S8-8正弦信号激励的一阶电路RUR+=uL图8-49RL串联电路本节讨论一阶电路在正弦信号激励下的响应。对于图8-49所示RL串联电路中，在电压源的正弦电压us(t)=Usmcos(ot+y,)激励下，以电感电流i(t)为变量的电路方程为di(t≥ 0)(8 - 42)+i=Usmcos(ot+yu)dt
§8－8 正弦信号激励的一阶电路 本节讨论一阶电路在正弦信号激励下的响应。对于图8 －49所示RL串联电路中，在电压源的正弦电压uS (t)= USm cos(t+u )激励下，以电感电流i(t)为变量的电路方程为 cos( ) ( 0) (8 42) dt d + i = USm t + t − i L u 图8－49 RL串联电路
这是一个线性常系数非齐次一阶微分方程。它的解答由两部分组成(8-43)i(t)= in(t)+ip(t)i(t)是对应齐次微分方程的通解，其形式为Rin (t)= Kes = KeKe式中T-L/R是电路的时间常数，K是待定常数，由初始条件和输入共同确定
这是一个线性常系数非齐次一阶微分方程。它的解答 由两部分组成 ( ) ( ) ( ) (8 43) i t = i h t + i p t − i h (t)是对应齐次微分方程的通解，其形式为 t t L R st i t K K K − − ( ) = e = e = e h 式中=L/R是电路的时间常数，K是待定常数，由初始 条件和输入共同确定
i(t)是非齐次微分方程的特解，其形式为(0)=I" co2(0 t+N)为了确定待定常数，将上式代入微分方程（8－42)中可以得到LImosin(ot +y) +RImcos(ot +y)=Usm cos(ot +y由此求得I和oarctanW,=VumRR? +(L)
i p (t)是非齐次微分方程的特解，其形式为 ( ) cos( ) p m i i t = I t + 为了确定待定常数，将上式代入微分方程(8－42)中可 以得到 sin( ) cos( ) cos( ) m i m i s m u − LI t + + RI t + =U t + 由此求得Im和i = − + = R L R L U I i u arctan ( ) 2 2 Sm m
将I和V代入式（8-43）得到L+ Imcos(ot+y)i(t)= KeR-L0SmKe+arctancOSot+wRR? +(oL)?假如初始条件为零，即（0.)=0，代入上式求得待定常数KoLSmK=-Imcos(y,)COSarctan一RR+(oL)最后得到电感电流的表达式为+ Im cos(ot +y)i(t)=-mcos(y,)eOLOSmn-arctanarctanCOScosot+yU4RRR2R+(oL)+(oL)
将Im和i代入式（8－43）得到 ( ) + − + = + = + + − − R L t R L U K i t K I t u t L R i t L R cos arctan ( ) e ( ) e cos 2 2 Sm m 假如初始条件为零，即i(0+ )=0，代入上式求得待定常数K − + − = − = R L R L U K I i u cos arctan ( ) cos( ) 2 2 Sm m 最后得到电感电流的表达式为 ( ) + − + + − + − = = − + + − − R L t R L U R L R L U i t I I t u t L R u i t L R i cos arctan ( ) cos arctan e ( ) ( ) cos( )e cos 2 2 Sm 2 2 Sm m m
由此式可以看出，在一阶电路时间常数>0的情况下电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，它经过(3～5)t的时间基本衰减到零，称为暂态响应。电感电流的第一项是一个按照正弦规律变化的函数，其角频率与激励正弦电源的相同，称为正弦稳态响应图8-50画出电感电流的暂态响应，正弦稳态响应以及完全响应。由此曲线可以看出在经过（3～5）的时间后，暂态响应衰减到零，电感电流的全响应实际上就是按正弦规律变化的正弦稳态响应。这个结论适合于时间常数大于零的任何线性时不变一阶电路，以后还将推广到固有频率实部为负数的n阶线性时不变动态电路
由此式可以看出，在一阶电路时间常数>0的情况下。 电感电流的第一项是一个衰减的指数函数，它经过(3～5) 的时间基本衰减到零，称为暂态响应。电感电流的第二项 是一个按照正弦规律变化的函数，其角频率与激励正弦电 源的相同，称为正弦稳态响应。 图8-50画出电感电流的暂态响应，正弦稳态响应以及 完全响应。由此曲线可以看出在经过(3～5)的时间后，暂 态响应衰减到零，电感电流的全响应实际上就是按正弦规 律变化的正弦稳态响应。这个结论适合于时间常数大于零 的任何线性时不变一阶电路，以后还将推广到固有频率实 部为负数的n阶线性时不变动态电路
由图8-50所示曲线还可以看出在时间常数较大时由于暂态响应衰减较慢，电感电流全响应的最大值可能接近2I，出现过电流的现象i=ih+ipip(t)Oin(t)i(t)图8-50正弦激励下电路的暂态响应正弦稳态响应和全响应从第十章开始，我们将专门讨论单一正弦电源激励的n阶线性时不变动态电路的正弦稳态响应
由图8－50所示曲线还可以看出在时间常数 较大时， 由于暂态响应衰减较慢，电感电流全响应的最大值可能接 近2Im，出现过电流的现象。 从第十章开始，我们将专门讨论单一正弦电源激励的n 阶线性时不变动态电路的正弦稳态响应。 图8-50 正弦激励下电路的暂态响应，正弦稳态响应和全响应
摘要1.动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为零输入响应仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。线性动态电路的全响应等于零输入响应与零状态响应之和2.动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基本方法是建立电路的微分方程，并利用初始条件求解。对于线性n阶非齐次微分方程来说，其通解为f(t) = fr(t)+ f,(t)
1. 动态电路的完全响应由独立电源和储能元件的初始 状态共同产生。仅由初始状态引起的响应称为零输入响应； 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。线性动态电路 的全响应等于零输入响应与零状态响应之和。 2. 动态电路的电路方程是微分方程。其时域分析的基 本方法是建立电路的微分方程，并利用初始条件求解。对 于线性n阶非齐次微分方程来说，其通解为 ( ) ( ) ( ) h p f t = f t + f t 摘 要
f.()是对应齐次微分方程的通解，称为电路的固有响应它与外加电源无关。f.(t)是非齐次微分方程的特解，其变化规律与激励信号的规律相同，称为电路的强制响应由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流激励下的一阶电路来说，其固有响应为f(t)-Kest.若s oo时, f,(t)=Kest-→>0 , 此时f,(t)=f(t)l-= f(0)。此时固有响应f.(t)称为暂态响应，强制响应f.(t)称为稳态响应
f h (t)是对应齐次微分方程的通解，称为电路的固有响应， 它与外加电源无关。f p (t)是非齐次微分方程的特解，其变化 规律与激励信号的规律相同，称为电路的强制响应。 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。对于直流 激励下的一阶电路来说，其固有响应为f h (t)=Ke st .若s<0时, 当t → 时， f h (t)=Ke st→0，此时f p (t)= f(t)|t= = f()。 此时固有响应f h (t)称为暂态响应，强制响应f p (t)称为稳 态响应
3.直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式为(t >0)f(t)=[f(O.)-f(o)]ee t+f()其中或 T=L/R。T=R.C 只要能够计算出某个响应的初始值f(0.），稳态值f(o)和电路的时间常数这三个要素，利用以上通用公式，就能得到该响应的表达式，并画出波形曲线。对于仅含有一个电容或一个电感的一阶电路来说，只需要求解几个直流电阻电路，即可得到这三个要素的数值。这种计算一阶电路响应的方法，称为三要素法4.三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶电路以及含有几个开关的一阶电路
只要能够计算出某个响应的初始值f(0+ )，稳态值f()和 电路的时间常数 这三个要素，利用以上通用公式，就能 得到该响应的表达式，并画出波形曲线。对于仅含有一个 电容或一个电感的一阶电路来说，只需要求解几个直流电 阻电路，即可得到这三个要素的数值。这种计算一阶电路 响应的方法，称为三要素法。 4. 三要素法还可以用来求解分段恒定信号激励的一阶 电路以及含有几个开关的一阶电路。 3. 直流激励下一阶电路中任一响应的通用表达式为 o o / ( ) [ (0 ) ( )]e ( ) ( 0) R C L R f t f f f t t = = = − + − + 其中 或
5.阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应，一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得6.冲激响应是电路在单位冲激电压或电流激励下的零状态响应，线性非时变电路的冲激响应可以用阶跃响应对时间求导数的方法求得7.时间常数大于零的一阶电路，在正弦激励下的响应由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成，当暂态响应衰减到零时，电路中的全响应就是正弦稳态响应，此时称电路处于正弦稳态
5. 阶跃响应是电路在单位阶跃电压或电流激励下的零 状态响应，一阶电路的阶跃响应可以用三要素法求得。 6. 冲激响应是电路在单位冲激电压或电流激励下的零 状态响应，线性非时变电路的冲激响应可以用阶跃响应对 时间求导数的方法求得。 7. 时间常数大于零的一阶电路，在正弦激励下的响应 由暂态响应和正弦稳态响应两部分组成，当暂态响应衰减 到零时，电路中的全响应就是正弦稳态响应，此时称电路 处于正弦稳态