第日章常微分方程综合练习及参考答案 中央电大顾静相 第8章常微分方程 一，填空圈 1,微分方程广=x的通解为 2.方程2y)+y-2y+1是 阶微分方程， 3.方程少+(x-y=0是 微分方程. 二、单现选择题 1,下列微分方程中的线性微分方程为() A.y-y2=0 B.y'=5xy c y- D.y+2yy=e" 2.微分方程少=0的通解为 A.y=cx+cx B.y=cx+c C.y=cx D.y=0 3.微分方程广y+(g了-hy的阶数为《) A.3 B.5 C.4 D.2 三，计算题 1.求微分方程灯少+y■5加满足)-0的特解 2.求微分方程了=e一满足初始条件0)=0的特解。 3.求微分方程广-4=2江+1的通解
1 第 8 章 常微分方程综合练习及参考答案 中央电大 顾静相 第 8 章 常微分方程 一、填空题 1．微分方程 2 y = x 的通解为 ． 2．方程 (2 ) 2 1 2 2 y + y y = xy + 是 阶微分方程． 3．方程 ( ) 0 2 2 y + x − xy y = 是 微分方程． 二、单项选择题 1．下列微分方程中的线性微分方程为（ ） A． 0 2 y − y = B． x y y + = 5 C． 2 1 x y = D． x y + 2y y = e 2．微分方程 y = 0 的通解为 ． A． y c x c x2 2 = 1 + B． 1 2 y = c x + c C． y c x = 1 D． y = 0 3．微分方程 y y (xy ) x ln y 2 2 + = 的阶数为（ ）． A．3 B．5 C．4 D．2 三、计算题 1．求微分方程 xy + y = sin x 满足 y( ) = 0 的特解． 2．求微分方程 x y y − = 2 e 满足初始条件 y(0) = 0 的特解． 3．求微分方程 y − 4 = 2x +1 的通解．
参考解容 一，填空题 1 1. y=2 x+cx+c2 2.2 3.齐次型 二、单项选择题 1.C2.B3.A4. 三、计算题 y+二y= 1,解，将原方程化为一阶线性微分方程 x,用公式法 ye可+d =smd+d小=-cos+d --COSI C 将州)=0代入上式得C=-l,所求特解为 y=-1+c0sx 2.解：将微分方程广=e变量分离，得ed山=ed山，等式两边积分得 将初始条件0)=0代入，符c=V2 所以满是初始条件的特解为：e=0.Se+1) 3,原方程对应的齐次方程的特征方程为 2-4=0 特征根为名=-2，入=2，故齐次方程的通解为 y=ce+C e 其中9，C为任意常数， 设原方程的一个特解为》■红+B,代入原方程得 -4(Ax+)=2x+1
2 参考解答 一、填空题 1． 1 2 4 12 1 y = x + c x + c 2．2 3．齐次型 二、单项选择题 1．C 2．B 3．A 4． 三、计算题 1． 解：将原方程化为一阶线性微分方程 x x y x y 1 sin + = ，用公式法 e d ] sin e [ d 1 d 1 x c x x y x x x x + = − [ sin d ] 1 x x c x = + [ cos ] 1 x c x = − + x c x x = − + cos 将 y( ) = 0 代入上式得 c = −1 ，所求特解为 x x y 1+ cos = − 2．解： 将微分方程 x y y − = 2 e 变量分离，得 y x y x e d e d 2 = ，等式两边积分得 c y x = + 2 e 2 1 e 将初始条件 y(0) = 0 代入，得 c =1 2． 所以满足初始条件的特解为： e 0.5(e 1) 2 = + y x 3．原方程对应的齐次方程的特征方程为 4 0 2 − = 特征根为 1 = −2， 2 = 2 ，故齐次方程的通解为 x x y c c 2 2 2 1 = e + e − 其中 1 2 c , c 为任意常数． 设原方程的一个特解为 y = Ax + B ，代入原方程得 − 4(Ax + B) = 2x +1
-4A=2 -4B=1,解得 B=- 比较悉数得 2. 4 由此可得原方程的通解为 11 x-+ce"+e 24 其中G,5为任意常数， 3
3 比较悉数得 − = − = 4 1 4 2 B A ，解得 2 1 A = − ， 4 1 B = − ． 由此可得原方程的通解为 x x y x c c 2 2 2 1 e e 4 1 2 1 = − − + + − 其中 1 2 c , c 为任意常数．