第九章一阶电路分析由二阶微分方程描述的电路称为一阶电路分析一阶电路的方法仍然是建立一二阶微分方程并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨论含两个动态元件的线性一阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程序分析高阶动态电路
第九章 二阶电路分析 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程， 并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要 讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨 论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机 程序分析高阶动态电路
s9 -1RLC串联电路的零输入响应一、RLC串联电路的微分方程R"在L为了得到图9-1所示RLCiuy++UR++串联电路的微分方程先列出uC :ueCKVL方程图9-1RLC串联二阶电路ur(t)+u(t)+uc(t)=us(t)dui(t)=i (t) =ic(t)=CdtdudiduCuR (t)= Ri(t)= RCLCui(t)=dt2dtdt
§9－1 RLC串联电路的零输入响应 一、RLC串联电路的微分方程 图9－1 RLC串联二阶电路 ( ) ( ) ( ) ( ) R L C S u t + u t + u t = u t 2 c 2 L c R c L C d d d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) t u LC t i u t L t u u t Ri t RC t u i t i t i t C = = = = = = = 为了得到图9－1所示RLC 串联电路的微分方程，先列出 KVL方程
根据前述方程得到以下微分方程duc认LC+ RC(9-1)+uc = us(t)di?dt这是一个常系数非齐次线性一阶微分方程零输入响应方程为duRCLC(9-2)+uc二dtdt其特征方程为LCs? + RCs +1=0(9-3)其特征根为R(9-4)S1,221
根据前述方程得到以下微分方程 ( ) (9 1) d d d d C S C 2 C 2 + + u = u t − t u RC t u LC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 0 (9 2) d d d d C C 2 C 2 + + u = − t u RC t u LC 其特征方程为 1 0 (9 3) 2 LCs + RCs + = − 其特征根为 (9 4) 1 2 2 2 1 2 − − = − L LC R L R s ， 零输入响应方程为
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况T时R>21为不相等的实根。过阻尼情况S1,S2CLR=2时2.c为两个相等的实根。临界阻尼Si,S2情况。L时，3.为共轭复数根。欠阻尼情况R<2S1,S2
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R， L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 C L R 2 1 2 1. 时， s ,s 为不相等的实根。过阻尼情况。 3. 时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。 C L R 2 1 2 s ,s 2. 时， 为两个相等的实根。临界阻尼 情况。 1 2 s ,s C L R = 2
一、过阻尼情况当R>2时，电路的固有频率s，，s,为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式uc(t) = K,es + K,es2(9-5)式中的两个常数K，，K,由初始条件iO)和u.(O)确定uc(O) = K, + K,9-5对式(9 -5)求导，再令(-0得到duc(t)(0)L1(9-7)= K,Si +K,21=0dt福
二、过阻尼情况 当 时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的 实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 C L R 2 ( ) e e (9 5) 1 2 C = 1 + 2 − s t s t u t K K 式中的两个常数K1，K2由初始条件iL (0)和uc (0) 确定。 (0) (9 6) uC = K1 + K2 − 对式(9－5)求导，再令t=0得到 (9 7) (0) d d ( ) L 0 1 1 2 2 C = = + = − C i K s K s t u t t
求解以上两个方程，可以得到i(O)S2uc(O)i(O)Suc(O)由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应
求解以上两个方程，可以得到 − − C i s u s s K C i s u s s K (0) (0) 1 (0) (0) 1 L 1 C 1 2 2 L 2 C 2 1 1 － ＝ － ＝ 由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和 电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应
例9-1 电路如图9-1所示，已知R=3Q2,L=0.5H,C-0.25Fuc(0)=2V,i(0)-1A，求电容电压和电感电流的零输入响应。RiLZ+uL+UR?Cuc图9-1RLC串联二阶电路解：将R，L，C的量值代入式（9-4）计算出固有频率P=-3±V32-8=-3±1=S122L
例9-1 电路如图9-1所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F, uC (0)=2V, iL (0)=1A，求电容电压和电感电流的零输 入响应。 − − − = − − = − = = − 4 2 3 3 8 3 1 1 2 2 2 2 1 2 L LC R L R s ， 解：将R，L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率 图9－1 RLC串联二阶电路
将固有频率s,=-2和s,=-4代入式（9 - 5）得到-4tuc(t)= K,e-21 + K,e(t ≥0)利用电容电压的初始值uc(0)=2V和电感电流的初始值i（0）=1A得到以下两个方程uc(O)=K, +K, = 2K,=6duc(t)i(0)4-4K-2K2t=02dt最后得到电容电压的零输入响应为uc (t) = (6e-21 - 4e -41)V(t≥0)
将固有频率s1 =-2和s2 =-4代入式（9－5）得到 ( ) e e ( 0) 4 2 2 C = 1 + − − u t K K t t t 利用电容电压的初始值uC (0)=2V和电感电流的初始值 iL (0)=1A得到以下两个方程： 4 (0) 2 4 d d ( ) (0) 2 L 0 1 2 C C 1 2 = − − = = = + = = C i K K t u t u K K t K1=6 K2 =-4 ( ) (6e 4e )V ( 0) 2 4 C = − − − u t t t t 最后得到电容电压的零输入响应为
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应duo(-3e-21 + 4e-4t)A(t ≥0)it(t)=ic(t)dt从图示电容电压和电感电流的波形曲线可以看出电路各元件的能量交换过程uc/ViLIA200(a)(b)
利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响 应 ( 3e 4e )A ( 0) d d ( ) ( ) C 2 4 L = C = = − + − − t t u i t i t C t t 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电 路各元件的能量交换过程
三、临界情况L当 R=2,时，电路的固有频率si，s,为两个相同的实数s,=s,=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式uc(t) = K,es + K,tes!(9-8)式中的两个常数K，，K,由初始条件iO)和uc(O）确定令式(9-5）中的-0得到99uc(O) = K
三、临界情况 当 时，电路的固有频率s1 , s2为两个相同的实 数s1 =s2 =s。齐次微分方程的解答具有下面的形式 C L R = 2 ( ) e e (9 8) C = 1 + 2 − s t s t u t K K t 式中的两个常数K1，K2由初始条件iL (0)和uC (0) 确定。 令式(9-5)中的t=0得到 (0) (9 9) uC = K1 −