S8-5阶跃函数和阶跃响应在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激励。随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路
§8－5 阶跃函数和阶跃响应 在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种 开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电 路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激 励。 随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入 阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物 理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路
一、阶跃函数t01波形如图(a)所示。 当t-0时，ε(t)从0跃变到1。当跃变量是k个单位时，可以用阶跃函数kε(t)来表示，其波形如图(b)所示。当跃变发生在-t,时刻，可以用延迟阶跃函数εt-t）表示，其波形如图(c)所示。函数ε(-t)表示0时，ε(-t)-0 ，如图(d)所示。(Ke(t)e(t-to)e(t)e(-t)K1t14t1可可可0to(b)(a)(c)(d)图8-30阶跃函数
(8 26) 1 0 0 0 ( ) − = t t t 波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k 个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所 示。当跃变发生在t=t 0时刻，可以用延迟阶跃函数 (t-t o ) 表 示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t0 时，(-t)=0，如图(d)所示。 图8－30 阶跃函数 一、阶跃函数 单位阶跃函数(t)的定义为
当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加到某个电路时，有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流作用于该电路。例如图（a）所示开关电路，就其端口所产生的电压波形u(t)来说，等效于图(b)所示的阶跃电压源U,e(t)。图(c）所示开关电路，就其端口所产生的电流波形（t）来说，等效于图(d)所示的阶跃电流源I,e(t)。i(t)i(t)t=o=00oa1oa.+oa+u(t)u(t)obbob6(d)(b)(a)(c)图8-31用阶跃电源来表示开关的作用
图8－31 用阶跃电源来表示开关的作用 当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加 到某个电路时，有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流 作用于该电路。 例如图 (a)所示开关电路，就其端口所产生的电压波形 u(t)来说，等效于图(b)所示的阶跃电压源U0 (t)。 图(c)所示开关电路，就其端口所产生的电流波形i(t)来 说，等效于图(d)所示的阶跃电流源I0 (t)
i(t)i()t=0t=0oaoao.a+oa十U.ULE(tu(t)u(t)obbob(d)(b)(c)(a)i(t)i(t)t=0=0oaoaa+oa+u(t)u(t)obobo bb(e)(f)(g)(h)图8-31用阶跃电源来表示开关的作用与此相似，图（e）所示电路等效于图（f)所示阶跃电压源Uε(-t）：图(g)所示电路等效于图8-31(h)所示阶跃电流源I,e(-t）；引入阶跃电压源和阶跃电流源，可以省去电路中的开关，使电路的分析研究更加方便，下面举例加以说明
与此相似，图(e) 所示电路等效于图(f) 所示阶跃电压源 U0 (-t)；图(g) 所示电路等效于图8－31(h) 所示阶跃电流源 I0 (-t)；引入阶跃电压源和阶跃电流源，可以省去电路中的 开关，使电路的分析研究更加方便，下面举例加以说明。 图8－31 用阶跃电源来表示开关的作用
例8-14电路如图8-32(a)所示，求0时电感电流i(t)。1024Hi1024HiL=0=010e(-t)V1021022E(t)A(b)(a)图8-32解：图(a)电路中的阶跃电压源10ε(-t)V，等效于开关S,将10V电压源接入电路：阶跃电流源2&(t)A，等效于开关S，将2A电流源接入电路，如图（b）所示。就电感电流来说，图(a)和(b)是等效的根据图（b)电路，用三要素法容易求得电感电流i(t)
例8-14 电路如图8－32(a)所示，求t0时电感电流iL (t)。 解：图(a)电路中的阶跃电压源10(-t)V，等效于开关S1将 10V电压源接入电路；阶跃电流源2(t)A，等效于开关 S2将2A电流源接入电路，如图(b)所示。就电感电流来 说，图(a)和(b)是等效的。 根据图(b)电路，用三要素法容易求得电感电流iL (t)。 图8-32
iL1024H i1024HYt=0=010e(-t)V1022e(t)A102OV2A(b)(a)图8-321.计算电感电流的初始值i(0+10V0.5Ai(0)=i(0_)(10 +10)22.计算电感电流的稳态值i(o0)-10×2A =-1Ai(o)10+10
2. 计算电感电流的稳态值iL () 2A 1A 10 10 10 ( ) L = − + − i = 图8-32 1. 计算电感电流的初始值iL (0+ ) 0.5A (10 10) 10V (0 ) (0 ) L L = + i + = i − =
1024Hi1024Hit=0t=0+10e(-t)V102S1022e(t)A10V2A(a)(b)图8-323.计算电路的时间常数0.1H0.005s=5msR.(10+10)24.根据三要素公式写出电感电流的表达式-200A-1Ai(t)=[0.5-(-1)]e= (1.5e-200 -1)A(t ≥0)此题说明如何用三要素法来计算含有阶跃电压源和阶跃电流源的电路
3. 计算电路的时间常数 0.005s 5ms (10 10) 0.1 o = = + = = H R L 4. 根据三要素公式写出电感电流的表达式 (1.5e 1)A ( 0) ( ) [0.5 ( 1)]e A 1A 200 200 L = − = − − − − − t i t t t 此题说明如何用三要素法来计算含有阶跃电压源和阶跃 电流源的电路。 图8-32
阶跃函数还可以用来表示时间上分段恒定的电压或电流信号，例如图8-33（a）所示方波电压信号，可以用图（b）所示两个阶跃电压源串联来表示：图（c）所示方波电流信号可以用图（d）所示两个阶跃电流源并联来表示。对于线性电路来说，这种表示方法的好处在于可以应用叠加定理来计算电路的零状态响应，在此基础上，采用积分的方法还可以求出电路在任意波形激励时的零状态响应i(c)Ai(t)Au(t)oa.a+U.U,e(t-ti)I.I,e(t-t)E（t-u(t)U,e(t-t)otit2ottobb(d)(a)(b)(c)图8-33
阶跃函数还可以用来表示时间上分段恒定的电压或电 流信号，例如图8-33(a)所示方波电压信号，可以用图(b)所 示两个阶跃电压源串联来表示；图(c)所示方波电流信号， 可以用图(d)所示两个阶跃电流源并联来表示。对于线性电 路来说，这种表示方法的好处在于可以应用叠加定理来计 算电路的零状态响应，在此基础上，采用积分的方法还可 以求出电路在任意波形激励时的零状态响应 图8-33
例8-15用阶跃电流源表示图8-33（b）所示的方波电流，再次求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线iL/mA106.32is/mA10iLt/ms0.1ko30.1H01t/ms201-10(a)(b)(c)图8-33
例8-15 用阶跃电流源表示图8-33(b)所示的方波电流，再次 求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。 图8-33
解：图（b）所示的方波电流，可以用两个阶跃函数is(t)=[10(t)-10ε(t-1ms)]mA 表示由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理其零状态响应等于10ε(t)和-10&(t-1ms)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。1.阶跃电流源10ε(t)mA单独作用时，其响应为i (t) = 10(1 - e-1000)s(t) mA2.阶跃电流源-10s(t-1ms)mA单独作用时，其响应为i(t) = -10[1 -e-100(-Ims) Je(t- 1ms) mA
解：图(b)所示的方波电流，可以用两个阶跃函数 i S (t)=[10 (t)-10 (t-1ms)]mA 表示。 由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理， 其零状态响应等于10(t)和-10 (t-1ms)两个阶跃电源单独作 用引起零状态响应之和。 1. 阶跃电流源10(t)mA单独作用时，其响应为 ( ) 10(1 e ) ( ) mA ' 1000 L i t t t − = − 2. 阶跃电流源-10(t-1ms)mA单独作用时，其响应为 ( ) 10[1 e ] ( 1ms) mA " 1000( 1ms) L = − − − − − i t t t