S10-2正弦稳态响应正弦电流激励的RC电路分析我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到稳定状态，在t-0时刻断开开关，正弦电流i(t)=Ismcos(t+)作用于RC电路，求电容电压uc(t)的响应+t=0Ru.C图10-9
§10－2 正弦稳态响应 一、正弦电流激励的RC电路分析 图 10-9 我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到 稳定状态，在t=0时刻断开开关，正弦电流i S (t)=ISmcos( t+ψi )作用于RC电路，求电容电压uC (t)的响应
+=0RucC首先建立>0电路的微分方程如下：dut≥0(10-7)= Ism cos(ot + y)ucEdt对应齐次微分方程的通解uch(t)为RCuch (t)= Kest = Ke微分方程特解ucp(t)的形式与电流源相同，为同一频率的正弦时间函数，即m cos(ot + yucp (t)=U
首先建立t>0电路的微分方程如下: cos( ) 0 (10 7) 1 d d C Sm i C + u = I t + t − t R u C 对应齐次微分方程的通解uCh(t)为 RC t st uCh (t) Ke Ke − = = 微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率 的正弦时间函数，即 ( ) cos( ) Cp = Cm + u u t U t
ucp (t) = Ucm cos(ot +)业为了确定U和，，可以将上式代入微分方程中dut≥0(10-7)= Ism cos(ot + y.)dtoCUcm sin( ot +.)cos(ot + yu) = I sm cos(ot + y)CmR求解得到Sm(10-8)m+(1/ R)0(10-9)u=;-arctan(oCR)D
为了确定UCm和ψu，可以将上式代入微分方程中 求解得到 arctan( ) (10 9) (10 8) (1/ ) u i 2 2 2 Sm Cm = − − − + = CR C R I U cos( ) 0 (10 7) 1 d d C Sm i C + u = I t + t − t R u C cos( ) cos( ) 1 sin( ) − Cm + u + Cm + u = Sm + i U t I t R C U t ( ) cos( ) Cp = Cm + u u t U t
微分方程的完全解为RC.+Uuc(t)=Ke(t≥0)cos(o t +y)Cm(10-10)可以求得K = uc(O)-Ucrcosy最后得到电容电压u(t)的全响应为RC(t≥0)+Ucmuc(t)=[uc(O)-Ucmcosy]·ecos(ot +yu暂态响应正弦稳态响应(10-11)
微分方程的完全解为 (10 10) ( ) e cos( ) ( 0) C Cm u − = + + − u t K U t t R C t 可以求得 C Cm u K = u (0) −U cos 最后得到电容电压uC (t)的全响应为 (10 11) ( ) [ (0) cos ] e cos( ) ( 0) C C Cm u Cm u − = − + + − u t u U U t t R C t 暂态响应 正弦稳态响应
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应u.（0Uemcoscb图10-10
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。 图 10-10
用相量法求微分方程的特解求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的特解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算工具。现将这种相量法介绍如下：eJotis(t) = Ism cos(ot + y) = Re(isrJotCucp (t) = Ucm cos(ot + u)= Re(U代入微分方程营eoreJotejo")= Re(iRe(U[Re(U)+SmCmcmRdt
二、 用相量法求微分方程的特解 ( ) cos( ) Re( e ) ( ) cos( ) Re( e ) j Cp Cm u Cm j S Sm i Sm t t u t U t U i t I t I = + = = + = 求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的特 解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系数 微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算工 具。现将这种相量法介绍如下： 代入微分方程 Re( e ) Re( e ) R 1 [Re( e )] d d j Sm j Cm j Cm t t t U U I t C + =
取实部与微分运算的次序交换110Re[joCUcmej")] +Cmejot) = Re(iRe(U.一eSmReJorRe[joC+-)Uejot ]= Re(isR由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相等，由此得到一个复系数的代数方程U(ioC+=)(10-12)SmCmR求解此代数方程得到电容电压相量为SmUUCmCmjoC+1/R
取实部与微分运算的次序交换 ) e ] Re( e ) 1 Re[(j Re( e ) Re( e ) 1 Re[(j e )] j Sm j Cm j Sm j Cm j Cm t t t t t U I R C U I R CU = + = ＋ 由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相 等，由此得到一个复系数的代数方程 ) (10 12) 1 (j + UCm = I Sm − R C 求解此代数方程得到电容电压相量为 Cm u Sm Cm j 1/ = + = U C R I U
电容电压的振幅和初相分别为SmCm/@°C2 +(1 / R)y; -arc tan(oCR这与式(10 -8)和(10 -9)完全相同。计算出电容电压的振幅和初相就能够写出稳态响应ucp (t) = Ucm cos(ot + y
电容电压的振幅和初相分别为 2 2 2 Sm Cm C (1/ R) I U + = arc tan( ) u = i − CR 这与式(10－8)和(10－9)完全相同。计算出电容电压的 振幅和初相，就能够写出稳态响应 ( ) cos( ) Cp = Cm + u u t U t
从以上叙述可知，用相量表示正弦电压电流后，可将微分方程转换为复系数代数方程，求解此方程得到特解的相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先写出n阶常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式
从以上叙述可知，用相量表示正弦电压电流后，可将 微分方程转换为复系数代数方程，求解此方程得到特解的 相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式。 我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于 由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先写出n阶常 系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流， 将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到 电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式
例10-4图10-9所示电路中，已知R=1Q2,C-2Fis(t)-2cos(3t+45°)A,试用相量法求解电容电压uc(t)的特解。+=0Ruc图10-9解：写出电路的微分方程du+uc = 2cos(3t + 45°dt
例10-4 图10-9所示电路中，已知R=1,C=2F, i S (t)=2cos(3t+45)A, 试用相量法求解电容电压uC (t) 的特解。 解：写出电路的微分方程 2cos(3 45 ) d d 2 C C + u = t + t u 图 10-9