$8-2零状态响应初始状态为零，仅仅由独立电源（称为激励或输入）引起的响应称为零状态响应。本节只讨论由直流电源引起的零状态响应。RC电路的零状态响应T图8-9(a)所示电路中的电容原来未充电，uc(0)=0。t-0时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，电压源通过电阻对电容充电
§8－2 零状态响应 初始状态为零，仅仅由独立电源(称为激励或输入)引 起的响应，称为零状态响应。本节只讨论由直流电源引起 的零状态响应。 一、 RC电路的零状态响应 图8-9(a)所示电路中的电容原来未充电，uC (0- )=0。t=0 时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，电压源通过 电阻对电容充电
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得t=0RRoicic++UC银ucUuc(0.)=0(a)(b)图8-9
图8-9 uC (0- )=0 其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得t=0RRoic+UsucUC(a)(b)图8-9uc(0.)=0uc(0.)=0(a)t0 的电路以电容电压为变量，列出图（b）所示电路的微分方程Ur + uc = URic +uc = UduRC(8-8)+ucSdt
(a) t0 的电路 以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程 uR + uC = US RiC + uC = US (8 8) d d C S C + u =U − t u RC 图8-9 uC (0- )=0 uC (0+ )=0 其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得
duRC=U(8-8)+ucdt这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由两部分组成，即(8-9)uc(t) = uch (t) +ucp (t)式中的uch(t)是与式（8-8）相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即RCUch (t)= Ke" = Ke(t ≥ 0)
这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由 两部分组成，即 ( ) ( ) ( ) (8 9) uC t = uCh t + uCp t − 式中的uCh(t)是与式（8－8）相应的齐次微分方程的通 解，其形式与零输入响应相同，即 ( ) e e ( 0) Ch = = − u t K K t R C t s t (8 8) d d C S C + u =U − t u RC
式(8 -9)中的ucp(t)是式(8-8)所示非齐次微分方程的一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令ducRC(8-8)=U+ucucp (t) =dt将它代入式（8-8）中求得ucp(t)=Q=U因而RC+Us(8-10)uc(t) =uch (t)+uc (t)= Ke
式(8－9)中的uCp(t)是式(8－8)所示非齐次微分方程的 一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于直 流电源激励的电路，它是一个常数，令 uCp (t) = Q 将它代入式(8－8)中求得 Cp S u (t) = Q = U 因而 ( ) ( ) ( ) e (8 10) C = Ch + Cp = + S − − u t u t u t K RC U t (8 8) d d C S C + u =U − t u RC
式中的常数K由初始条件确定。在t-0,时uc(O.)= K+Us = 0由此求得K=-URCuc(t)=Us(l-K代入式(8-10)中得到零状态响应为uc(t)=Us(l-e RC)=Us(l-e t(t≥0)(8-1la)duic(t)= C(t>0)(8-11b)RRQ
式中的常数K由初始条件确定。在t=0+时 uC (0+ ) = K +US = 0 由此求得 K = −US ( ) (1 e ) C S RC t u t U − = − 代入式(8－10)中得到零状态响应为 e e ( 0) (8 11b) d d ( ) ( ) (1 e ) (1 e ) ( 0) (8 11a) C S S τ C τ C S = = = − = − = − − − − − − t R U R U t u i t C u t U U t t R C t t S R C t
t=0RRXo.+ic+++UUCCucuc(a)(b)图8-9其波形如图(8-10)所示。UsucRic1-2t3t4r5t0t23t04t5tt(b)(a)图8－10RC电路的零状态响应曲线
其波形如图(8－10)所示。 图8－10 RC电路的零状态响应曲线 图8-9
UsUsucRic(t)=Ruc(t)=Us(l-e tic2t3t5tt4T02t3t04t5t(b)(a)从上可见，日电容电压由零开始以指数规律上升到U经过一个时间常数变化到(1-0.368)U-0.632Us，经过(4~5时间后电容电压实际上达到Us电容电流则从初始值U/R以指数规律衰减到零。零状态响应变化的快慢也取决于时间常数t=RC。当时间常数T越大，充电过程就越长
从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到US， 经过一个时间常数变化到(1-0.368)US=0.632US，经过(4～ 5)时间后电容电压实际上达到US。 ( ) (1 e ) τ C t US u t − = − S τ C ( ) e t R U i t − = 电容电流则从初始值US /R以指数规律衰减到零。零状 态响应变化的快慢也取决于时间常数 =RC。当时间常数 越大，充电过程就越长
例8-3 电路如图8-11(a)所示 ，已知电容电压uc(0.)-0。t-0打开开关，求0的电容电压uc(t),电容电流ict)以及电阻电流；(t)。R.=300Quc(0)=018002Roa1200LA1μFuc(O)=0uc二uc?1μFib=120V(a)(b)图8-11
例8-3 电路如图8-11(a)所示，已知电容电压uC(0- )=0。t=0 打开开关，求t0的电容电压uC (t),电容电流iC (t)以及 电阻电流i 1 (t)。 uC (0+ ) = 0 图8-11 Uoc = 120V uC (0- )=0 Ro = 300
1802R,1A12002lμFucuclμF1b(a)(b)解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到uc(O.)=uc(0_)= 0先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图（b）所示电路，其中= 120VR=3002OC电路的时间常数为t = R,C=3002×10-F=3×10-*s=300μs
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 uC (0+ ) = uC (0− ) = 0 先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维 宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中 Uoc = 120V Ro = 300 电路的时间常数为 300 10 F 3 10 s 300 s 6 4 = o = = = − − R C