教学设计 教案编号：27-28 课 题 5.5同角三角函数的基本关系式 课型 新授课 课 程 数学 学时安排 2 班级 金融1304 所 选 授课 数学基础模块（上册） 6月10日 教 材 时间 一、教学目标与任务 1.学习目标描述 (1)知识与能力：理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证 明 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力 (2)情感态度与价值观：通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想. 2.学习重点及难点分析 (1)教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明） (2)教学难点及对策： 难点：同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用 对策：引导学生利用已知条件列方程组 二、教学教法设计 1.教学方法：讲练结合 自主探究 2.学法指导：引领学生记忆公式并会应用 三、学习活动组织 教学 教学内容 师生互动 设计意图 环节 组织 师生问好，清点人数 教学 复 复习三角函数定义、单位圆和三角 教师提出问题， 推出 函数线、勾股定理。 学生回答 sin2a+cos2a= 习 1 导 sin a P(cos a,sin a) =tan a cos a 入 这两个基本关 sin a 0 cos a 系式 1
1 O cos x P(cos ，sin ) y sin 1 教学设计 教案编号：27-28 课 题 5.5 同角三角函数的基本关系式 课 型 新授课 课 程 数学 学时安排 2 班 级 金融 1304 所 选 教 材 数学基础模块（上册） 授 课 时 间 6 月 10 日 一、教学目标与任务 1．学习目标描述 （1）知识与能力：理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证 明． 通过教学，培养学生用方程（组）解决问题的方法，培养学生分析问题，解决问题的能力． （2）情感态度与价值观：通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想． 2．学习重点及难点分析 （1）教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明） （2）教学难点及对策： 难点：同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用 对策：引导学生利用已知条件列方程组 二、教学教法设计 1．教学方法：讲练结合 自主探究 2．学法指导：引领学生记忆公式并会应用 三、学习活动组织 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 组织 教学 师生问好，清点人数 复 习 导 入 复习三角函数定义、单位圆和三角 函数线、勾股定理． 教师提出问题， 学生回答 推出 sin2＋cos2＝ 1 sin cos ＝tan 这两个基本关 系式．
在单位圆中，由三角函数的定 师讲解： 初步认识 授新 义和勾股定理，可得同角三角函数 1.sin2a,cos2a的读法、 和记忆两个关 的基本关系式： 写法. 系式，理解“同 sin2 a+cos2a=1: 2.让学生验证30°，45°， 角”的含义. sin a 60°的正弦，余弦，正切值 =tana cos a 满足两个关系式。 当我们知道一个角的某一三角 3.“同角”的概念与角的表 函数值时，利用这两个关系式和三 达形式无关，如：sin2B+ 角函数定义，就可求出这个角的另 cos2 B=1. 外几个三角函数值.此外，还可用 4.同角的意义：一是“角 它们化简三角函数式和证明三角恒 相同”： 等式 二是“任意一个角” 同角三角函数的基本关系式应用之 求值. 例1鼓励学生自己解决， 多练几个类似 例1已知sin a=- ,且a是第 5 教师只在开方时点拨符 例题的题目，使 二象限的 号问题 角，求的余弦和正切值. 练习：教材P141,练习A 学生熟练两个 解由sin2a+cos2a=1,得 组第1(2)(3)题. 基本关系式的 cos a-=±V1-sin2a. 小结步骤：己知正弦（或 因为a是第二象限角，cosa<0. 应用和用方程 余弦) 根据平方关系→求 所以cos a= Vi- 求值的方法 余弦（或正弦） 5 根据商数关系→求正切。 sin a 5 tan a= cos a 3 例2 已知tana=-V5,且a是 例2可在教师的引导下解 第二象 决，带领学生详细解方程 限角，求α的正弦和余弦值 组. 灵活应用 解 由题意得 练习：教材P141,练习A 公式，加快运算 sin2 a+cos2 a=1, 组第1(4)题. 速度.为下面运 ① 小结步骤：知正切 用公式化简和 sin a 证明做好知识 cos a 解方程组→求余弦（或正 5 铺垫. ② 弦). 由②，得sin a=--V5
2 讲 授 新 课 在单位圆中，由三角函数的定 义和勾股定理，可得同角三角函数 的基本关系式： sin2 ＋cos2＝1； sin cos ＝tan ． 当我们知道一个角的某一三角 函数值时，利用这两个关系式和三 角函数定义，就可求出这个角的另 外几个三角函数值．此外，还可用 它们化简三角函数式和证明三角恒 等式． 同角三角函数的基本关系式应用之 一： 求值． 例 1 已知 sin ＝ 4 5 ，且 是第 二象限的 角，求 的余弦和正切值． 解 由 sin2＋cos2＝1，得 cos ＝± 1－sin2 ． 因为 是第二象限角，cos ＜0, 所以 cos ＝－ 1－( 4 5 ) 2 ＝ － 3 5 ， tan ＝ sin cos ＝ 4 5 － 3 5 ＝ － 4 3 ． 例2 已知 tan ＝－ 5 ，且 是 第二象 限角，求 的正弦和余弦值． 解 由题意得 sin2 ＋cos2 ＝1， ① sin cos ＝ － 5 ． ② 由②，得 sin ＝－ 5 cos ， 师讲解： 1．sin2，cos2 的读法、 写法． 2．让学生验证 30°，45°， 60°的正弦，余弦，正切值 满足两个关系式． 3．“同角”的概念与角的表 达形式无关，如：sin2 β＋ cos2 β＝1． 4．同角的意义：一是“角 相同”； 二是“任意一个角”． 例 1 鼓励学生自己解决， 教师只在开方时点拨符 号问题． 练习：教材 P141，练习 A 组第 1（2）（3）题． 小结步骤：已知正弦（或 余弦） ⎯根据平方关系 ⎯⎯ ⎯→ 求 余 弦 （ 或 正 弦 ） ⎯根据商数关系 ⎯⎯ ⎯→ 求正切． 例 2 可在教师的引导下解 决，带领学生详细解方程 组． 练习：教材 P141，练习 A 组第 1（4）题． 小结步骤： 知正切 ⎯解方程组 ⎯ ⎯→ 求余弦（或正 弦）． 初步认识 和记忆两个关 系式，理解“同 角”的含义． 多练几个类似 例题的题目，使 学生熟练两个 基本关系式的 应用和用方程 求值的方法 灵活应用 公式，加快运算 速度．为下面运 用公式化简和 证明做好知识 铺垫．
代入①式得 6c0s2a=1, ra话 师：求值题目总结 因为a是第二象限角， 1.注意同角三角函 数的基本关系式的变形 所以cosa= 6 代入③式 6 应用 得 2.已知sina,cos, sin a=-5 cos a =-5x-6 tana中的任意一个，可以 ) 用方程（组）求出其余的 =V30 6 两个 同角三角函数的基本关系式应用之 二 化简. 例3化简： sin 0-cos 6 tan 0-1 解 原式= sine-cos 0 sin 0 教师小结化简方法： -1 cos 0 把切函数化为弦函数. sine-cos 0 练习：教材P142,练习A 通过讨论 sin 0-cos 0 组第2题，练习B组第1 探究，使学生进 cos 0 题. 一步熟练公式 =cos0. 的各种变形培 养学生的发散 思维，提高综合 运用知识分析 同角三角函数的基本关系式应用之 问题、解决问题 三： 的能力 证明. 例4求证： (1)sin'a-cos'a=2 sin2a-1: 教师提示：证明恒等 (2)tan?a-sin2a=tan2a sin2a; 式一般从繁到简，从高次 (3) cosx= 1+sin x 到低次.从左向右，或从 1-sinx COSx 右向左，或从两头向中间 证明： 来证明. (1)原式左边=(sin2a+ 可让学生自己先独 cos a)(sin2a-cosa) 立探索证明思路，再小组 =sin2a-cosa 讨论.教师在证明思路和 =sin2a-(1-sin2a) 解题格式上给予指导. =2 sin2a-1 由学生完成证明，展 =右边. 示不同证法，分析优劣
3 代入①式得 6 cos2＝1， cos2＝ 1 6 ． 因为 是第二象限角， 所以 cos ＝－ 6 6 ，代入③式 得 sin α＝－ 5 cos α ＝－ 5 ×(－ 6 6 ) ＝ 30 6 ． 同角三角函数的基本关系式应用之 二： 化简． 例 3 化简：sin θ－cos θ tan θ－1 ． 解 原 式 ＝ sinθ－cos θ sin θ cos θ －1 ＝ sinθ－cos θ sin θ－cos θ cos θ ＝cosθ． 同角三角函数的基本关系式应用之 三： 证明． 例 4 求证： （1） sin4 －cos4 ＝2 sin2－1； （2） tan2 －sin2＝tan2 sin2； （3） cos x 1－sin x ＝ 1＋sin x cos x ． 证明： （ 1 ） 原 式 左 边 ＝ (sin2 ＋ cos2)(sin2－cos2) ＝sin2－cos2 ＝sin2－(1－sin2) ＝2 sin2－1 ＝右边． 师：求值题目总结 1．注意同角三角函 数的基本关系式的变形 应用． 2．已知 sin ，cos ， tan中的任意一个，可以 用方程（组）求出其余的 两个． 教师小结化简方法： 把切函数化为弦函数． 练习：教材 P142，练习 A 组第 2 题，练习 B 组第 1 题． 教师提示：证明恒等 式一般从繁到简，从高次 到低次．从左向右，或从 右向左，或从两头向中间 来证明． 可让学生自己先独 立探索证明思路，再小组 讨论．教师在证明思路和 解题格式上给予指导． 由学生完成证明，展 示不同证法，分析优劣． 通过讨论 探究，使学生进 一步熟练公式 的各种变形.培 养学生的发散 思维，提高综合 运用知识分析 问题、解决问题 的能力
因此sin4a-cosa=2sin2a -1. (2)原式右边 =tan2 a (1-cos2 a)=tan2 a-tan2 a cos2 a sin2 a =tan2 a- cos2a cos2 a 对(3)作分析： =tan2-sin2au=左边. 思路1：用作差法，不管 因此 tan2a-sin2a=tan2x分母，只需将分子转化为 sin2a. 零. (3)证法1： 因为，cosx 1+sinx 1-sinx COSx =cos'x-(1-sin x) (1-sin x)cosx cos2 x-cos2 x (1-sin x)cosx =0. 所以 cos x 1+sinx 思路2：利用公分母将原 1-sinx COSx 式的左边和右边转化为 同一种形式的结果。 证法2：因为 左边= COSx COSx 1-sinx 练习：教材P154,习题 coSx cos2x 四第7题 (1-sin x)cosx' 1+sinx 1-sinx 右边= COSx 1-sinx coS2x = (1-sin x)cosx 所以左边=右边 即原等式成立
4 因此 sin4 －cos4 ＝2 sin2 －1． （2）原式右边 ＝tan2 (1－cos2 )＝tan2 －tan2 α cos2 ＝tan2 － sin2 cos2 cos2 ＝tan2 －sin2 ＝左边． 因此 tan2 －sin2 ＝tan2 sin2 ． （3）证法 1： 因为 cos x 1－sin x － 1＋sin x cos x ＝ cos2 x－(1－sin x) 2 (1－sin x)cos x ＝ cos2 x－cos2 x (1－sin x)cos x ＝0． 所以 cos x 1－sin x ＝ 1＋sin x cos x ． 证法 2：因为 左边＝ cos x 1－sin x · cos x cos x ＝ cos2 x (1－sin x)cos x ； 右边＝ 1＋sin x cos x · 1－sin x 1－sin x ＝ cos2 x (1－sin x) cos x ． 所以 左边＝右边． 即原等式成立． 对（3）作分析： 思路 1：用作差法，不管 分母，只需将分子转化为 零． 思路 2：利用公分母将原 式的左边和右边转化为 同一种形式的结果． 练习：教材 P 154，习题 四第 7 题
总 1.同角三角函数的基本关系式 师生共同总结。 结 sin2a+cosa=1, 练 sin a 习 =tan a. cos a 2.求值、化简和证明题目的思路与注意事项. 布置 习题四2、3、6 巩固知识 作业 四、板书设计 5.5同角三角函数基本关系式 1同角三角函数的基本关系式 sin2a+cos2a=1, sin a =tan a. cos a 例1例2 例3例4 五、教学评价与反思
5 总 结 练 习 1. 同角三角函数的基本关系式 sin2＋cos2＝1， sin cos ＝tan ． 2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事项． 师生共同总结． 布置 作业 习题四 2、3、6 巩固知识 四、板书设计 五、教学评价与反思 5.5 同角三角函数基本关系式 1 同角三角函数的基本关系式 sin2＋cos2＝1， sin cos ＝tan ． 例 1 例 2 例 3 例 4