S9-4一般一阶电路分析除了RLC串联和并联一阶电路以外，还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的一阶电路。本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如何建立电路的一阶微分方程以及确定相应的初始条件。现在举例加以说明
§9－4 一般二阶电路分析 除了RLC串联和并联二阶电路以外，还有很多 由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。 本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如 何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始 条件。现在举例加以说明
例9-9图9-10(a）所示电路在开关转换前已经达到稳态，已知us(t)=6e-3tV，t-0闭合开关。试求0时电容电压u(t)的全响应。6242t=0426.241i++X1Hus(t)0.25Fucus(t)1H0.25Fuc10Vuc(0)=6Vit(0)=1A(b)(a)图9-10解：先求出电容电压和电感电流的初始值为6x10V = 6Vuc(0)=uc(0_)4+610V= 1Ai(0)=it(0_)=(4 + 6)2由此得到t>0的电路如图（b）所示
例9-9 图9-10(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，已 知uS (t)=6e -3tV，t=0闭合开关。试求t0时电容电压 uC (t)的全响应。 解：先求出电容电压和电感电流的初始值为 1A (4 6) 10V (0 ) (0 ) 10V 6V 4 6 6 (0 ) (0 ) L L C C = + = = = + = = + − + − i i u u 由此得到t>0的电路如图(b)所示。 图9-10
以电容电压uc(t)和电感电流i(t)为变量，列出两个网孔的KVL方程6242duti+i)+uc=us+dt1H0.25Fucu,(t)di+1.三0uc+6i,dtu.(0)=6ViL(0)=1A从这两个微分方程中消去电感电流i（U），可以得到以电容电压uc(t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是d引用微分算子将以上微分方程变换成代数方程dt(s + 1)uc + 4i = us-uc +(s +6)i = 0
以电容电压uC (t)和电感电流iL (t)为变量，列出两个网孔 的KVL方程 − + + = + + = 0 d d 6 1 ) d d 4 1 4( L C L L C S C t i u i i u u t u 从这两个微分方程中消去电感电流iL (t)，可以得到以 电容电压uC (t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是 引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程 t s d d = − + + = + + = ( 6) 0 ( 1) 4 C L C L S u s i s u i u
用克莱姆法则求得(s+6)u6uS+uos~+7s+10(s +1)(s +6)+4：将上式改写为(s? +7s +10)uc =(s +6)us最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的一阶微分方程dusduu+10u6us++-dt?dtdt
用克莱姆法则求得 7 10 ( 6) ( 1)( 6) 4 ( 6) 2 S S C + + + = + + + + = s s s u s s s u u 将上式改写为 C S 2 （s + 7s +10)u = (s + 6)u 最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶 微分方程 S S C C 2 C 2 6 d d 10 d d 7 d d u t u u t u t u + + = +
从特征方程+7s+10)= 0求得特征根即固有频率为Si =-2uc(t)的固有响应为5tK2euch (t) = Kje十福uc(t)的强制响应为Ucp (t) = Be -3t
从特征方程 7 10) 0 2 （s + s + = 求得特征根，即固有频率为 s1 = −2 s2 = −5 uC (t)的固有响应为 t t u t K K 5 2 2 Ch 1 ( ) e e − − = + uC (t)的强制响应为 t u t B 3 Cp ( ) e − =
代入微分方程中得到3t319Be-3t -21Be-3t +10Be= -18e-3t +36e求得B=-9，即强制响应为uc(t)=-9e-3t。uc(t)的全响应为-3t51uc(t) = uch (t) + ucp(t) = K,e-2t + K,e9e现在利用初始条件确定常数K,和K,。将uc(0)-6V代入上式得到uc(0+)=K, +K, -9=6
代入微分方程中得到 t t t t t B B B 3 3 3 3 3 9 e 21 e 10 e 18e 36e − − − − − − + = − + 求得B=-9，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t 。uC (t)的全响应 为 t t t u t u t u t K K 5 3 2 2 C Ch Cp 1 ( ) ( ) ( ) e e 9e − − − = + = + − 现在利用初始条件确定常数K1 和K2 。将uC (0+ )=6V代 入上式得到 uC (0+ ) = K1 + K2 − 9 = 6
duc(0+）可以从代数方程中求得另外一个初始条件dtsuc = us -4iz -uoduc反变换得到(0.)与uc(0+), i(0+),us(0+)的关系式dtduc(0+)= us(0+)- 4it(0)-uc(0) = 6-4-6 = -4dt得到duc(0+)= -2K, -5K2 +27=-4dt
另外一个初始条件 d (0 ) 可以从代数方程中求得 d C + t u C S 4 L uC su = u − i − 反变换得到 与uC (0+ ), iL (0+ ), uS (0+ d (0 ) )的关系式 d C + t u (0 ) (0 ) 4 (0 ) (0 ) 6 4 6 4 d d S L C C + = u + − i + − u + = − − = − t u 得到 (0 ) 2 5 27 4 d d 1 2 C + = − K − K + = − t u
uc(0.)=K +K,-9=6duc(0.)=-2K, -5K +27= -4dt联立求解以上两个代数方程可以得到44K最后得到电容电压uct)的全响应表达式44-5t-3t9e(t≥0)uc(t)e3从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程和求解微分方程所需的初始条件
联立求解以上两个代数方程可以得到 3 1 3 44 K1 = K2 = 最后得到电容电压uC (t)的全响应表达式 e 9e V ( 0) 3 1 e 3 44 ( ) 2 5 3 C = + − − − − u t t t t t 从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程 变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程 和求解微分方程所需的初始条件。 uC (0+ ) = K1 + K2 − 9 = 6 (0 ) 2 5 27 4 d d 1 2 C + = − K − K + = − t u
建立二阶微分方程的主要步骤如下：1.以uc(t)和i(t)为变量列出两个电路微分方程2.利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程3.联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中表示电容电压uc(t)或电感电流i(t)，P(s),Q(s)是s的多项式。4.将x=P(s)/Q(s)改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出一二阶微分方程
建立二阶微分方程的主要步骤如下： 1. 以uC (t)和iL (t)为变量列出两个电路微分方程。 2. 利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。 3. 联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中x 表示电容电压uC (t)或电感电流iL (t)，P(s),Q(s)是s的多项式。 4. 将x=P(s)/Q(s)改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出 二阶微分方程
例9-10 电路如图9-11所示，已知r=4Q，列出以uc(t)为变量的电路微分方程1F1Hi.HHic201030T13us图9-11解：以i（t)和ic(t)为网孔电流列出网孔方程di-+ 3i -2ic =-us + 4(ic -i)dt2ii+5ic+uc=us
例9-10 电路如图9-11所示，已知r＝4，列出以uC (t)为变 量的电路微分方程。 图9-11 解：以iL (t)和iC (t)为网孔电流列出网孔方程 − + + = + − = − + − L C C S L C S C L L 2 5 3 2 4( ) d d i i u u i i u i i t i