22.3实际问题与二次函数(1) 班级: 姓名 座号 【学习目标】 1.能用配方法或公式法求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值; 2.能够从实际问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数及性质解决最小(大) 值等实际问题 学习重点】探究利用二次函数的最大值(或最小值)解决面积问题的方法 【学习难点】将实际问题转化成二次函数问题 【学习过程】 课前准备,知识回顾 1.用公式法求二次函数h=-5t2+30t的顶点坐标:t b 4 h=-4a 即顶点坐标为 2.将二次函数h=-512+30配方为顶点式为 顶点坐标为 当1=时,h最大值为 、情景导入,初步认识 问题从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间 t(单位:s)之间的关系式是h=-512+30t(0≤t≤6) (1)当t是多少时小球最高?小球运动中的最大高度是多少? h/m (2)由图象可知,抛物线的最高点为 ,所以 时,h最大值为 归纳求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值(共有 2种方法 方法一(公式法):由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,一般地,当 第1页
第 1 页 22.3 实际问题与二次函数（1） 班级： 姓名： 座号： 【学习目标】 1．能用配方法或公式法求二次函数 y = ax + bx + c 2 的最小（大）值； 2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大） 值等实际问题． 【学习重点】探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决面积问题的方法． 【学习难点】将实际问题转化成二次函数问题． 【学习过程】 一、课前准备，知识回顾 1.用公式法求二次函数 h 5t 30t 2 = − + 的顶点坐标： 2 b t a = − = ， 2 4 4 ac b h a − = = ；即顶点坐标为 . 2.将二次函数 h 5t 30t 2 = − + 配方为顶点式为 ； 顶点坐标为 ；当 t = 时， h 最大值为 . 二、情景导入，初步认识 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m ）与小球的运动时间 t （单位： s ）之间的关系式是 h 5t 30t 2 = − + （ 0 t 6 ）． (1)当 t 是多少时小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ (2)由图象可知，抛物线的最高点为 ，所以 当 t = 时， h 最大值为 . 归纳 求二次函数 y = ax + bx + c 2 的最小（大）值（共有 2 种方法）： 方法一（公式法）：由于抛物线 y = ax + bx + c 2 的顶点是最低（高）点，一般地，当
时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值 方法二(配方法):二次函数y=ax2+bx+c配方为y=a(x-h)2+k,当x=h时, 次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值y=k. 三、思考探究,获取新知 探究用总长为60m的篱笆围成矩形场地ABCD,矩形面积S随矩形一边AB长l的变 化而变化.(1)写出S与l之间的函数关系;(2)当l是多少米时,场地的面积S最大? 归纳利用二次函数解决实际问题的一般方法: (1)确定自变量x和函数y分别所表示的量 (②)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围 (3)在自变量的取值范围内,用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 四、运用新知,深化理解 例1如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用墙,其余各面用木材 围成栅栏,该计划用木材围成总长24m的栅栏,设每间羊圈与墙垂直的边长为x(m), 三间羊圈的总面积S(m).(1)求S关于x的函数关系式;(2)求总面积S的最大值. *(3)若墙的长度为8m,则面积S的最大值是多少? 借助函数图象分析,虽然抛物线的最高点为 即当x=_时,S最大值为_,但是最高点并不落在自变量的取值范围内,所以 时,S最大值为 练习如图,一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个 矩形的宽是多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解:设宽为xm,则长为 m,矩形的面积为y,依题意得: 五、拓展延伸,形成技能 菜园 第2页
第 2 页 18m 菜园 墙 a b x 2 = − 时，二次函数 y = ax + bx + c 2 有最小（大） 值 a ac b y 4 4 2 − = ． 方法二（配方法）：二次函数 y = ax + bx + c 2 配方为 2 y a x h k = − + ( ) ，当 x h = 时，二 次函数 y = ax + bx + c 2 有最小（大） 值 y k = ． 三、思考探究，获取新知 探究 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地 ABCD，矩形面积 S 随矩形一边 AB 长 l 的变 化而变化.(1)写出 S 与 l 之间的函数关系；(2)当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 归纳 利用二次函数解决实际问题的一般方法： (1)确定自变量 x 和函数 y 分别所表示的量； (2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (3)在自变量的取值范围内，用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值． 四、运用新知，深化理解 例 1 如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用墙，其余各面用木材 围成栅栏，该计划用木材围成总长 24m 的栅栏，设每间羊圈与墙垂直的边长为 x (m)， 三间羊圈的总面积 S (m 2 ) .(1)求 S 关于 x 的函数关系式；(2)求总面积 S 的最大值. *(3)若墙的长度为 8m，则面积 S 的最大值是多少？ 借助函数图象分析，虽然抛物线的最高点为 ， 即当 x= 时，S 最大值为 ，但是最高点并不落在自变量的取值范围内，所以 当 x= 时，S 最大值为 ， 练习 如图，一段长为 30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18m，这个 矩形的宽是多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设宽为 xm ，则长为 m，矩形的面积为 y ，依题意得： 五、拓展延伸，形成技能
例2已知在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A,B,与y 轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点, (1)A点坐标为 C点坐标为 (2)抛物线的表达式为 (3)点P为抛物线第二象限内上一动点,点Q在线段AC上,且PQ∥y轴,当线段PQ的长 度最大时,求P点的坐标 六、回顾总结,反馈点拨 1.求二次函数y=ax2+bx+c的最值有两种方法:(1) 配方法;(2)公式法 2.利用二次函数解决实际问题的一般方法(见归纳) 七、课后检测,评价反思 1.已知直角三角形的两条直角边的和等于8,两条直角边分别为多少时,这个直角 三角形的面积最大?最大值是多少? 解:设一直角边长为x,则另一直角边长为 ,依题意得: 2.某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带 边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住.设绿化带的BC边长为xm,绿化带的 面积为ym2.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围 (2)当x为何值时,满足条件的绿化带的面积最大? 3.如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度a=10m), 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为 (1)求S与x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围 (选做)(2)当x为何值时,花圃的面积最大? 评价反思 第3页
第 3 页 25 m D A C B 例 2 已知在平面直角坐标系中，抛物线 1 2 2 y x bx c = − + + 与 x 轴相交于点 A，B，与 y 轴相交于点 C，直线 y x = + 4 经过 A，C 两点， (1)A 点坐标为 ；C 点坐标为 ；(2)抛物线的表达式为 ； (3)点 P 为抛物线第二象限内上一动点，点 Q 在线段 AC 上，且 PQ∥y 轴，当线段 PQ 的长 度最大时，求 P 点的坐标. 六、回顾总结，反馈点拨 1.求二次函数 y = ax + bx + c 2 的最值有两种方法：（1） 配方法；（2）公式法. 2.利用二次函数解决实际问题的一般方法（见归纳）. 七、课后检测，评价反思 1．已知直角三角形的两条直角边的和等于 8，两条直角边分别为多少时，这个直角 三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设一直角边长为 x ，则另一直角边长为 ，依题意得： 2. 某小区在一块一边靠墙(墙长 25m )的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD ，绿化带 一边靠墙， 另三边用总长为 40m 的栅栏围住．设绿化带的 BC 边长为 xm ，绿化带的 面积为 2 ym ．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围. (2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 3. 如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度 a =10m ）， 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽 AB 为 xm ，面积为 2 Sm ． (1)求 S 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围. (选做) (2)当 x 为何值时，花圃的面积最大？ 评价反思：