 营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.(50%) 18、在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台 要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少 19、某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件贏利40元,为了扩大销售, 增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调査发现,如果每件衬衫每降 价一元,商场平均每天可多售出2件 ①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?(x1=10,x2=20) ②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天羸利最多?请你设计销售方案,(1250元) 20、一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车 (1)从刹车到停车用了多少时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精确到0.ls)? 作业:必做:P23:1-10选做:P24:11、12 教 反 思 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 15、k 为何值时，方程 x 2 -（k+1）x+(k-2)=0 （1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零. 16、如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B•两点出发分别 沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s， 几秒后△PCQ•的面积为 Rt△ACB 面积的一半． C B A Q www.czsx.com.cn P 17、某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、 二月、三月的 营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%） 18、在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m 2 的长方形花台， 要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元， 为了扩大销售， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现， 如果每件衬衫每降 价一元，商场平均每天可多售出 2 件． ①若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20） ②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250 元） 20、一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况， 紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2） 从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 作业：必做：P23：1-10 选做：P24：11、12 教 学 反 思