S9-2直流激励下RLC串联电路的响应RL记uL++UR+u.4C:三对于图示直流激励的RLC串联电路，当us(t)=U.时，可以得到以下非齐次微分方程ducLO(t≥0)RC+uc=Udtdi
§9－2 直流激励下RLC串联电路的响应 对于图示直流激励的RLC串联电路，当uS (t)=US时，可 以得到以下非齐次微分方程 ( 0) d d d d C S C 2 C 2 + + u = U t t u RC t u LC
电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成uc(t) = uch (t) +ucp电路的固有频率为RS1.2-L2L当电路的固有频率s,s,时，对应齐次微分方程的通解为S2tuch(t) = K,esit + K,e
电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程 的特解之和组成 ( ) ( ) ( ) C Ch Cp u t = u t + u t 电路的固有频率为 L LC R L R s 1 2 2 2 1 2 − ， = − 当电路的固有频率s1 s2时，对应齐次微分方程的通解 为 s t s t u t K 1 K 2 ( ) e e ch = 1 + 2
微分方程的特解为(t)uscn全响应为Uc(t) = Uch (t) + Uc,(t) = K,es* + K,e'2+U利用以下两个初始条件duc(t)(0)iLuc (O),dtIt=0可以得到uc(O)= K + K2 +Us
微分方程的特解为 cp S u (t) = U 全响应为 C Ch Cp 1 2 S 1 2 u (t) u (t) u (t) K e K e U s t s t = + = + + 利用以下两个初始条件 C i t u t u t (0) d d ( ) (0), L 0 C C = = 可以得到 C 1 2 S u (0) = K + K +U
对uc(t)求导，再令t-0得到duci（O)K+Kt=0dt求解这两个代数方程，得到常数K，和K，后就可得到uc(t)
对uC(t)求导，再令t=0得到 C i K s K s t u t t (0) d d ( ) L 0 1 1 2 2 C = = + = 求解这两个代数方程，得到常数K1和K2后就可得到 uC(t)
例9-5 电路如图所示。已知 R=4Q ，L-1H，C-1/3F us(t)=2V，uc(0)=6Vi(0)=4A。求t>0时，电容电压和电感电流的响应RLiie+uL+UR+usCFu.解：先计算固有频率R=-2±V4-3=-2±1=S12/I
例9-5 电路如图所示。已知 R=4，L=1H，C=1/3F， uS (t)=2V，uC (0)=6V，iL (0)=4A。求t>0时，电容电 压和电感电流的响应。 − − − − − = − = = − 3 1 2 4 3 2 1 1 2 2 2 1，2 ＝ L LC R L R s 解：先计算固有频率
这是两个不相等的负实根，其通解为-31uch(t)= K,e-t + K,e特解为ucp (t) = 2V全响应为312Vuc(t)= Uch (t)+ucp(t)= K,e- + K,e十利用初始条件得到uc(O)= K, +K2 +2V=6duc(t)L(O)12=-K, -3Kt=0dt
这是两个不相等的负实根，其通解为 t t u t K K 3 ch 1 2 ( ) e e − − = + 特解为 ucp (t) = 2V 全响应为 ( ) ( ) ( ) e e 2V 3 C = Ch + Cp = 1 + 2 + −t − t u t u t u t K K 利用初始条件得到 12 (0) 3 d d ( ) (0) 2V 6 L 0 1 2 C C 1 2 = − − = = = + + = = C i K K t u t u K K t
联立求解以上两个方程得到K, =12V,K, =-8V最后得到电容电压和电感电流的全响应uc(t) = (12e- -8e-3t+2)V(t ≥0)duc(-4e-t + 8e-3t)A(t≥0)i(t)=ic(t)=dt
联立求解以上两个方程得到 K1 =12V,K2 = −8V 最后得到电容电压和电感电流的全响应 ( 4e 8e )A ( 0) d d ( ) ( ) ( ) (12e 8e 2)V ( 0) C 3 L C 3 C = = = − + = − − − − − t t u i t i t C u t t t t t ＋t
例9-6 电路如图所示。 已知R-6Q,L-1H,C-0.04F,us(t)=ε(t)V。求t>0时电容电压的零状态响应。RLiTe+uL+UR+4ueC丰解：t>0时，ε(t)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算电路的固有频率RV32 = 52 = -3± j43+S121-
例9-6 电路如图所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uS (t)= (t)V。求t>0时电容电压的零状态响应。 解：t>0时，(t)=1V，可以作为直流激励处理。首先计算 电路的固有频率 3 3 5 3 j4 1 2 2 2 2 2 1 2 − = − − = − = − L LC R L R s
根据这两个固有频率s,=-3+i4和s,=-3-i4，可以得到全响应的表达式为(t≥0)uc(t) = {e-"[K, cos(4t) + K, sin( 4t)}H)V利用电容电压的初始值u(0)=0和电感电流的初始值i（0）=0得到以下两个方程uc(O)= K, +1 = 0duc(t)=-3K, +4K, =01=0dt
根据这两个固有频率s1 =-3+j4和s2 =-3-j4，可以得到全 响应的表达式为 ( ) {e [ cos(4 ) sin( 4 )] 1}V ( 0) 1 2 3 C = + − u t K t K t t t ＋ 利用电容电压的初始值uC (0)=0和电感电流的初始值 iL (0)=0得到以下两个方程 3 4 0 d d ( ) (0) 1 0 0 1 2 C C 1 = − + = = + = = K K t u t u K t
求解以上两个方程得到常数K,=-1和K,=-0.75，得到电容电压的零状态响应uc(t)= (e-"[-cos(4t) - 0.75 sin( 4t)] + 1}V(t ≥0)=[1.25e-3t cos(4t +143.1°) + 1]V可以用计算机程序DNAP画出电容电压和电感电流零状态响应的波形
求解以上两个方程得到常数K1＝-1和K2＝-0.75，得到 电容电压的零状态响应 [1.25e cos(4 143.1 ) 1]V ( 0) ( ) {e [ cos(4 ) 0.75sin( 4 )] 1}V 3 3 C = + + = − − + − − t t u t t t t t 可以用计算机程序DNAP画出电容电压和电感电流零 状态响应的波形