S8-3完全响应由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应称为全响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。电路如图8-16(a)所示，开关连接在1端为时已经很久，uc(0)=Us。t-0时开关倒向2端。t>0 时的电路如图816(b)所示。RRt=02++uucCUsUsuc(0-)=-U(b)(a)图8-16RC电路的完全响应
§8－3 完全响应 由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应， 称为全响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的 全响应。电路如图8-16(a)所示，开关连接在1端为时已经很 久，uC (0- )=U0。t=0时开关倒向2端。t >0 时的电路如图8- 16(b)所示。 图8－16 RC电路的完全响应
RR一9t=0o2X++十+ucCucUsU.UsUc(O+)=U.(b)(a)为了求得电容电压的全响应，以电容电压u(t)为变量列出图（b）所示电路的微分方程duc + uc = UsRC(t ≥0)(8 -15)dt其解为RO+U(t)+ucp (t)= Keuc(t)= uch
为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC (t)为变量， 列出图(b)所示电路的微分方程 ( 0) (8 15) d d C S C + u = U t − t u RC 其解为 C Ch Cp S u (t) u (t) u (t) Ke RC U t = + = + − UC(0+ )=U0
代入初始条件uc(O+)=U。 = K+U求得K=U。-UsRC+0uc(t) =(U。 - Us)e于是得到电容电压以及电容电流的表达式RC+Uuc(t) = Uuch (t) + ucp(t) = (U。 - Us)e+U(t≥0)(8-16)uc(t)=(Uo -Us)e全响应=固有响应+强制响应全响应=瞬态响应+稳态响应
代入初始条件 C 0 S u (0+ ) =U = K +U K =U0 −US 求得 S C 0 S u (t) (U U )e R C U t = − + − 于是得到电容电压以及电容电流的表达式 S C Ch Cp 0 S u (t) u (t) u (t) (U U )e RC U t = + = − + − 全响应 瞬态响应 稳态响应 全响应 固有响应 强制响应 = + = + = − + − − ( ) ( )e ( 0) (8 16) S C 0 S u t U U U t t
第一项是对应微分方程的通解uch（t），称为电路的固有响应或自由响应若时间常数t>0，固有响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应。第二项是微分方程的特解uc(t），其变化规律一般与输入相同，称为强制响应在直流输入时当t一→8时uc(t)-ucp(t）这个强制响应称为直流稳态响应+Us(t≥ 0)(8-16)uc(t) = (U。- Us)e全响应=瞬态响应+稳态响应
第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有 响应或自由响应，若时间常数 >0，固有响应将随时间增 长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响 应。 第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律一般与输 入相同，称为强制响应。在直流输入时，当 t→时， uC (t)=uCp(t) 这个强制响应称为直流稳态响应。 全响应=瞬态响应+ 稳态响应 = − + − − ( ) ( )e ( 0) (8 16) S C 0 S u t U U U t t
式（8-16）可以改写为以下形式(t≥ 0)(8-17)uc(t)=U,e t +Us(l-e～零状态响应全响应=零输入响应十式中第一项为初始状态单独作用引起的零输入响应第一项为输入（独立电源）单独作用引起的零状态响应也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现
式(8－16)可以改写为以下形式 全响应＝零输入响应＋ 零状态响应 ( ) e (1 e ) ( 0) (8 17) C = 0 + S − − − − u t U U t t t 式中第一项为初始状态单独作用引起的零输入响应， 第二项为输入(独立电源)单独作用引起的零状态响应。 也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响 应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以 叠加的一种体现
以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实际电路存在的是电压电流的完全响应全响应全响应U.UoucucUsucp稳态响应零状态响应瞬态响应零输入响应-uU。-UskuchT3t42t35rt2t45rt0t0(a)(b)图8-17a）全响应分解为固有响应与强制响应之和（b）全响应分解为零输入响应与零状态响应之和
以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用 全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实 际电路存在的是电压电流的完全响应。 (a) 全响应分解为固有响应与强制响应之和 (b) 全响应分解为零输入响应与零状态响应之和 图8-17 瞬态响应 稳态响应 全响应 零输入响应 零状态响应 全响应
例8-6图8-18(a)所示电路原来处于稳定状态。t-0时开关断开，求0的电感电流i(t)和电感电压u,(t)。7iL(0+)=0.25A1002400iL-iR2R,+0.2A5020.1H310VuL0.1HDULit(0)=0.25A(a)(b)图8-18
例8-6 图8-18(a)所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断 开，求t0的电感电流iL (t)和电感电压uL (t)。 图8-18 iL(0+ )=0.25A
解：在0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图（b）所示电路，该电路的微分方程为L di,(t ≥0)+i=1SCR.dt其全解为i(t)=ith(t)+i,(t)= Ket+ip(t)
解：在t0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含 源电阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程 为 ( 0) d d L s c L o + i = I t t i R L 其全解为 ( ) ( ) ( ) ( ) L Lh Lp Lp i t i t i t Ke i t t = + = + −
0N4002100iLi+R2R,十0.2A5020.1H310V0.1Hu1ulit(0)=0.25A(a)(b)式中L0.1H0.002s=2ms=0.2Aip(t)= Isc SoR502代入上式得到500i(t) = Ke+0.2A代入初始条件i(0+)=i(0_)=0.25A
式中 0.002s 2ms ( ) 0.2A 50 0.1H L p s c 0 = = = = = = i t I R L 代入上式得到 ( ) e 0.2A 500 L = + − t i t K 代入初始条件 i L (0+ ) = i L (0− ) = 0.25A
C-402100iilR2R,+0.2A5020.1H3uL10V0.1HULiL(0_)=0.25A(a)(b)可以得到K=0.25A-0.2A=0.05A于是500tit (t) = (0.05e+ 0.2)A(t ≥0)其中第一项是瞬态响应，第一项是稳态响应。电路在开关断开后，经过(4 ~5)的时间，即经过(8 ~ 10)ms 的过渡时期，就达到了稳态
其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在 开关断开后，经过(4～5)的时间，即经过(8～10)ms 的过 渡时期，就达到了稳态。 K = 0.25A−0.2A = 0.05A 于是 ( ) (0.05e 0.2)A ( 0) 500 L = + − i t t t 可以得到