第八章一阶电路分析本章主要由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁－诺顿等效电路来代替（如图8-1和8－2所示）。10(a)(b)(b)(a)图8-1图8 - 2
第八章 一阶电路分析 由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要 讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。 含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成 的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单 口网络用戴维宁－诺顿等效电路来代替（如图8－1和8－2 所示）。 图8－1 图8－2
R.4(a)(b)(a)(b)我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生
我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或 一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。 与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同， 动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同 产生
仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应仅由独立电源引起的响应称为零状态响应动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式
仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。 动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数 学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式
$8-1零输入响应一、RC电路的零输入响应图8-3(a）所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U通过电阻R.对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U.。在-0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图（b）所示RoinR>0RU(a)(b）图8-3
§8－1 零输入响应 图8-3(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0 通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压 已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电 的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示。 图8-3 一、RC电路的零输入响应
t=0R。iR2a.R>0RucURU(b)(a)我们先定性分析>0后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即uc(O.)= uc(O_)=U.由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即ur(O+) = uc(O+)= U.电阻的电流为UCiR (O+R
我们先定性分析t>0后电容电压的变化过程。当开关倒 向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即 C C 0 u (0+ ) = u (0− ) =U 由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相 同，即 R C 0 u (0+ ) = u (0+ ) =U 电阻的电流为 R U i 0 R (0+ ) =
该电流在电阻中引起的功率和能量为Wr(t)FR['i (5)d)p(t) = Rir(t)电容中的能量为Wc(t)随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值uc(O.)=U,逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率
该电流在电阻中引起的功率和能量为 = t p t Ri t W t R i d 0 2 R R 2 R ( ) ( ) ( )＝ () 电容中的能量为 ( ) 2 1 ( ) 2 C W t = Cu t 随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供， 这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容 放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值 uC (0+ )=U0逐渐减小到零的变化过程。这一过程变化的快慢 取决于电阻消耗能量的速率
R。iR2R>0Rugu(b)(a)为建立图(b）所示电路的一阶微分方程，由KVL得到=(+ucUR由KCL和电阻、电容的VCR方程得到duc= Rir =-Ric =-RCURdt代入上式得到以下方程duRO(t≥0)(8-1)=0+ucdt
为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL得到 − uR + uC = 0 由KCL和电阻、电容的VCR方程得到 t u u Ri Ri RC d d C R = R = − C = − 代入上式得到以下方程 0 ( 0) (8 1) d d C C + u = t − t u RC
t=0 2RoiRoR>0R4ru(a)(b)这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为uc(t) = Kest代入式(8-1)中，得到特征方程RCs +1 = 0(8-2)其解为(8-3)SRC称为电路的固有频率
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为 st u (t) Ke C = 代入式(8－1)中，得到特征方程 RCs +1= 0 (8− 2) 其解为 (8 3) 1 = − RC s － 称为电路的固有频率
于是电容电压变为RCt≥0uc(t)= Ke式中K是一个常量，由初始条件确定。当0 时上式变为RCKuc(0 )= Ke一根据初始条件uc(O)=uc(O_)=U求得K=U
于是电容电压变为 ( ) e t 0 C = − RC t u t K 式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变 为 u K RC K t = = − + (0 ) e C 根据初始条件 C C 0 u (0+ ) = u (0− ) =U 求得 K = U0
t=0Roin2-icX+R>0RucURuc(b)(a)图8-3最后得到图8-3(b)电路的零输入响应为RC(t ≥ 0)(8- 4a)uc(t)=U.eduRC(t> 0)(8 - 4b)ic(t)= (C4RdtRC(t>0)(8 -4c)ir(t)=-ic(t) =R
( ) ( ) e ( 0) (8 4c) e ( 0) (8 4b) d d ( ) ( ) e ( 0) (8 4a) 0 R C C 0 C C 0 = − = − = = − − = − − − − t R U i t i t t R U t u i t C u t U t R C t R C t R C t 最后得到图8－3(b)电路的零输入响应为 图8-3