s8 - 4 三要素法本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的一阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要素法。一、三要素法仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后可以得到图8-20(a）和(b）所示的等效电路。RoiL+Uouc(a)(b)图8-20（a)RC一阶电路(b)RL一阶电路
§8－4 三要素法 本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的 一阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要 素法。 图8－20 (a)RC一阶电路 (b)RL一阶电路 一、三要素法 仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元 件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后， 可以得到图8-20(a)和(b)所示的等效电路
RoiLXUocRuc(a)(b)图（a）电路的微分方程和初始条件为duc(t)R.C(8-22)+uc(t)=U(t≥0)Odtuc(O.)=U图（b）电路的微分方程和初始条件为di,(t)(8-23)(t ≥0)+i(t)=I.GSOdti(0)= lo
图(a)电路的微分方程和初始条件为 = + = − C + 0 C o c C o (0 ) ( ) ( 0) (8 22) d d ( ) u U u t U t t u t R C 图(b)电路的微分方程和初始条件为 = + = − L + 0 L s c L o (0 ) ( ) ( 0) (8 23) d d ( ) i I i t I t t i t G L
上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方程df(t)+f(t)= A(t≥0)(8-24)dtf(0.)其通解为f(t) = fh(t)+ f,(t) = Ket+A如果>0，在直流输入的情况下，t→8时，f,(t)一→0 则有fcp(t) = A= f()
上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方 程 + = − + (0 ) ( ) ( 0) (8 24) d d ( ) f f t A t t f t 其通解为 f t f t f t K A t = + = + − h p ( ) ( ) ( ) e 如果>0，在直流输入的情况下，t→时，f h (t)→0， 则有 ( ) ( ) f Cp t = A = f
因而得到f(t) = Ke t + f(oo)由初始条件f（O.），可以求得K = f(O+)- f()于是得到全响应的一般表达式(8-25)(t ≥ 0)f(t)=[f(O+)- f(o)]e t + f(0)其中或 T=L/RT=RC
由初始条件f (0+ )，可以求得 = (0 ) − () + K f f 于是得到全响应的一般表达式 o o / ( ) [ (0 ) ( )]e ( ) ( 0) (8 25) R C L R f t f f f t t = = = − + − − + 其中 或 因而得到 ( ) e ( ) = τ + − f t K f t
这就是直流激励的RC一阶电路和RL中的任一响应的表达式（可以用叠加定理证明）。其波形曲线如图8-21所示心由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值(0.)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f（oo），响应变化的快慢取决于电路的时间常数。f(t)f(t)f(oof(0+)f() f(0+)f(0+)1080t0tTT0(a)(b)图8-21直流激励下一阶电路全响应的波形曲线
这就是直流激励的RC一阶电路和RL中的任一响应的表 达式 (可以用叠加定理证明) 。其波形曲线如图8－21所示。 由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值f (0+ )开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f ()，响应变 化的快慢取决于电路的时间常数 。 图8－21 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线
f(t)f(t)f(oo)f(0+)f(c0) f(0+)f(0+)f(0o)t0<T0(a)图8-22(b)由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f（0）厂（o）和这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，也就是说，根据式（8-25）可以写出响应的表达式以及画出图8-21那样的全响应曲线，而不必建立和求解微分方程。这种计算直流激励下一阶电路响应的方法称为三要素法
由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+ )、 f ()和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能 够确定全响应，也就是说，根据式(8-25）可以写出响应的 表达式以及画出图8-21那样的全响应曲线，而不必建立和 求解微分方程。这种计算直流激励下一阶电路响应的方法 称为三要素法。 图8-22
用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是：1.初始值f(0.)的计算(1）根据t<0的电路，计算出t-0时刻的电容电压uc(0)或电感电流i(0）。（2）根据电容电压和电感电流连续性，即uc(0.)=uc(0)和i, (0.)=i (0)确定电容电压或电感电流初始值
用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一 阶电路响应的一般步骤是: 1. 初始值f (0+ )的计算 (1) 根据t<0的电路，计算出t=0-时刻的电容电压uC (0- ) 或电感电流iL (0- )。 (2) 根据电容电压和电感电流连续性，即 uC (0+ )=uC (0- )和iL (0+ )=iL (0- ) 确定电容电压或电感电流初始值
(3）假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用数值为uc(0)的电压源替代电容或用数值为i（0.)的电流源替代电感后所得到的电阻电路中计算出来2.稳态值f(）的计算根据>0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值foo)。3.时间常数t的计算先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻R。，然后用以下公式T=R,C或T=L/R,计算出时间常数
(3) 假如还要计算其它非状态变量的初始值，可以从用 数值为uC (0+ )的电压源替代电容或用数值为iL (0+ )的电流源 替代电感后所得到的电阻电路中计算出来。 2. 稳态值f ()的计算 根据t>0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替， 得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值 f ()。 3. 时间常数 的计算 先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出 电阻Ro，然后用以下公式 =RoC或 =L/Ro计算出时间常数
4. 将f(0.），f(o)和 代入下式得到响应的一般表达式和画出图8-21那样的波形曲线(8-25)(t≥0)f(t)=[f(0+)- f()]e + f(0)其中或T=RCT=L/RCf(t)f(t)f(oo)f(0+)f(co) f(0+)f(0+)f(00)0tTTT0(a)(b)图8-21直流激励下一阶电路全响应的波形曲线
o o / ( ) [ (0 ) ( )]e ( ) ( 0) (8 25) R C L R f t f f f t t = = = − + − − + 其中 或 4. 将f (0+ )，f ()和 代入下式得到响应的一般表达式 和画出图8－21那样的波形曲线。 图8－21 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线
例8-8图8-22(a)所示电路原处于稳定状态。t-0时开关闭合求tz0的电容电压uc(t)和电流i(t），并画波形图t=02020i40402ACucuc10.(b)(a)图8-22
例8-8 图8-22(a)所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合， 求t0的电容电压uC (t)和电流i(t)，并画波形图。 图8-22