S9-3RLC并联电路的响应R?u图9-8RLC并联电路如图9-8所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCL方程ir(t)+i(t)+ic(t)=is(t)
§9－3 RLC并联电路的响应 RLC并联电路如图9-8所示，为了得到电路的二阶微分 方程，列出KCL方程 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C S i t + i t + i t = i t 图9-8
代入电容，电阻和电感的VCR方程diu(t) = ur(t) = uc(t) = Ldtdu金LCir (t)=Gu(t)= GLic(t)=dtdt得到微分方程diLC+GL+iL=is(t)dtdt这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程其特征方程为LCs? + GLs+ 1= 0+()-元由此求解得到特征根S1.20
代入电容，电阻和电感的VCR方程 2 L 2 C L R L L C d d d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) t i LC t u i t C t i i t G u t G L t i u t u t u t L = = = = = = = 得到微分方程 ( ) d d d d L S L 2 L 2 i i t t i GL t i LC + + = 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 其特征方程为 1 0 2 LCs + GLs + = 由此求解得到特征根 C LC G C G s 1 2 2 2 1,2 − = −
当电路元件参数GL.C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：福时，si,s,为两个不相等的实根G>2G=2时，s,,s,为两个相等的实根3.时，si,s,为共轭复数根。G<2/当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的
当电路元件参数G,L,C的量值不同时，特征根可能出现 以下三种情况： 1. 时，s1 ,s2为两个不相等的实根。 L C G 2 2. 时，s1 ,s2为两个相等的实根。 L C G = 2 3. 时，s1 ,s2为共轭复数根。 L C G 2 当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼 的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼 的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的
例9-7 电路如图9-8所示。已知G-3S,L-0.25H,C-0.5Fis(t)=ε(t)A。求>0时电感电流和电容电压的零状态响应RC+ue图9-8解：根据G,L,C的量值，计算出固有频率V33-8=-3±1=3+
例9-7 电路如图9-8所示。已知G=3S,L=0.25H, C=0.5F, i S (t)=(t)A。求t>0时电感电流和电容电压的零状态响应。 − − − = − − = − = = − 4 2 3 3 8 3 1 1 2 2 3 2 1,2 C LC G C G s 解：根据G,L,C 的量值，计算出固有频率 图9-8
这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为i (t) = K,e-2t + K,e-4t +1A(t≥0)利用电容电压的初始值u（0=0和电感电流的初始值i（0)=0得到以下两个方程i(O)=K, +K,+lA=0di.(t)uc(O)C=-2K, -4K, =1=0dtL求得常数K=-2,K,-1。最后得到电感电流和电容电压it(t)=(-2e-2t +e-4t +1)A(t ≥0)u(t) = uc(t) = ie-2V(t> 0)edt
利用电容电压的初始值uC (0)=0和电感电流的初始值 iL (0)=0得到以下两个方程 0 (0) 2 4 d d ( ) (0) 1A 0 C 0 1 2 L L 1 2 = − − = = = + + = = L u K K t i t i K K t 求得常数K1 =-2,K2=1。最后得到电感电流和电容电压 (e e )V ( 0) d d ( ) ( ) ( ) ( 2e e 1)A ( 0) L 2 4 L C 2 4 L = = = − = − + + − − − − t t i u t u t L i t t t t t t 这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为 ( ) e e 1A ( 0) 4 2 2 L = 1 + + − − i t K K t t t
例9 -8 RLC并联电路中 ，已知G=0.1S,L=1H,C-1Fis(t)=ε(t)A。求t>0时，电感电流的零状态响应。解：首先计算固有频率GSy21=-0.05±jl20400其响应为it(t) = [e-0.05t (K,cost + K,sint)+1JA
例9－8 RLC并联电路中，已知G=0.1S,L=1H, C=1F, i S (t)=(t)A。求t>0时，电感电流的零状态响应。 解：首先计算固有频率 1 0.05 j1 400 1 20 1 1 2 2 2 1,2 = − − − − = − C LC G C G s 其响应为 ( ) [e ( 1 cos 2 sin ) 1]A 0.05 L = + + − i t K t K t t
利用零初始条件得到i(0)= K, +1= 0di.(t)uc(0)0=-0.05K, +K,t=0Ldt由此可得K, =-1A, K, =-0.05A最后得到电感电流为i (t) =[1-e-0.05' (cost + 0.05sint)]A~[1 -e-0.05'icost]A(t>0)
利用零初始条件，得到 0 (0) 0.05 d d ( ) (0) 1 0 C 0 1 2 L L 1 = − + = = = + = = L u K K t i t i K t 由此可得 K1 = −1A, K2 = −0.05A 最后得到电感电流为 [1 e cos ]A ( 0) ( ) [1 e (cos 0.05sin )]A 0.0 5 0.0 5 L − = − + − − t t i t t t t t
用计算机程序DNAP画出的电感电流波形如下所示i/A衰减系数α=0.050衰减系数为0.05的电感电流的波形
用计算机程序DNAP画出的电感电流波形如下所示。 衰减系数为0.05的电感电流的波形