＊$8-6冲激函数和冲激响应冲激函数R=22Roic/Auc/Vbad0广42uc2(t)=(1-e 0.5R)0.5Ric(t) =t=R+Ue2+R=0.52uelR=2Q2C2=1FC;=1FR=122-R=12R=0.52t/s面积A=1045231(a)R=22(c)t/sR=2Q20253.4uc2(t)=e(t)(e)s1ic(t)=o(t)++uei=二C2=1F三C=1Fue2面积A=1t/st/st>0345O3452021(d)(f)(b)图8-38
* §8－6 冲激函数和冲激响应 一、 冲激函数 图8-38
R=2Qic/ARoue/vnaA2uc2(0)=(1-e0.5R)0.5Ric(0)=e=0Ruc2R=0.52ueR=22C2=1FCi=1FR=122R=0.52R=102t/s面积A=1234n(a)R=2Q2t/s(c)R=2Q3.42ue2(t)=e(t)(e)I.i(t)=8(t)++UelC=1FUe2C2=1F面积A=1t/st/st>0123450O(d)(f)(b)在介绍冲激函数之前，先看图8-38(a)所示电路，开关原来倒向a点，由2V电压源对电容C，充电，使其电压达到2V，电容上有2库仑电荷。开关在-0时刻倒向b点后，将有1库仑电荷从电容C上移动到电容C，上使电容上的电压逐渐达到uci(o0)=uc2(o0)=1 V。当电阻R为不同数值时，电容上的电压uc(t)以及电荷移动所形成的电容电流ic(t)），如图(c)和(e)所示
在介绍冲激函数之前，先看图8-38(a)所示电路，开关 原来倒向a点，由2V电压源对电容C1充电，使其电压达到 2V，电容上有2库仑电荷。开关在t=0时刻倒向b点后，将有 1库仑电荷从电容C1上移动到电容C2上，使电容上的电压逐 渐达到uC1()=uC2()=1V。 当电阻R为不同数值时，电容上的电压uC2(t)以及电荷 移动所形成的电容电流iC (t)，如图(c)和(e)所示
R=2Qic/ARoue/vnaX2uc2(0)=(1-e0.5R)0.5Ric(t) =et=oR4ue2R=0.52uelR=22C2=1FCi=1FR=122R=102R=0.5t/s面积A=1234C.5(a)R=2Q2(c)t/sR=2Q342Aue(t)=e(t)(e)I.i(t)=8(t)++ue1C,=1Fe2二C2=1F面积A=1t/st/st>012345003.42(d)(f)(b)由图8-38可见，当电路中的电阻分别为R=2Q2、1Q.0.5Q时，uc2(t)和i(t)的波形如图所示。注意到电容C,上移动到电容C，上的电荷量，即电容电流对时间的积分（电容电流对时间轴之间的面积）均为1个单位，即H0= 1° (0)gt= 1℃ 02k91=02×5=JC
由图8-38可见，当电路中的电阻分别为R=2、1、 0.5时，uC2(t)和iC (t)的波形如图所示。注意到电容C1上移 动到电容C2上的电荷量，即电容电流对时间的积分(电容电 流对时间轴之间的面积）均为1个单位，即 ( )d e d 0.5 2 1C 0 S 0.5 0 = C = = = − t R U Q i t t R t
R=2Q ie/AR。ue/Vha-42.uc2(t)=(1-e0.5R)e0.5Ric(t) =t=oRTUe2+R=0.52uelR=2Q2C2=1FC,=1FR=122R=0.52R=1Q2t/s面积A=12343(a)R=22t/s(c)R=2Q234ue2(t)=e(t)(e)i(t)=8(t)++ucl二C=1Fue2二C2=1F面积A=1t/st/st>01234500451(d)(f)(b)当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uc(t)波形趋于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流i.(t)的波形将变为初始值ic（0)趋于无限大，时间常数无限小（波形的宽度趋于零），而面积（电荷量）为一个单位的脉冲，这个极限的波形称为单位冲激电流，用(t)表示
当图(b)电路中电阻R趋于零时，电容电压uC2(t)波形趋 于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流iC (t)的波形将 变为初始值iC (0+ )趋于无限大，时间常数无限小(波形的宽度 趋于零)，而面积(电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的 波形称为单位冲激电流，用(t)表示
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号t称为单位冲激函数奇异值t=01t0福(8-28)' (t)dt = 18.>0,82>02当图8-38(a）电路中电压源的电压增大时，从电容C上移动到电容C，的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增加，此时图(f)得到的冲激电流为AS(t)
当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号(t) 称为单位冲激函数 (8 28) δ ( )d 1 ε 0, ε 0 0 0 0 δ ( ) 1 2 ε ε 1 2 − = = − t t t t t 奇异值 ＝ 当图8-38(a)电路中电压源的电压增大时，从电容C1上 移动到电容C2的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增 加，此时图(f)得到的冲激电流为A(t)
例如电压源电压U.=20V，开关在t-5s时刻由a点倒向b点，则冲激电流发生在-5s时刻，根据式8-28，所产生的冲激电流应该表示为is(t) = 10 (t-5)A这个冲激电流使电容C,在t=5s时刻，迅速获得10库仑的电荷，使1F电容 C,的电压压发生10V的跃变，由uc2(5.)=0V 跃变到 uc2(5+)=10V。uc(0)==is(t)dt =2e(t - 5)V
i S (t) =10 δ (t − 5)A 例如电压源电压US=20V，开关在t=5s时刻由a点倒向b 点，则冲激电流发生在 t=5s 时刻，根据式8-28，所产生的 冲激电流应该表示为 这个冲激电流使电容 C2 在 t = 5s 时刻，迅速获得10库 仑的电荷，使 1F 电容 C2 的电压压发生 10V 的跃变，由 uC2(5- )=0V 跃变到 uC2(5+ )=10V。 ( )d 2 ( 5)V 5 ( ) 1 ( ) C = = S = − − i t t t C q t u t t
这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在-5s时刻，将10库仑电荷迅速投到5F电容的极板上，使电容电压发生2V的跃变，由uc(5)=-0V跃变到uc(5.)=2V。面积A=10i,(t)ict/s0523461(b)ue(t)SF2XIC1(a)1/s05(c)图8-39冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃
这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在 t=5s时刻，将10库仑电荷迅速投到5F电容的极板上，使电 容电压发生2V的跃变，由uC (5- )=0V跃变到uC (5+ )=2V。 图8－39 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃
从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之存在以下关系de (t)(t)(8-29)dt1()dS(8-30)(t)=00
从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之存 在以下关系 = − = − t t t t t - ε ( ) δ ( )d (8 30) (8 29) d dε ( ) δ ( )
一、冲激响应单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称为电路的冲激响应，用符号ht)表示。计算任何线性时不变电路冲激响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t），再将它对时间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应ds(t)h(t)(8-31)dt
(8 31) d d ( ) ( ) = − t s t h t 二、冲激响应 单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称为电路的 冲激响应，用符号h(t)表示。计算任何线性时不变电路冲激 响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应s(t)，再将它对时 间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应 计算出电路的冲激响应
例如图8-35(a）所示RC串联电路的单位阶跃响应为s(t) =(1-e RC) ε (t)其冲激响应为ds(t)h(t)dtRCd[(l-e (t))dtRCT8(t)81(tRCRC
例如图8－35(a)所示RC串联电路的单位阶跃响应为 s(t) (1 e ) ε (t) RC t − = − 其冲激响应为 e ε ( ) 1 e ε ( ) 1 (1 e )δ ( ) d d[(1 e ) ε (t)] d d ( ) ( ) t RC t RC t t t s t h t R C t R C t R C t R C t − − − − = − + = − = =