九年级数学上册教学计划 计十一章一元二次方程 第1课时21.1一元二次方程 教学内容 元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标 了解一元二次方程的概念:一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念:;·应用一元二次方程概念解决 些简单题目 1.通过设置问题,建立数学模型,“模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义 2.一元二次方程的一般形式及其有关概念 3.解决一些概念性的题目. 4.通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情 重难点关键 1.·重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2.难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,·再由一元一次方程的概念迁移到一元二 次方程的概念 教学过程 复习引入 生活动:列方程 问题(1)古算趣题:“执竿进屋 笨人执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭。 有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足。 借问竿长多少数,谁人算出我佩服。 如果假设门的高为x·尺,·那么,·这个门的宽为 尺,长为 根据题意,·得 整理、化简,得 、探索新知 学生活动:请口答下面问题 (1)上面三个方程整理后含有几个未知数? (2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次? (3)有等号吗?还是与多项式一样只有式子? 老师点评:(1)都只含一个未知数x:(2)它们的最高次数都是2次的:(3)·都有等号,是方程. 因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的 方程,叫做一元二次方程 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,·都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形 式叫做一元二次方程的一般形式 个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数:bx是一次 项,b是一次项系数:c是常数项 例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数 及常数项 分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运 算进行整理,包括去括号、移项等. 解:略 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 例2.(学生活动:请二至三位同学上台演练)将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程 的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数:一次项、一次项系数:常数项 分析:通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式 解:略 三、巩固练习 教材练习1、2
1 九年级数学上册教学计划 二十一章 一元二次方程 第 1 课时 21．1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式 ax 2 +bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一 些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点关键 1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二 次方程的概念． 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程． 问题（1）古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。 借问竿长多少数，谁人算出我佩服。 如果假设门的高为 x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺， •根据题意，•得________． 整理、化简，得：__________． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）•都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的 方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式 ax 2 +bx+c=0（a≠0）．这种形 式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成 ax 2 +bx+c=0（a≠0）后，其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次 项，b 是一次项系数；c 是常数项． 例 1．将方程 3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数 及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是 ax 2 +bx+c=0（a≠0）．因此，方程 3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运 算进行整理，包括去括号、移项等． 解：略 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例 2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1） 2 +（x-2）（x+2）=•1 化成一元二次方程 的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1） 2 +（x-2）（x+2）=1 化成 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的形式． 解：略 三、巩固练习 教材 练习 1、2
补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程? (1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-2=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0 四、应用拓展 例3.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程 分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+17≠0即可 证明:m2-8m+17=(m-4)2+1 ∵(m-4)2≥0 ∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0 ∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程 ·练习:1.方程(2a-4)x2-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为 一元一次方程 2.当m为何值时,方程(m+1)x+27mx+5=0是关于的一元二次方程 五、归纳小结(学生总结,老师点评) 本节课要掌握: (1)一元二次方程的概念;(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)·和二次项、二次项系数, 次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业 第2课时21.1一元二次方程 教学内容 1.一元二次方程根的概念 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 教学目标 了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 提出问题,根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式,列式求解;由解给出根的概念:再由根 的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题 重难点关键 1.重点:判定一个数是否是方程的根 2.·难点关键:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 教学过程 复习引入 学生活动:请同学独立完成下列问题 问题1.前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0 列表 x12|314|5678|9101 8x+20 问题2.前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44 列表: 2+ 老师点评(略) 二、探索新知 提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少?问题2中一元二次方程的解是多少? (2)如果抛开实际问题,问题2中还有其它解吗? 老师点评:(1)问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解,问题2中,x=4是x2+7x-44=0的解.(2)如 果抛开实际问题,问题2中还有x=-11的解. 元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 回过头来看:x2-8x+20=0有两个根,一个是2,另一个是10,都满足题意:但是,问题2中的x=11的 根不满足题意.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确 实是实际问题的解 例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根? 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可 解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0
2 补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？ (1)3x+2=5y-3 (2) x 2 =4 (3) 3x2 - 5 x =0 (4) x 2 -4=(x+2) 2 (5) ax 2 +bx+c=0 四、应用拓展 例 3．求证：关于 x 的方程（m 2 -8m+17）x 2 +2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程． 分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m 2 -8m+17•≠0 即可． 证明：m 2 -8m+17=（m-4）2 +1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2 +1>0，即（m-4）2 +1≠0 ∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程． • 练习: 1.方程（2a—4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为 一元一次方程？ 2.当 m 为何值时,方程(m+1)x／4m／-4 +27mx+5=0 是关于的一元二次方程 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数， 一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用． 六、布置作业 第 2 课时 21．1 一元二次方程 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．•根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根 的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．•难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题 1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程 x 2 -8x+20=0 列表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … x 2 -8x+20 … 问题 2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程 x 2 +7x-44=0 即 x 2 +7x=44 列表： 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2•中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题 2 中还有其它解吗？ 老师点评：（1）问题 1 中 x=2 与 x=10 是 x 2 -8x+20=0 的解，问题 2 中，x=4 是 x 2 +7x-44=0 的解.（2）如 果抛开实际问题，问题 2 中还有 x=-11 的解． 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 回过头来看：x 2 -8x+20=0 有两个根，一个是 2，另一个是 10，都满足题意；但是，问题 2 中的 x=-11 的 根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确 实是实际问题的解． 例 1．下面哪些数是方程 2x 2 +10x+12=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2 +10x+12=0 x 1 2 3 4 5 6 … x 2 +7x …
的两根 例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值 练习:关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值 点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经 常用到,同学们要深刻理解. 例3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? (1)x2-64=0(2)3x2-6=0 (3)x2-3x=0 分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义 解:略 三、巩固练习 教材思考题练习1、2 四、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: (1)一元二次方程根的概念; (2)要会判断一个数是否是一元二次方程的根 (3)要会用一些方法求一元二次方程的根.(“夹逼”方法;平方根的意义) 六、布置作业 1.教材复习巩固3、4综合运用5、6、7拓广探索8、9 2.选用课时作业设计 第3课时21.2.1配方法 教学内容 运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程 教学目标 理解一元二次方程“降次”一一转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解 a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程 重难点关键 1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想 2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m ≥0)的方程 教学过程 、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 问题1.填空 (1)x2-8x+ (x-)2:(2)9x2+12x+=(3x+)2:(3)x2 问题1:根据完全平方公式可得:(1)164;(2)42;(3)(P)2P 问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程于一元一次方程有什么不同?二次如 何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法? 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9 能否也用直接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论) 老师点评:回答是肯定的,把2t1变为上面的x,那么2t+1=±3 即2t+1=3,2t+1=-3 方程的两根为t1=1,t2=-2 例1:解方程:(1)(2x-1)2=5 (2)x2+6x+9=2(3)x2-2x+4=-1 分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1 解:(2)由已知,得:(x+3)2=2 直接开平方,得:x+3=±√2 所以,方程的两根x=3+√2,x=3-√2 例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率
3 的两根． 例 2.若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 a x 2 +bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式 2007(a+b+c)的值 练习:关于 x 的一元二次方程(a-1) x 2 +x+a 2 -1=0 的一个根为 0,则求 a 的值 点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经 常用到,同学们要深刻理解. 例 3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x 2 -64=0 （2）3x2 -6=0 （3）x 2 -3x=0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 解：略 三、巩固练习 教材 思考题 练习 1、2． 四、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： （1）一元二次方程根的概念； （2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根； （3）要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法; 平方根的意义) 六、布置作业 1．教材 复习巩固 3、4 综合运用 5、6、7 拓广探索 8、9． 2．选用课时作业设计． 第 3 课时 21.2.1 配方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax 2 +c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a（ex+f） 2 +c=0 型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m） 2 =n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x 2 =n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2 =n（n ≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1．填空 （1）x 2 -8x+______=（x-______） 2；（2）9x2 +12x+_____=（3x+_____） 2；（3）x 2 +px+_____=（x+____） 2． 问题 1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ 2 p ） 2 2 p ． 问题 2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如 何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知 上面我们已经讲了 x 2 =9，根据平方根的意义，直接开平方得 x=±3，如果 x 换元为 2t+1，即（2t+1）2 =9， 能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=±3 即 2t+1=3，2t+1=-3 方程的两根为 t1=1，t2=--2 例 1：解方程：(1)(2x-1) 2 =5 (2)x 2 +6x+9=2 (3)x 2 -2x+4=-1 分析：很清楚，x 2 +4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2 =1． 解：(2)由已知，得：（x+3）2 =2 直接开平方，得：x+3=± 2 即 x+3= 2 ，x+3=- 2 所以，方程的两根 x1=-3+ 2 ，x2=-3- 2 例 2．市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2 提高到 14.4m，求每年人均住房面积增长率．
分析:设每年人均住房面积增长率为x.·一年后人均住房面积就应该是10+-10x=10(1+x);二年后人均 住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解:设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x=0.2=20%,x2=2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去 所以,每年人均住房面积增长率应为20% (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.·我们把这种思想称为“降次转化 思想” 巩固练习 教材练习 四、应用拓展 例3某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均 增长率是多少? 分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,·那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营 业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x) 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么1+(1+x)+(1+x)2=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得 (1+x+-)2=2.56,即(x+-)2=2.5 ±1.6,即 2 方程的根为x1=10%,x2=3. 因为增长率为正数 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x=D(D≥0,那么x士√转化为应用直接开平方法 解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n= 达到降次转化之目的.若p<0则方程无解 六、布置作业 1.教材复习巩固1、 第4课时22.2.1配方法(1) 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题. 通过复习可直接化成x=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,·引入不能直接化成 上面两种形式的解题步骤 重难点关键 1.重点:讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤 2.·难点与关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们解下列方程 (1)3x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=-7 老师点评:上面的方程都能化成x=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得 x√或mxm±√P(p≥0) 如:4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=7化成(2x+4)2=9吗?
4 分析：设每年人均住房面积增长率为 x．•一年后人均住房面积就应该是 10+•10x=10（1+x）；二年后人均 住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x， 则：10（1+x）2 =14.4 （1+x）2 =1.44 直接开平方，得 1+x=±1.2 即 1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为 20%． （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化 思想”． 三、巩固练习 教材 练习． 四、应用拓展 例 3．某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均 增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营 业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2． 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x． 那么 1+（1+x）+（1+x） 2 =3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+ 1 2 ） 2 =2.56，即（x+ 3 2 ） 2 =2．56 x+ 3 2 =±1.6，即 x+ 3 2 =1.6，x+ 3 2 =-1.6 方程的根为 x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%． 五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x 2 =p（p≥0），那么 x=± p 转化为应用直接开平方法 解形如（mx+n）2 =p（p≥0），那么 mx+n=± p ，达到降次转化之目的．若 p＜0 则方程无解 六、布置作业 1．教材 复习巩固 1、2． 第 4 课时 22.2.1 配方法(1) 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程． 教学目标 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 通过复习可直接化成 x 2 =p（p≥0）或（mx+n） 2 =p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成 上面两种形式的解题步骤． 重难点关键 1．重点：讲清“直接降次有困难，如 x 2 +6x-16=0 的一元二次方程的解题步骤． 2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2 -1=5 （2）4（x-1）2 -9=0 （3）4x2 +16x+16=9 (4) 4x2 +16x=-7 老师点评：上面的方程都能化成 x 2 =p 或（mx+n）2 =p（p≥0）的形式，那么可得 x=± p 或 mx+n=± p （p≥0）． 如：4x2 +16x+16=（2x+4）2 ,你能把 4x2 +16x=-7 化成（2x+4）2 =9 吗?
二、探索新知 列出下面问题的方程并回答 (1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢 (2)能否直接用上面三个方程的解法呢? 问题2:要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少? (1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式 而后二个不具有 (2)不能 既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就 来讲如何转化: x2+6x-16=0移项→x2+6x=16 两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9 左边写成平方形式→(x+3)2=25·降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=5 解一次方程→x=2,x2=-8 可以验证:x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为2m,常为8m 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法 可以看出,配方法是为了降次,把 次方程转化为两个一元一次方程来解 例1.用配方法解下列关于x的方程 (1)x2-8x+1=0(2)x2-2x--=0 分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式:(2)同上 解:略 、巩固练习 教材P38讨论改为课堂练习,并说明理由 教材P39练习12.(1)、(2) 四、应用拓展 例3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8m,CB=6m,点P、Q同时由A,B两点出发分别沿AC、BC方 向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s,·几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半 分析:设x秒后△PQQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.·根据已知列出等式 解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半 根据题意,得:1(8x)(6-x)=1×1×8×6 整理,得:x2-14x+24= (x-7)2=25即x1=12,x2=2 x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半 五、归纳小结 本节课应掌握 左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以 直接降次解方程的方程 六、布置作业 1.教材复习巩固2.3(1)(2) 第5课时21.2.1配方法(2) 教学内容 给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程 教学目标
5 二、探索新知 列出下面问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 问题 2：要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2 ,场地的长和宽各是多少？ （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有 x 的完全平方式 而后二个不具有． （2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就 来讲如何转化： x 2 +6x-16=0 移项→x 2 +6x=16 两边加（6/2）2 使左边配成 x 2 +2bx+b2 的形式 → x 2 +6x+32 =16+9 左边写成平方形式 → （x+3）2 =•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5 或 x+3=-5 解一次方程→x1=2，x2= -8 可以验证：x1=2，x2= -8 都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为 2m，常为 8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例 1．用配方法解下列关于 x 的方程 （1）x 2 -8x+1=0 （2）x 2 -2x- 1 2 =0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上． 解：略 三、巩固练习 教材 P38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材 P39 练习 1 2．（1）、（2）． 四、应用拓展 例 3．如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B•两点出发分别沿 AC、BC 方 向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为 Rt△ACB 面积的一半． C B A Q www.czsx.com.cn P 分析：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设 x 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 根据题意，得： 1 2 （8-x）（6-x）= 1 2 × 1 2 ×8×6 整理，得：x 2 -14x+24=0 （x-7）2 =25 即 x1=12，x2=2 x1=12，x2=2 都是原方程的根，但 x1=12 不合题意，舍去． 所以 2 秒后△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握： 左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以 直接降次解方程的方程． 六、布置作业 1．教材 复习巩固 2．3(1)(2) 第 5 课时 21.2.1 配方法(2) 教学内容 给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标
了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤. 通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目 重难点关健 1.重点:讲清配方法的解题步骤 2.难点与关键:把常数项移到方程右边后,·两边加上的常数是一次项系数一半的平方 教具、学具准备 小黑板 教学过程 、复习引入 (学生活动)解下列方程 (1)x2-4x+7=0(2)2x2-8x+1=0 老师点评:我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式,“不可以直接开方降次解方 程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题 解:略.(2)与(1)有何关联? 二、探索新知 讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤 (1)现将已知方程化为一般形式:(2)化二次项系数为1:(3)常数项移到右边 (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式: (5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q:如果q<0,方程无实根 例1.解下列方程 (1)2x2+1=3x(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0 分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全 解:略 三、巩固练习 教材P练习2.(3)、(4)、(5)、(6) 四、归纳小结 本节课应掌握 1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤 2.配方法是解一元二次方程的通法,它重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方, 利用非负数的性质判断代数式的正负性(如例3)在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常 用到。 六、布置作业 1.教材P45复习巩固3.(3)(4) 补充:(1)已知x2+y2+2-2x+4y-6z+14=0,则求x+y+z的值 (2)求证:无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数 第6课时21.22公式法 教学内容 1.一元二次方程求根公式的推导过程 2.公式法的概念; 3.利用公式法解一元二次方程 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程. 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)·的求根公式的推导公式,并 应用公式法解一元二次方程 重难点关键 1.重点:求根公式的推导和公式法的应用 2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导 教学过程 复习引入 1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”,比如,方程 (1)x2=4 (2)(x-2)2=7 提问1这种解法的(理论)依据是什么
6 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键 1．重点：讲清配方法的解题步骤． 2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程： （1）x 2 -4x+7=0 （2）2x 2 -8x+1=0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形式，•不可以直接开方降次解方 程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：略. (2)与(1)有何关联? 二、探索新知 讨论:配方法届一元二次方程的一般步骤： (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为 1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． 例 1．解下列方程 （1）2x 2 +1=3x （2）3x 2 -6x+4=0 （3）（1+x） 2 +2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有 x 的完全 平方． 解：略 三、巩固练习 教材 P 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、归纳小结 本节课应掌握： 1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方， 利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例 3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常 用到。 六、布置作业 1.教材 P45 复习巩固 3．（3）（4） 补充：（1）已知 x 2 +y2 +z2 -2x+4y-6z+14=0，则求 x+y+z 的值 （2）求证：无论 x、y 取任何实数，多项式 x 2 +y2 -2x-4y+16 的值总是正数 第 6 课时 21.2.2 公式法 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax 2 +bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并 应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、 复习引入 1． 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程 （1）x 2 =4 (2)(x-2) 2 =7 提问 1 这种解法的（理论）依据是什么？
提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效,不 能实施于一般形式的二次方程。) 2.面对这种局限性,怎么办?(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的 形式。) (学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x (老师点评)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评) (1)现将已知方程化为一般形式:(2)化二次项系数为1:(3)常数项移到右边 (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式 (5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=p±√q:如果q0,4a2>0,当b-4ac≥0时-4ac 直接开平方,得:x+b=士 /b2 -b±√b2-4ac b-√b2-4ac 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,·将a、b、c代入 b± 4ac 式子 就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘 除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。) (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解 (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根 例1.用公式法解下列方程 (1)2x-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-√2 (4)4x2-3x+2=0 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可 补:(5)(x-2)(3x-5)=0 巩固练习 教材P2练习1.(1)、(3)、(5)或(2)、(4)、(6)
7 提问 2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不 能实施于一般形式的二次方程。） 2．面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的 形式。） （学生活动）用配方法解方程 2x 2 +3=7x （老师点评）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． (1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为 1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果 q≥0，方程的根是 x=-p±√q；如果 q＜0,方程无实根． 二、探索新知 用配方法解方程 （1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x2 +bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2 +bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根， 请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知 ax 2 +bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根 x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − (这个方程 一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题 步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2 +bx=-c 二次项系数化为 1，得 x 2 + b a x=- c a 配方，得：x 2 + b a x+（ 2 b a ）2 =- c a +（ 2 b a ）2 即（x+ 2 b a ）2 = 2 2 4 4 b ac a − ∵4a2 >0，4a2＞0, 当 b 2 -4ac≥0 时 2 2 4 4 b ac a − ≥0 ∴（x+ 2 b a ） 2 =( 2 4 2 b ac a − ) 2 直接开平方，得：x+ 2 b a =± 2 4 2 b ac a − 即 x= 2 4 2 b b ac a − − ∴x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − 由上可知，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax 2 +bx+c=0，当 b 2 -4ac≥0 时，•将 a、b、c 代入 式子 x= 2 4 2 b b ac a − − 就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、 除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。) （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例 1．用公式法解下列方程． （1）2x 2 -x-1=0 （2）x 2 +1.5=-3x (3) x2 - 2 x+ 1 2 =0 （4）4x2 -3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 补:（5）（x-2）（3x-5）=0 三、巩固练习 教材 P42 练习 1．（1）、（3）、（5）或(2) 、(4) 、(6)
四、应用拓展 例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)x2+2+(m2)x-1=0提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程. (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0. 2)要使它为一元一次方程,必须满足 m2+1=1 ① 或② m2+1=0 m+1=0 或③ (m+1)+(m-2)≠0(m-2≠0m-2≠0 五、归纳小结 本节课应掌握 (1)求根公式的概念及其推导过程 (2)公式法的概念 (3)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0.2) 找出系数a,b,C,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数 代入求根公式,算出结果。 (4)初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业 教材复习巩固4 第7课时21.24判别一元二次方程根的情况 教学内容 用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况及其运用 教学目标 掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实根,反之也成立:b2-4ac=0,ax2+bx+c=0(a≠0)有 两个相等的实数根,反之也成立:b2-4ac0、b2-4ac=0、b2-4ac0)一元二次方程有两个不相等的实根;b2-4ac=0)一元二次方程有两个相等的实数 b2-4ac0,·有两个不相等的实根:(2) b2-4ac=12-12=0,有两个相等的实根;(3)b2-4ac=|-4×4×1|=0(<0,=0)与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分 析
8 四、应用拓展 例 2．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2 m 2 x + +（m-2）x-1=0 提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m 2 +1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ① 2 1 1 ( 1) ( 2) 0 m m m + = + + − 或② 2 1 0 2 0 m m + = − 或③ 1 0 2 0 m m + = − 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让 a>0.2) 找出系数 a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算 b 2 -4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数， 代入求根公式，算出结果。 （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 教材 复习巩固 4． 第 7 课时 21.2.4 判别一元二次方程根的情况 教学内容 用 b 2 -4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax 2 +bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用． 教学目标 掌握 b 2 -4ac>0，ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b 2 -4ac=0，ax 2 +bx+c=0（a≠0）有 两个相等的实数根，反之也成立；b 2 -4ac0、b 2 -4ac=0、b 2 -4ac0 一元二次方程有两个不相等的实根；b 2 -4ac=0 一元二次方程有两个相等的实数； b 2 -4ac0，•有两个不相等的实根；（2） b 2 -4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b 2 -4ac=│-4×4×1│=0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分 析：
求根公式:x=-b±√62-4ac ,当b2-4ac>0时,根据平方根的意义,√b2-4ac等于一个具体数,所以 元一次方程的x==b+ √b2 -4ac 即有两个不相等的实根.当b2-4ac=0时,·根据 2 2 平方根的意义√2-4aC=0,所以xx=b,即有两个相等的实根:当-40(0时,根据平方根的意义,负 数没有平方根,所以没有实数解 因此,(结论)(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)·有两个不相等实数根即 4ac b-√6-4ac (2)当b-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+=0(a≠0)有两个相等实数根即xk2~b (3)当b2-4ac0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元 二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)0台一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根;b2-4ac=0←一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根;b2-4ac<0<)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根及其它的 运用 六、布置作业 教材复习巩固6综合运用9拓广探索1、2. 第8课时21.2.3因式分解法 教学内容 用因式分解法解一元二次方程 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法—因式分解法解一元二次方 程,并应用因式分解法解决一些具体问题 重难点关键 1.重点:用因式分解法解一元二次方程 2.·难点与关键:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便 教学过程 、复习引入 (学生活动)解下列方程
9 求根公式：x= 2 4 2 b b ac a − − ，当 b 2 -4ac>0 时，根据平方根的意义， 2 b ac −4 等于一个具体数，所以 一元一次方程的 x1= 2 4 2 b b ac a − + − ≠x1= 2 4 2 b b ac a − − − ，即有两个不相等的实根．当 b 2 -4ac=0 时，•根据 平方根的意义 2 b ac −4 =0，所以 x1=x2= 2 b a − ，即有两个相等的实根；当 b 2 -4ac0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即 x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − ． （2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即 x1=x2= 2 b a − ． （3）当 b 2 -4ac0 的解集（用含 a 的式子表 示）． 分析：要求 ax+3>0 的解集，就是求 ax>-3 的解集，那么就转化为要判定 a 的值是正、负或 0．因为一元 二次方程（a-2）x 2 -2ax+a+1=0 没有实数根，即（-2a）2 -4（a-2）（a+1）0 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b 2 -4ac=0 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b 2 -4ac<0 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的 运用． 六、布置作业 教材复习巩固 6 综合运用 9 拓广探索 1、2． 第 8 课时 21.2.3 因式分解法 教学内容 用因式分解法解一元二次方程． 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方 程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．•难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程．
(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法) 老师点评:(1)配方法将方程两边同除以2后,x前面的系数应为,的一半应为-,因此,应加上 4 )2,同时减去()2.(2)直接用公式求解 二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题 (老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项? 2)等式左边的各项有没有共同因式? (学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项:左边都可以因式分解 因此,上面两个方程都可以写成 (1)x(2x+1)=0 (2)3x(x+2)=0 因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以x1=0,x2= (2)3x=0或x+2=0,所以x1=0,x2=-2.(以上解法是如何实现降次的?) 因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个 次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. 例1.解方程 (1)10x-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3) 3 (4)(x-1)2=(3-2x)2思考:使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么? 解:略 (方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积。) 练习:1.下面一元二次方程解法中,正确的是() A.(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7 B.(2-5x)+(5x-2) (5x-2)(5x-3)=0,∴2 C.(x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2 D.x2=x两边同除以x,得x=1 三、巩固练习 教材练习1、2 例2.已知9a2-4b2=0,求代数式ba2+b2 的值 b a 分析:要求只、ba2+b2 b 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出a与b的关系后代 入,但也可以直接代入,因计算量比较大,比较容易发生错误 b2-a2-b2 解:原式 9a2-4b2=0 .(3a+2b)(3a-2b)=0 3a+2b=0或3a-2b=0 a=-b或a=2 b 当a=-b时,原式= 当a=-b时,原式=3 四、应用拓展 例3.我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0, 请你用上面的方法解下列方程 (1)x2-3x-4=0(2)x2-7x+6=0(3)x2+4x-5=0
10 （1）2x2 +x=0（用配方法） （2）3x2 +6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以 2 后，x 前面的系数应为 1 2 ， 1 2 的一半应为 1 4 ，因此，应加上 （ 1 4 ）2，同时减去（ 1 4 ）2．（2）直接用公式求解． 二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是（1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x2=- 1 2 ． （2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2．（以上解法是如何实现降次的？） 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例 1．解方程 （1）10x-4.9 x 2 =0 （2）x（x-2）+x-2 =0 (3)5x 2 -2x- 1 4 =x 2 -2x+ 3 4 (4)(x-1) 2 =(3-2x) 2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？ 解：略 （方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积。） 练习：1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）． A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2 =0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= 2 5 ，x2= 3 5 C．（x+2） 2 +4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x 2 =x 两边同除以 x，得 x=1 三、巩固练习 教材 练习 1、2． 例 2．已知 9a 2 -4b2 =0，求代数式 2 2 a b a b b a ab + − − 的值． 分析：要求 2 2 a b a b b a ab + − − 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出 a 与 b 的关系后代 入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误． 解：原式= 2 2 2 2 a b a b b2 ab a − − − = − ∵9a2 -4b2 =0 ∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0 或 3a-2b=0， a=- 2 3 b 或 a= 2 3 b 当 a=- 2 3 b 时，原式=- 2 2 3 b − b =3 当 a= 2 3 b 时，原式=-3． 四、应用拓展 例 3．我们知道 x 2 -（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么 x 2 -（a+b）x+ab=0 就可转化为（x-a）（x-b）=0， 请你用上面的方法解下列方程． （1）x 2 -3x-4=0 （2）x 2 -7x+6=0 （3）x 2 +4x-5=0