人教版九年级数学上册2.3实际问题与二次函数同步练习题 选择题(共10小题) 1.二次函数y=-x2-8x+c的最大值为0,则c的值等于() 2.二次函数y=ax2+bx+a(a≠0)的最大值是零,则代数式4ab二化简结果为( 4a 3.已知一个三角形的面积S与底边x的关系是S=x2-2x+6,要使S有最小值,则x的值为 4.已知:抛物线y=x2-6x+c的最小值为1,那么c的值是( 5.在半径为4的圆中,挖去一个边长为xm的正方形,剩下部分面积为ym2,则关于y与 x之间函数关系式为() y 6.已知正方形ABCD,设AB=x,则正方形的面积y与x之间的函数关系式为() y 7.某产品进货单价为9元,按10一件售出时,能售100件,如果这种商品每涨价1元,其 销售量就减少10件,设每件产品涨x元,所获利润为y元,可得函数关系式为() y=-10x2+110x+10 B.y=-10x2+100x C.y=-10x2+100x+10 D.y=-10x2+90x+100 8.某乡镇企业现在年产值是15万元,如果每增加100元投资,一年增加250元产值,那么 总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为() 2.5x+1.5 9.用长为12m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,则做成的窗框的最大透光面 积为() C.12m2
人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数同步练习题 一．选择题（共 10 小题） 1．二次函数 y＝﹣x 2﹣8x+c 的最大值为 0，则 c 的值等于（ ） A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16 2．二次函数 y＝ax2+bx+a（a≠0）的最大值是零，则代数式|a|+ 化简结果为（ ） A．a B．1 C．﹣a D．0 3．已知一个三角形的面积 S 与底边 x 的关系是 S＝x 2﹣2x+6，要使 S 有最小值，则 x 的值为 （ ） A．1 B．2 C．﹣1 D．5 4．已知：抛物线 y＝x 2﹣6x+c 的最小值为 1，那么 c 的值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．在半径为 4 的圆中，挖去一个边长为 xcm 的正方形，剩下部分面积为 ycm2，则关于 y 与 x 之间函数关系式为（ ） A．y＝πx 2﹣4x B．y＝16π﹣x 2 C．y＝16﹣x 2 D．y＝x 2﹣4x 6．已知正方形 ABCD，设 AB＝x，则正方形的面积 y 与 x 之间的函数关系式为（ ） A．y＝4x B．y＝x 2 C．x＝ D． 7．某产品进货单价为 9 元，按 10 一件售出时，能售 100 件，如果这种商品每涨价 1 元，其 销售量就减少 10 件，设每件产品涨 x 元，所获利润为 y 元，可得函数关系式为（ ） A．y＝﹣10x 2+110x+10 B．y＝﹣10x 2+100x C．y＝﹣10x 2+100x+110 D．y＝﹣10x 2+90x+100 8．某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么 总产值 y（万元）与新增加的投资额 x（万元）之间函数关系为（ ） A．y＝25x+15 B．y＝2.5x+1.5 C．y＝2.5x+15 D．y＝25x+1.5 9．用长为 12m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面 积为（ ） A．4m2 B．6m2 C．12m2 D．16m2
10.直角三角形两直角边之和为定值,其面积S与一直角边x之间的函数关系大致图象是下 列中的( 填空题(共7小题) 1l.若二次函数y=kx2+k2-3有最大值1,则k的值是 12.二次函数y=2x2-2x+6的最小值是 13.一根长为40cm的铁丝,把它弯成一个矩形框,设矩形的长为xm,矩形的面积为y(cm2), 试写出y与x的函数关系式 (注意标注自变量x的取值范围) 14.正方形的边长是x,面积是A,请写出A与x的关系式 它与y=x2的图象有 什么不同? 5.你知道吗?平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线,如图,正在 甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距 甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处,绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生 丙的身高1.5m,则学生丁的身高为 m(建立的平面直角坐标系如图所示) 16.周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形(这个等边三角形的一边是矩形的宽), 则矩形宽为 cm,长为 cm时,剩下的面积最大,这个最大面积是 17.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的图象与函数y=-x2+6x的图象交于y 点,则
10．直角三角形两直角边之和为定值，其面积 S 与一直角边 x 之间的函数关系大致图象是下 列中的（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共 7 小题） 11．若二次函数 y＝kx2+k 2﹣3 有最大值 1，则 k 的值是 ． 12．二次函数 y＝2x 2﹣2x+6 的最小值是 ． 13．一根长为 40cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形的长为 xcm，矩形的面积为 y（cm2）， 试写出 y 与 x 的函数关系式： ．（注意标注自变量 x 的取值范围） 14．正方形的边长是 x，面积是 A，请写出 A 与 x 的关系式： ．它与 y＝x 2 的图象有 什么不同？ ． 15．你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线，如图，正在 甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为 4m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距 甲拿绳的手水平距离 1m、2.5m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生 丙的身高 1.5m，则学生丁的身高为 m（建立的平面直角坐标系如图所示）． 16．周长为 13cm 的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽）， 则矩形宽为 cm，长为 cm 时，剩下的面积最大，这个最大面积是 ． 17．已知二次函数 y＝x 2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3 的图象与函数 y＝﹣x 2+6x 的图象交于 y 轴一点，则 m＝ ．
三.解答题(共8小题) 18.y=-2x2+4x+1,且2≤x≤4,求y的最大值,如有最小值,再求出最小值 19.如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉放置. (1)求证:重叠部分的图形是菱形 (2)求重叠部分图形的周长的最大值和最小值 (要求画图、推理、计算) 20.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径r之间 的函数关系式,这个函数是二次函数吗?请写出半径r的取值范围 21.如图,某涵洞的截面是抛物线的一部分,现水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距 离为24m,求涵洞所在抛物线的解析式 F:: 22.学开车的人不仅需要熟悉交通规则、掌握驾驶要领,还要掌握为使车子停止前进而刹车 后汽车继续滑行的距离.资料显示,当路况良好、路面于燥时,刹车后汽车滑行的距离 与车速之间的对应关系如表所示: 车速(km/h) 滑行距离 22.5 52.5 (1)绘制汽车滑行的距离s(单位:m)相对于车速v(单位:km/h)的图象 (2)证明汽车滑行的距离s(单位:m)及车速v(单位:km/h)之间有如下的关系
三．解答题（共 8 小题） 18．y＝﹣2x 2+4x+1，且 2≤x≤4，求 y 的最大值，如有最小值，再求出最小值． 19．如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉放置． （1）求证：重叠部分的图形是菱形； （2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值． （要求画图、推理、计算） 20．用一根长为 40cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 r 之间 的函数关系式，这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围． 21．如图，某涵洞的截面是抛物线的一部分，现水面宽 AB＝1.6m，涵洞顶点 O 到水面的距 离为 2.4m，求涵洞所在抛物线的解析式． 22．学开车的人不仅需要熟悉交通规则、掌握驾驶要领，还要掌握为使车子停止前进而刹车 后汽车继续滑行的距离．资料显示，当路况良好、路面于燥时，刹车后汽车滑行的距离 与车速之间的对应关系如表所示： 车速（km/h） 48 64 80 96 112 滑行距离 （m） 22.5 36 52.5 72 94.5 （1）绘制汽车滑行的距离 s（单位：m）相对于车速 v（单位：km/h）的图象． （2）证明汽车滑行的距离 s（单位：m）及车速 v（单位：km/h ）之间有如下的关系：
16512 (3)利用以上信息估计上表所未填出的车速及所对应的汽车滑行的距离. (4)在路况不良时,表中的滑行距离须分别修正为45,72,105,144及189m,在这种 情况下,(2)中的函数关系应如何调整? 23.如图,一位运动员推铅球,铅球运行高度ym与水平距离xm之间的函数关系式是y= 、123x+5.间:此运动员能把铅球推出多远? 24.如图,一元二次方程x2+2x-3=0的两根x,x2(x1<2)是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点C,B的横坐标,且此抛物线过点A(3,6) (1)求此二次函数的解析式 (2)设此抛物线的顶点为P,对称轴与线段AC相交于点G,则P点坐标为 点坐标为 (3)在x轴上有一动点M,当MG+MA取得最小值时,求点M的坐标 A(3,6) 25.如图,抛物线y=-x2+4x-3与坐标轴交与A、B、C三点,点M在线段BC上,将线 段OM绕O点逆时针旋转90°,点M的对应点N恰好落在第一象限的抛物线上,求N 点的坐标
s＝ v （3）利用以上信息估计上表所未填出的车速及所对应的汽车滑行的距离． （4）在路况不良时，表中的滑行距离须分别修正为 45，72，105，144 及 189m，在这种 情况下，（2）中的函数关系应如何调整？ 23．如图，一位运动员推铅球，铅球运行高度 y m 与水平距离 x m 之间的函数关系式是 y＝ ﹣ x 2+ x+ ．问：此运动员能把铅球推出多远？ 24．如图，一元二次方程 x 2+2x﹣3＝0 的两根 x1，x2（x1＜x2）是抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点 C，B 的横坐标，且此抛物线过点 A（3，6）． （1）求此二次函数的解析式； （2）设此抛物线的顶点为 P，对称轴与线段 AC 相交于点 G，则 P 点坐标为 ，G 点坐标为 ； （3）在 x 轴上有一动点 M，当 MG+MA 取得最小值时，求点 M 的坐标． 25．如图，抛物线 y＝﹣x 2+4x﹣3 与坐标轴交与 A、B、C 三点，点 M 在线段 BC 上，将线 段 OM 绕 O 点逆时针旋转 90゜，点 M 的对应点 N 恰好落在第一象限的抛物线上，求 N 点的坐标．
人教版九年级数学上册23实际问题与二次函数同步练习题 参考答案 选择题(共10小题) 1.二次函数y=-x2-8x+c的最大值为0,则c的值等于( C.-16 解答】解:y=-x2-8x+c=-(x ∵最大值为0, 解得c=-16 故选:C 2.二次函数y=ax2+bx+a(a≠0)的最大值是零,则代数式a4ab二化简结果为 4 【解答】解:因为函数的最大值是0, 所以 4 0 故选:C 3.已知一个三角形的面积S与底边x的关系是S=x2-2x+6,要使S有最小值,则x的值为 解答】 2 ∴当x=1时,S有最小值5 故选:A 4.已知:抛物线y=x2-6x+c的最小值为1,那么c的值是( C.8 【解答】解:因为二次函数y=x2-6x+c的最小值为1, 所以 解得c=10
人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数同步练习题 参考答案 一．选择题（共 10 小题） 1．二次函数 y＝﹣x 2﹣8x+c 的最大值为 0，则 c 的值等于（ ） A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16 【解答】解：y＝﹣x 2﹣8x+c＝﹣（x﹣4）2+16+c， ∵最大值为 0， ∴16+c＝0， 解得 c＝﹣16． 故选：C． 2．二次函数 y＝ax2+bx+a（a≠0）的最大值是零，则代数式|a|+ 化简结果为（ ） A．a B．1 C．﹣a D．0 【解答】解：因为函数的最大值是 0， 所以 ＝0， 则|a|+ ＝|a|＝﹣a． 故选：C． 3．已知一个三角形的面积 S 与底边 x 的关系是 S＝x 2﹣2x+6，要使 S 有最小值，则 x 的值为 （ ） A．1 B．2 C．﹣1 D．5 【解答】解：∵S＝x 2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5， ∴当 x＝1 时，S 有最小值 5． 故选：A． 4．已知：抛物线 y＝x 2﹣6x+c 的最小值为 1，那么 c 的值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【解答】解：因为二次函数 y＝x 2﹣6x+c 的最小值为 1， 所以 ＝ ＝1， 解得 c＝10．
故选 5.在半径为4的圆中,挖去一个边长为xCm的正方形,剩下部分面积为ym2,则关于y与 x之间函数关系式为() x2C.y=16-x2 【解答】解:圆面积是16π,正方形面积是x2, 则函数关系式是:y=16m-x2 故选:B. 6.已知正方形ABCD,设AB=x,则正方形的面积y与x之间的函数关系式为( 【解答】解:由正方形面积公式得: 故选:B 7.某产品进货单价为9元,按10一件售出时,能售100件,如果这种商品每涨价1元,其 销售量就减少10件,设每件产品涨x元,所获利润为y元,可得函数关系式为() A.y=-10x2+110x+10 10x2+100x C.y=-10x2+100x+110 D.y=-10x2+90x+100 【解答】解:由题意,得 y=(10+x-9)(100-10x), 10x2+90x+100 故选:D 8.某乡镇企业现在年产值是15万元,如果每增加100元投资,一年增加250元产值,那么 总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为() A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 5 【解答】解:新增加的投资额x万元, 则增加产值 25 万元 100 这函数关系式是:y=2.5x+15 故选:C 9.用长为12m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,则做成的窗框的最大透光面 积为()
故选：A． 5．在半径为 4 的圆中，挖去一个边长为 xcm 的正方形，剩下部分面积为 ycm2，则关于 y 与 x 之间函数关系式为（ ） A．y＝πx 2﹣4x B．y＝16π﹣x 2 C．y＝16﹣x 2 D．y＝x 2﹣4x 【解答】解：圆面积是 16π，正方形面积是 x 2， 则函数关系式是：y＝16π﹣x 2． 故选：B． 6．已知正方形 ABCD，设 AB＝x，则正方形的面积 y 与 x 之间的函数关系式为（ ） A．y＝4x B．y＝x 2 C．x＝ D． 【解答】解：由正方形面积公式得： y＝x 2． 故选：B． 7．某产品进货单价为 9 元，按 10 一件售出时，能售 100 件，如果这种商品每涨价 1 元，其 销售量就减少 10 件，设每件产品涨 x 元，所获利润为 y 元，可得函数关系式为（ ） A．y＝﹣10x 2+110x+10 B．y＝﹣10x 2+100x C．y＝﹣10x 2+100x+110 D．y＝﹣10x 2+90x+100 【解答】解：由题意，得 y＝（10+x﹣9）（100﹣10x）， y＝﹣10x 2+90x+100． 故选：D． 8．某乡镇企业现在年产值是 15 万元，如果每增加 100 元投资，一年增加 250 元产值，那么 总产值 y（万元）与新增加的投资额 x（万元）之间函数关系为（ ） A．y＝25x+15 B．y＝2.5x+1.5 C．y＝2.5x+15 D．y＝25x+1.5 【解答】解：新增加的投资额 x 万元， 则增加产值 万元． 这函数关系式是：y＝2.5x+15． 故选：C． 9．用长为 12m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面 积为（ ）
A.4m2 C.12m2 【解答】解:设窗框的长为x, ∴宽为12-2 12-2 2 <0 有最大值,即:ya大=4ac-b2 -16 (2)×4 故选:B. 10.直角三角形两直角边之和为定值,其面积S与一直角边x之间的函数关系大致图象是下 列中的() 【解答】解:设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a 根据三角形面积公式则有: 以上是二次函数的表达式,图象是一条抛物线,故选B 填空题(共7小题)
A．4m2 B．6m2 C．12m2 D．16m2 【解答】解：设窗框的长为 x， ∴宽为 ， ∴y＝ x， 即 y＝﹣ x 2+4x， ∵ ＜0 ∴y 有最大值，即：y 最大＝ ＝ ＝6m2． 故选：B． 10．直角三角形两直角边之和为定值，其面积 S 与一直角边 x 之间的函数关系大致图象是下 列中的（ ） A． B． C． D． 【解答】解：设直角三角形两直角边之和为 a，其中一直角边为 x，则另一直角边为（a ﹣x）． 根据三角形面积公式则有： y＝ ax﹣ x 2， 以上是二次函数的表达式，图象是一条抛物线，故选 B． 二．填空题（共 7 小题）
1l.若二次函数y=kx2+k2-3有最大值1,则k的值是 【解答】解:∵二次函数y=kx2+k2-3有最大值1, k0,20-x>0,20-x≤x 解得10≤x<20. 故答案为:y=-x2+20x(10≤x<20) 14.正方形的边长是x,面积是A,请写出A与x的关系式:A=x2它与y=x2的图象 有什么不同?它与y=2的图象完全一样_ 【解答】解:∵正方形的边长是x,面积是A ,A与x的关系式为:A=x2 ∴它与y=x2的图象完全一样. 故答案为:A=x2,它与y=x2的图象完全一样 15.你知道吗?平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线,如图,正在 甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距 甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处,绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生 丙的身高15m,则学生丁的身高为一8一m(建立的平面直角坐标系如图所示
11．若二次函数 y＝kx2+k 2﹣3 有最大值 1，则 k 的值是 ﹣2 ． 【解答】解：∵二次函数 y＝kx2+k 2﹣3 有最大值 1， ∴k＜0，k 2﹣3＝1， 解得，k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 12．二次函数 y＝2x 2﹣2x+6 的最小值是 ． 【解答】解：y＝2x 2﹣2x+6＝2（x 2﹣x）+6 ＝2（x﹣ ）2+ ， 可见，二次函数的最小值为 ． 故答案为 ． 13．一根长为 40cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形的长为 xcm，矩形的面积为 y（cm2）， 试写出 y 与 x 的函数关系式： y＝﹣x 2+20x（10≤x＜20） ．（注意标注自变量 x 的取 值范围） 【解答】解：矩形的另一边长是：（20﹣x）cm；则面积 y＝x（20﹣x）＝﹣x 2+20x， 根据线段为正值可得到：x＞0，20﹣x＞0，20﹣x≤x， 解得 10≤x＜20． 故答案为：y＝﹣x 2+20x（10≤x＜20）． 14．正方形的边长是 x，面积是 A，请写出 A 与 x 的关系式： A＝x 2 ．它与 y＝x 2 的图象 有什么不同？ 它与 y＝x 2 的图象完全一样 ． 【解答】解：∵正方形的边长是 x，面积是 A， ∴A 与 x 的关系式为：A＝x 2， ∴它与 y＝x 2 的图象完全一样． 故答案为：A＝x 2，它与 y＝x 2 的图象完全一样． 15．你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线，如图，正在 甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为 4m，距地面均为 1m，学生丙、丁分别站在距 甲拿绳的手水平距离 1m、2.5m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生 丙的身高 1.5m，则学生丁的身高为 m（建立的平面直角坐标系如图所示）．
△ 【解答】解:设所求的函数的解析式为y=ax2+bx+c, 由已知,函数的图象过(-1,1),(0,1.5),(3,1)三点, 易求其解析式为y= 二x+ 丁头顶的横坐标为1.5 ∴代入其解析式可求得其纵坐标为13m 16.周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形(这个等边三角形的一边是矩形的宽), 则矩形宽为_4~3cm,长为_5+3_cm时,剩下的面积最大,这个最大面积是 【解答】解:设矩形的宽为x,长为(13-x), 则剪去三角形后剩下的面积为(13-x)x-1x:y3x 经整理,得:y 4 当x=b=4-√时,y取得最大值,y大=13(4-√3, 此时长为(5+√3) 17.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3的图象与函数y=-x2+6x的图象交于y 轴一点,则m=-1或3 【解答】解:依题意,在y=-x2+6x中,x=0时,y=0: 在y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3中, x=0时 n2-2m-3=0 即m2-2m-3=0,解得m=-1或3. 解谷题(共8小题) 18.y=-2x2+4x+1,且2≤x≤4,求y的最大值,如有最小值,再求出最小值. 【解答】解:当x=2时,y=1
【解答】解：设所求的函数的解析式为 y＝ax2+bx+c， 由已知，函数的图象过（﹣1，1），（0，1.5），（3，1）三点， 易求其解析式为 y＝﹣ x 2+ x+ ， ∵丁头顶的横坐标为 1.5， ∴代入其解析式可求得其纵坐标为 m． 16．周长为 13cm 的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽）， 则矩形宽为 cm，长为 cm 时，剩下的面积最大，这个最大面积是 （4﹣ ） ． 【解答】解：设矩形的宽为 x，长为（ ﹣x）， 则剪去三角形后剩下的面积为（ ﹣x）x﹣ x• x， 经整理，得：y＝ x 2+ x， 当 x＝ ＝4﹣ 时，y 取得最大值，y 最大＝ （4﹣ ）， 此时长为（ + ）． 17．已知二次函数 y＝x 2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3 的图象与函数 y＝﹣x 2+6x 的图象交于 y 轴一点，则 m＝ ﹣1 或 3 ． 【解答】解：依题意，在 y＝﹣x 2+6x 中，x＝0 时，y＝0； 在 y＝x 2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3 中， x＝0 时，y＝m2﹣2m﹣3＝0； 即 m2﹣2m﹣3＝0，解得 m＝﹣1 或 3． 三．解答题（共 8 小题） 18．y＝﹣2x 2+4x+1，且 2≤x≤4，求 y 的最大值，如有最小值，再求出最小值． 【解答】解：当 x＝2 时，y＝1
当x=2时,y=-15, 又∵y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3 ∴x=1时,y最大值=3, 综上所述若2≤x≤4时,y=-2x2+4x+1的最大值是1、最小值是-15 19.如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉放置 (1)求证:重叠部分的图形是菱形 (2)求重叠部分图形的周长的最大值和最小值 (要求画图、推理、计算) 【解答】(1)证明:过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F, ∵两条纸条宽度相同(对边平行), AB∥CD,AD∥BC,AE=AF, 四边形ABCD是平行四边形, ∵ SEABED=BC·AE=CD·AF, 又∵AE=AF ∴BC=CD ∴四边形ABCD是菱形 (2)解:当两张纸条如图所示放置时,菱形周长最大,设这时菱形的边长为xcm, 由勾股定理:x2=(8-x)2+2, :4x=17 即菱形的最大周长为17m 当两张纸条如图所示放置时,即是正方形时取得最小值为:2×4=8
当 x＝2 时，y＝﹣15， 又∵y＝﹣2x 2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3． ∴x＝1 时，y 最大值＝3， 综上所述若 2≤x≤4 时，y＝﹣2x 2+4x+1 的最大值是 1、最小值是﹣15． 19．如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉放置． （1）求证：重叠部分的图形是菱形； （2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值． （要求画图、推理、计算） 【解答】（1）证明：过点 A 作 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F， ∵两条纸条宽度相同（对边平行）， ∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， 又∵AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴四边形 ABCD 是菱形； （2）解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为 xcm， 由勾股定理：x 2＝（8﹣x）2+22， 得：4x＝17， 即菱形的最大周长为 17cm． 当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4＝8．