S10-4RLC元件电压电流关系的相量形式一、电阻元件电压电流关系的相量形式线性电阻的电压电流关系服从欧姆定律，在电压电流采用关联参考方向时其电压电流关系表示为iR(10-18)u(t) = Ri(t)+u当其电流i(t)=I.cos(のt+y)随时间按正弦规律变化时电阻上电压电流关系如下：u(t) = Um cos(ot +u) = Ri(t) = RIm cos(ot +;
§10－4 RLC元件电压电流关系的相量形式 一、电阻元件电压电流关系的相量形式 u(t) = Ri(t) (10 −18) 线性电阻的电压电流关系服从欧姆定律，在电压电流 采用关联参考方向时，其电压电流关系表示为 当其电流i(t)=Im cos( t+ψi )随时间按正弦规律变化时， 电阻上电压电流关系如下： ( ) cos( ) ( ) cos( ) m u m ψi u t = U t +ψ = Ri t = RI t +
上式表明，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差为零（同相），即或= RIU=RI(10-19)mT(10-20).=Vi线性电阻元件的时域模型如图10-14(a）所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图（b）所示RwtXdudi(a)(b)图10-14
上式表明，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦 时间函数。其振幅或有效值之间服从欧姆定律，其相位差 为零(同相)，即 (10 20) (10 19) u i m m = − = = − U RI 或 U RI 线性电阻元件的时域模型如图10-14(a)所示，反映电压 电流瞬时值关系的波形图如图(b)所示。 图 10-14
由上图可见在任一时刻，电阻电压的瞬时值是电流瞬时值的R倍，电压的相位与电流的相位相同，即电压电流波形同时达到最大值，同时经过零点由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示如下u(t) = Re[Umejo']= Re[ /2Uejot](10-21)i(t) = Re[imejo"]= Re[V2iejo1](10-22)将以上两式代入式10-18中，得到u(t) = Re[V2Uejo']= R· Re[/2iejo]]
由上图可见，在任一时刻，电阻电压的瞬时值是电流 瞬时值的R倍，电压的相位与电流的相位相同，即电压电 流波形同时达到最大值，同时经过零点。 由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函 数，可以用相量分别表示如下： ( ) Re[ e ] Re[ 2 e ] (10 22) ( ) Re[ e ] Re[ 2 e ] (10 21) j j m j j m = = − = = − t t t t i t I I u t U U 将以上两式代入式10－18中，得到 ( Re[ 2 e ] Re[ 2 e ] j t j t u t U R I ）= =
由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为U=Ri(10-23)这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即（1）电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即U-RI(2)电阻电压与其电流的相位相同，即.=;
由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为 U RI (10－23) = 这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间 的两个关系，即 (1) 电阻电压有效值等于电阻乘以电流的有效值，即 U=RI (2) 电阻电压与其电流的相位相同，即 ψu =ψi
线性电阻元件的相量模型如图（a）所示，反映电压电流相量关系的相量图如图（b）所示由此图可以清楚地看出电阻电压的相位与电阻电流的相位相同。+jt=RiU= RiiRdu=d;-+0+1U(a)(b)图10-15正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系
线性电阻元件的相量模型如图(a)所示，反映电压电流 相量关系的相量图如图(b)所示，由此图可以清楚地看出电 阻电压的相位与电阻电流的相位相同。 图10-15 正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系 U RI =
电感元件电压电流关系的相量形式线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时1一(10-24)u(t)+u当电感电流i(t)=l.cos(のt+y)随时间按正弦规律变化时电感上电压电流关系如下u(t) = Um cos(@ t + )= Lcos(@ t + ))d= -0 LIm sin( o t +y ) =0 LIm cos(@ t +y : +90°
二、电感元件电压电流关系的相量形式 (10 24) d d ( ) = − t i u t L 当电感电流i(t)=Im cos( t+ψi )随时间按正弦规律变化时， 电感上电压电流关系如下： ω sin( ) ω cos( 90 ) [ cos( )] d d ( ) cos( ) m i m i m u m i = − + = + + = + = + LI t ψ LI t ψ I t ψ t u t U t ψ L 线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时
表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅或有效值之间的关系以及电压电流相位之间的关系为或= @LIU = OLI(10-25)Tmu =y; +90(10-26)中
表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函 数。其振幅或有效值之间的关系以及电压电流相位之间的 关系为 90 (10 26) (10 25) u i m m = + − = = − ψ ψ U LI 或 U LI
电感元件的时域模型如图10-16(a）所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图10-16(b）所示。由此可以看出电感电压超前于电感电流90°，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值0wt+u中u中(a)(b)图10-16
电感元件的时域模型如图10-16(a)所示，反映电压电流 瞬时值关系的波形图如图10-16(b)所示。由此可以看出电感 电压超前于电感电流90°，当电感电流由负值增加经过零点 时，其电压达到正最大值。 图 10-16
由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示，将它们代入式10－24中得到u(t)=Re[V2ejor]福[Re(V2iejor)]一dt=Re[jo L/2iejot]由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式U = joLi(10 - 27)
由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函 数，可以用相量分别表示，将它们代入式10－24中得到 Re[j 2 e ] [Re( 2 e )] d d ( Re[ 2 e ] j j j t t t L I I t L u t U = = ）= 由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式 U = j LI (10 − 27)
电感元件的相量模型如图（a）所示，电压电流的相量图如（b）所示。由此可以清楚看出电感电压的相位超前于电感电流的相位90°+iU=jwLiijwlRbu=0,+o13302+U0?/中+1i(b)(a)图10-17ev90=cos90°+ jsin90°=
电感元件的相量模型如图(a)所示，电压电流的相量图 如(b)所示。由此可以清楚看出电感电压的相位超前于电感 电流的相位90° 。 e cos90 jsin 90 j j90 = + = 图 10-17