S10 -3基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫电流定律的相量形式基尔霍夫电流定律（KCL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一结点，在任何时刻流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为i (t) = 0k=1
§10－3 基尔霍夫定律的相量形式 一、基尔霍夫电流定律的相量形式 = = n k k i t 1 ( ) 0 基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路 电流的代数和等于零。其数学表达式为
，则假设电路中全部电流都是相同频率の的正弦电流可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式i(t) = Re[imejo"] = Re[/2ikejo]代入KCL方程中得到Zi(t)=ZZi(t)=2Re[ikmejo"] =0Re[V2i,ej"] = 0k=lk=lk=1k=l由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立即2Zi,=0=0(10-14)(10-15)kmk=lk=l
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则 可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式 ( ) Re[ e ] Re[ 2 e ] j j m t k t k k i t I I = = 代入KCL方程中得到 = = = = = = = = n k t k n k k n k t k n k k i t I i t I 1 j 1 1 j m 1 ( ) Re[ e ] 0 ( ) Re[ 2 e ] 0 由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立， 即 = = = − = − n k k n k k I I 1 1 m 0 (10 14) 0 (10 15)
相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一结点流出该结点的全部支路电流相量的代数和等于零。在列写相量形式KCL方程时，对于参考方向流出结点的电流取+”号，流入结点的电流取“”号。特别注意的是nZZIk00kmKk=lk=l
相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电 流电路中的任一结点，流出该结点的全部支路电流相量的 代数和等于零。在列写相量形式KCL方程时，对于参考方 向流出结点的电流取“ +”号，流入结点的电流取“ -”号。 = = n k k n k k I I 1 1 m 0 0 特别注意的是
例10-6电路如图10-12(a)所示,已知i(t) = 10/2 cos(の t+ 60°) Aiz(t) = 5V2 sin 0 t A试求电流（t)及其有效值相量+I=10/60°A11=6.2/36.2°A22+10i,=10/60°A1z=5/-90°A-5/i,=5/-90"A(a)(c)(b)图10-12
例10-6 电路如图10-12(a)所示,已知 ( ) 5 2 sin A ( ) 10 2 cos( 60 ) A 2 1 i t t i t t = = + 试求电流i(t)及其有效值相量。 图 10-12
4 +ji,=10 /60° A??51i1i=6.2/36.2°A1口回2+10i,=10/60°Ai,=5/-90°A-5/i,=5/-90°A(a)(c)(b)解：根据图（a）所示电路的时域模型，画出图（b）所示的相量模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将用相应的相量符时域模型中各电流符号isiiiis2号表示，并计算出电流相量i, = 5Z-90°AI,=10Z60°A列出图（b）相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式为-i+i, +i, =0
解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量 模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将 时域模型中各电流符号 用相应的相量符 号 表示，并计算出电流相量 。 S 1 2 i 、i、i 、i S 1 2 I I I I 、 、 、 10 60 A 5 90 A 1 2 I = I = − 列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式 为 0 − I + I 1 + I 2 =
4 +j1,=10/60~A05i=6.2/36.2"A212+10i,=10/60°A1,=5/-90°A-5/i;=5/-90"A(a)(c)(b)由此可得i =i, + i, =10Z60° +5 -90°=5+ j8.66-j5=5+j3.66=6.2/36.2°A写出相应的电流瞬时值表达式i(t) = 6.2 /2 cos(@ t + 36.2°)A值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的I=6.2+I,+1,=10+5=15
由此可得 5 j8.66 j5 5 j3.66 6.2 36.2 A 10 60 5 90 1 2 = + − = + = I = I + I = + − 写出相应的电流瞬时值表达式 ( ) 6.2 2 cos( 36.2 )A i t = t + 值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的 全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的 I=6.2I1+I2=10+5=15
+ji,=10 /60° A15i=6.2/36.2°A22+10i,=10/60°Ai,=5/-90°A-5/1,=5/-90°A(a)(c)(b)本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出已知的电流相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得电流相量，如图（c）所示。相量图简单直观，虽然不够精确还是可以用来检验复数计算的结果是否基本正确从相量图上容易看出电流超前于电流，，超前的角度为36.2°+90°=126.2°Z即容易看出I=6.2+I,+I,=10+5=15￥0kk=1
本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出 已知的电流相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得 电流相量，如图(c)所示。相量图简单直观，虽然不够精确， 还是可以用来检验复数计算的结果是否基本正确。 = n k k I 1 0 从相量图上容易看出电流i超前于电流i 2，超前的角度 为36.2+90=126.2 。 容易看出 I=6.2I1+I2=10+5=15 即
一、基尔霍夫电压定律的相量形式基尔霍夫电压定律（KVL）叙述为：对于任何集中参数电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压代数和等于零。其数学表达式为ur(t)= 0k=l假设电路中全部电压都是相同频率の的正弦电压，则可以将它们用有效值相量表示如下：Ur (t) = Re[Umejor ] = Re[V2U,ejot ]
二、基尔霍夫电压定律的相量形式 = = n k k u t 1 ( ) 0 假设电路中全部电压都是相同频率ω的正弦电压，则 可以将它们用有效值相量表示如下： ( ) Re[ e ] Re[ 2 e ] j j m t k t uk t Uk U = = 基尔霍夫电压定律(KVL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压 代数和等于零。其数学表达式为
代入KVL方程中得到nn人ur(t)=Re[Ukmejo"]=0Rk=lk=l=心us(t)=Re[V/2U,ejo"]=0k=lk=1由于上式适用于任何时刻，其相量关系也必须成立即=0福(10-16)kmk=l"2U=0(10-17)kk=l
代入KVL方程中得到 = = = = = = = = n k t k n k k n k t k n k k u t U u t U 1 j 1 1 j m 1 ( ) Re[ 2 e ] 0 ( ) Re[ e ] 0 = = = − = − n k k n k k U U 1 1 m 0 (10 17) 0 (10 16) 由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立， 即
这就是相量形式的KVL定律，它表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压相量的代数和等于零。在列写相量形式KVL方程时，对于参考方向与回路绕行方向相同的电压取+”号，相反的电压取“-”号。值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅（或有效值）的代数和并不一定等于零，即一般来说n1Z￥0￥0UkJkmk=1k=l
这就是相量形式的KVL定律，它表示对于具有相同频 率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压 相量的代数和等于零。在列写相量形式KVL方程时，对于 参考方向与回路绕行方向相同的电压取“ ＋”号，相反的 电压取“ －”号。 值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅(或有 效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说 = = n k k n k Uk U 1 1 m 0 0