九年级数学上新课标[人] 第二十二章二次函数 223实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 九年级数学·上 新课标 [人]
类型题①】一次函数与二次函数的综合应用 考查角度1指明函数关系求解析式 例1(2015茂名中考某公司生产的某种产品每件成本为40元经市场调查整 理出如下信息:①该产品90天内日销售量(m件)与时间第x天满足一次函数关 系部分数据如下表: 时间(第天) 日销量(m件)198194188180 ②该产品90天内每天的销售价格与时间(第x天)的关系如下表: 时间(第天)15050590 销售价格⑦元件)_x+60100 (1)求m关于x的一次函数表达式; (2)设销售该产品每天利润为元请写出关于x的函数表达式,并求出在90天内该 产品哪天的销售利润最大最大利润是多少 【提示每天销售利润=日销售量X每件销售价格每件成本)】 )在该产品销售的过程中共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果
一次函数与二次函数的综合应用 (2015·茂名中考)某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整 理出如下信息:①该产品90天内日销售量(m件)与时间(第x天)满足一次函数关 系,部分数据如下表: ②该产品90天内每天的销售价格与时间(第x天)的关系如下表: 考查角度1 指明函数关系求解析式 例1 (1)求m关于x的一次函数表达式; (2)设销售该产品每天利润为y元,请写出y关于x的函数表达式,并求出在90天内该 产品哪天的销售利润最大,最大利润是多少. 【提示:每天销售利润=日销售量×(每件销售价格-每件成本)】 (3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果. 时间(第x天) 1 3 6 10 … 日销量(m件) 198 194 188 180 … 时间(第x天) 1≤x<50 50≤x≤90 销售价格(元/件) x+60 100
〔解析〕(1)用待定系数法即可求出一次函数的解析式;(2)根据利润日 销售量ⅹ(每件销售价格-每件成本列出与x的函数关系式然后在自变 量的取值范围内利用函数的性质求出最大值3)15<50时令2(x-402+7200 5400解得3x1=10x2=70,由函数图象的增喊性可知从第10天到第49天共有40天销 售利润不低于5400元;当5090时令-120x+12000-5400解得x=5即从第50天 到第55天共6天销售利润不低于5400元所以一共有46天销售利润不低于5400元 解:(1)∵mx满足一次函数关系, 设mk+将=1,m=19%x3m=194代入嚼1+b=1/k=-2, k+b=198 b=200 m关于x的一次函数表达式为m=-2x+200(经检验符合题意) (2)由题意知y关于x的函数表达式为:y 2x2+160x+4000(1≤x≤50 120x+1200(50≤x≤90) 当1x<50时,=2x2+160x+4000-2(x-40)2+7200, 2<0∴当x=40时有最大值最大值是7200当505≤90时y=120x+1200 ∵-120<0,随x的增大而减小,即当x=50时y的值最大最大值是6000 综上所述,当x=40时p的值最大最大值是7200 (3)有46天销售利润不低于5400元 解题归纳】本题为二次函数与一次函数的实际应用求解此类问题时一定要明白相应 的等量关系如本题中的“每天销售利润=日销售量x(每件销售价格每件成本)
〔解析〕(1)用待定系数法即可求出一次函数的解析式;(2)根据利润=日 销售量×(每件销售价格-每件成本)列出y与x的函数关系式,然后在自变 量的取值范围内利用函数的性质求出最大值;(3)1≤x<50时,令-2(x-40)2+7200= 5400,解得x1=10,x2=70,由函数图象的增减性可知从第10天到第49天,共有40天销 售利润不低于5400元;当50≤x≤90时,令-120x+12000=5400,解得x=55,即从第50天 到第55天共6天销售利润不低于5400元.所以一共有46天销售利润不低于5400元. 解:(1)∵m与x满足一次函数关系， ∴设m=kx+b,将x=1,m=198,x=3,m=194代入, 得 解得 ∴m关于x的一次函数表达式为m=-2x+200.(经检验,符合题意) 198, 3 194, k b k b + = + = (2)由题意知y关于x的函数表达式为: 2, 200. k b = − = 当1≤x<50时, y=-2x 2+160x+4000=-2(x-40)2+7200, ( ) ( ) 2 2 160 4000 1 50 , 120 12000 50 90 , x x x y x x − + + = − + ∵-2<0,∴当x=40时,y有最大值,最大值是7200. 当50≤x≤90时,y=-120x+12000， ∵-120<0,∴y随x的增大而减小, 即当x=50时,y的值最大,最大值是6000. 综上所述,当x=40时,y的值最大,最大值是7200. (3)有46天销售利润不低于5400元. 【解题归纳】本题为二次函数与一次函数的实际应用,求解此类问题时一定要明白相应 的等量关系,如本题中的“每天销售利润=日销售量×(每件销售价格-每件成本)
·针对性训练 1.(2015·莆田中考某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口普通 售票窗口从上午8点开放而无人售票窗口从上午7点开放某日从上午7点至10点, 每个普通售票窗口售出的车票数(张)与售票时间x(小时)的变化趋势如图(1)所 示每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(小时)的变化趋势是以原 点为顶点的抛物线的一部分如图(2)所示若该日截至上午9点每个普通售票窗 口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同 1)求图2)中的抛物线的解析式; (2)若该日共开放5个无人售票窗口截至上午10点两种窗口共售出的车票数不少 于90张,则至少需要开放多少个普通售票窗口? y1(张) y2(张) O|123x(小时) O123x(小时) (1) (2)
1.(2015·莆田中考)某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口,普通 售票窗口从上午8点开放,而无人售票窗口从上午7点开放.某日从上午7点至10点, 每个普通售票窗口售出的车票数y1 (张)与售票时间x(小时)的变化趋势如图(1)所 示,每个无人售票窗口售出的车票数y2 (张)与售票时间x(小时)的变化趋势是以原 点为顶点的抛物线的一部分,如图(2)所示.若该日截至上午9点,每个普通售票窗 口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同. (1)求图(2)中的抛物线的解析式; (2)若该日共开放5个无人售票窗口,截至上午10点,两种窗口共售出的车票数不少 于900张,则至少需要开放多少个普通售票窗口?
解:(1)由题意可设y2=x2,当x=2时2==40.把(2,40)代入 y2=ax2,得a=10.∴y2=10x2 (2)设y1=k+b(15x≤3,把(1,0),(2,40)分别代入y1=kx+b, 易得=40x-40.当x=3时y1=80y2=90 设需要开放m个普通售票窗口,则80m+90×5≥900, ∴m58∴∵m取整数,m≥6 答:至少需要开放6个普通售票窗口
解:(1)由题意可设y2=ax2 ,当x=2时,y2=y1=40.把(2,40)代入 y2=ax2 ,得a=10.∴y2=10x 2 . (2)设y1=kx+b (1≤x≤3),把(1,0),(2,40)分别代入y1=kx+b, 易得y1=40x-40.当x=3时,y1=80,y2=90. 设需要开放m个普通售票窗口,则80m + 90×5 ≥ 900， ∴m ≥5 .∵m取整数,∴m≥6. 答:至少需要开放6个普通售票窗口. 5 8
考查角度2根据图象或表格判断函数关系 例2|(2015黄陂区校级模拟在“母亲节期间某校部分团员参加社会公益活动, 准备购进一批许愿瓶进行销售并将所得利润捐给慈善机构根据市场调査,这种 许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的对应关系如图22-56所 示(1)试判断y与x之间的函数关系并求出函数关系式; (2)若许愿瓶的进价为6元/个按照上述市场调査的销售规律求销售利润w元与 销售单价x(元之间的函数关系式; (3)在(2)的前提下若许愿瓶的进货成本不超过900元要想获得最大的利润试确定 这种许愿瓶的销售单价并求出此时的最大利润 解析)观察可得该函数留象是次函数的图象,a0-+-+-+-+- 设出一次函数解析式把其中两点代入即可求得该函240 数解析式把其余两点的横坐标代入看函数值是否与 +- 点的纵坐标相同2销售利润每个许愿瓶的利润×120-+-+-+-+- 销售量;(3)根据进货成本可得自变量的取值范围结 合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润 10121416 图22-56
考查角度2 根据图象或表格判断函数关系 (2015·黄陂区校级模拟)在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动, 准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种 许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的对应关系如图22 - 56所 示. (1)试判断y与x 之间的函数关系,并求出函数关系式; (2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与 销售单价x(元)之间的函数关系式; (3)在(2)的前提下,若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定 这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润. 例2 〔解析〕(1)观察可得该函数图象是一次函数的图象， 设出一次函数解析式,把其中两点代入即可求得该函 数解析式,把其余两点的横坐标代入看函数值是否与 点的纵坐标相同;(2)销售利润=每个许愿瓶的利润× 销售量;(3)根据进货成本可得自变量的取值范围,结 合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润
解:(1)是x的一次函数设y=k+b,∵图象过点(10,300,240), 10k+b=300 k=-30, 12k+b=240 解得 b=600. 故y与x之间的函数关系式为=30x600,当x=14时y=180;当x=16时y=120, 即点(14,180),16,120)均在函数y=30x+6006图象上 ∴y与x之间的函数关系式为=30x1600 (2)=(x-6(-30x+600)=30x2+780x3600 即w与x之间的函数关系式为w=30x2+780x-3600 (3)由题意得6(-30x+600≤900,解得x≥15, 函数w=30x24780x-3600图象的对称轴为直线x= 780 13 2×(-30 a=30<0,∴抛物线开口向下,当x≥15时,v随x的增大而减小, ∴当x=15时,w最大=1350.∴当销售单价为15元时, 销售这批许愿瓶可获得最大利润为1350元 c解题归纳】函数图象上的点在同一直线上则此函数是一次函数利用待定系 数法即可求出函数解析式
故y与x 之间的函数关系式为y=-30x+600, 解:(1)y是x的一次函数,设y=kx+b， 10 300, 12 240, k b k b + = + = ( ) 780 2 30 − ∵图象过点(10,300),(12,240)， ∴ 解得 30, 600. k b = − = 当x=14时,y=180;当x=16时,y=120， 即点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+600的图象上. ∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600. (2)w=(x-6)(-30x+600)=-30x 2+780x-3600, 即w与x之间的函数关系式为w=-30x 2+780x-3600. (3)由题意得6(-30x+600)≤900,解得x≥15， 函数w=-30x 2+780x-3600图象的对称轴为直线x= - =13, ∵a=-30<0, ∴抛物线开口向下,当x≥15时,w随x的增大而减小, ∴当x=15时,w最大=1350. ∴当销售单价为15元时， 销售这批许愿瓶可获得最大利润,为1350元. 【解题归纳】 函数图象上的点在同一直线上,则此函数是一次函数,利用待定系 数法即可求出函数解析式
·针对性训练 2某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A种产品所获利润 y4(万元与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表: x万元)122535 y万元)04081122 信息二:如果单独投资B种产品则所获利润vg万元与投资金额x(万元之间存 在二次函数关系1x2+bx,且投资2万元时获利润24万元当投资4万元时可获 利润3.2万元 (1)求出y与x的函数关系式; (2)从所学过的一次函数、二次函数中确定哪种函数能表示与x之间的关系, 并求出y1与x的函数关系式; (3)如果企业同时对AB两种产品共投资15万元请设计一个能获得最大利润的 投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少
2.某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A种产品,所获利润 yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表: 信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存 在二次函数关系:yB=ax2+bx,且投资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获 利润3.2万元. (1)求出yB与x的函数关系式; (2)从所学过的一次函数、二次函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系, 并求出yA与x的函数关系式; (3)如果企业同时对A,B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的 投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少. x(万元) 1 2 2.5 3 5 yA (万元) 0.4 0.8 1 1.2 2
解:(1)由题意将2,424,32)代入函数关系式vB=x2+bx, 得 4a+2b=24, 解得 0.2, 16a+4b=3.2. b=1.6 ∴yg与x的函数关系式为yr=0,2x2+6x (2)根据表格中的对应值可以确定为一次函数故设函数关系式为Akx+m, k+m=0.4. 将(1,0.4)(2,08代入,得 解得k=04 2k+m=0.8 则yA=04经检验符合题意 (3)设投资B种产品x万元投资A种产品(15x)万元,总利润为W万元, W=-0.2x2+16x+0.4(15-x)=-0.2(x-3)2+7.8, 故投资B种产品3万元4种产品12万元时所获总利润最大,为78万元
解:(1)由题意将(2,2.4),(4,3.2)代入函数关系式yB=ax2+bx， 4 2 2.4, 16 4 3.2, a b a b + = + = 0.2, 1.6, a b = − = 得 解得 ∴yB与x的函数关系式为yB=-0.2x 2+1.6x. (2)根据表格中的对应值可以确定为一次函数,故设函数关系式为yA=kx+m, 得 解得 则yA=0.4x.经检验,符合题意 (3)设投资B种产品x万元,投资A种产品(15-x)万元,总利润为W万元， W= - 0.2x 2+1.6x+0.4(15-x)= - 0.2(x-3)2+7.8, 故投资B种产品3万元,A种产品12万元时所获总利润最大,为7.8万元. 0.4, 2 0.8, k m k m + = + = 0.4, 0. k m = = 将(1,0.4)(2,0.8)代入