223实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积 01基础题 知识点二次函数与图形面积 1·如图,利用一面墙(墙的长度不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地.当AD 20m时,矩形场地的面积最大,最大值为800m2 2·如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB向B 点以2cms的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1cms的速度移动,如果P,Q 分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2 3·将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形 则这两个正方形面积之和的最小值是25m 4·已知矩形的周长为6,设矩形的一边长为x,它的面积为y写出y与x的函数关系式,并 求出当x为何值时矩形的面积最大? 解:矩形的另一边长为3-x,则y与x的函数关系式为y=x3-x) 整理,得y=-x2+3x=-(x-32+2 0<x<3, ∴当ⅹ=时’矩形的面积最大’其最大值 5·(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体,抽屉底面周 长为180cm,高为20cm请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大? 最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计 180 解:根据题意,得y=2x 整理,得y=-20x2+1800x=-20(x2-90x+2025)+40500=-20x-45)2+40500 ∵-20<0 当x=45时,函数有最大值,y最大值=40500 即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cn
22.3 实际问题与二次函数 第 1 课时 二次函数与图形面积 01 基础题 知识点 二次函数与图形面积 1.如图,利用一面墙(墙的长度不超过 45 m),用 80 m 长的篱笆围一个矩形场地.当 AD= 20_m 时,矩形场地的面积最大,最大值为 800_m2 . 2.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 点以 2 cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以 1 cm/s 的速度移动,如果 P,Q 分别从 A,B 同时出发,当△PBQ 的面积为最大时,运动时间 t 为 2s. 3.将一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形, 则这两个正方形面积之和的最小值是25 2 cm2 . 4.已知矩形的周长为 6,设矩形的一边长为 x,它的面积为 y.写出 y 与 x 的函数关系式,并 求出当 x 为何值时矩形的面积最大? 解:矩形的另一边长为 3-x,则 y 与 x 的函数关系式为 y=x(3-x)=-x 2+3x(0<x<3). 整理,得 y=-x 2+3x=-(x- 3 2 ) 2+ 9 4 . ∵0<x<3, ∴当 x= 3 2 时,矩形的面积最大,其最大值为9 4 . 5.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体,抽屉底面周 长为 180 cm,高为 20 cm.请通过计算说明,当底面的宽 x 为何值时,抽屉的体积 y 最大? 最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计) 解:根据题意,得 y=20x(180 2 -x). 整理,得 y=-20x2+1 800x=-20(x2-90x+2 025)+40 500=-20(x-45)2+40 500. ∵-20<0, ∴当 x=45 时,函数有最大值,y 最大值=40 500. 即当底面的宽为 45 cm 时,抽屉的体积最大,最大为 40 500 cm3
6·手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积是多少? 解:(1)S x2+30x. (2)∵S=-x2+30X=-3(x-30)2+450, 且 ∴当x=30时,S有最大值,最大值为450 即当x为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cm2 02中档题 7·如图,在R1△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,点P是AB边上的一个动 点,过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,当PB=6cm时,四边形PECF的面积最 大,最大值为g3cm2 8·(成都中考)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长), 用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm (1)若花园的面积为192m2,求x的值 2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内 (含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值 解:(1)由题意得x(28-x)=192, 解得x1=12,x2=16 x=12或16 (2)S=x(28-x)=-(x-14)2+196 x≥6, 由题意知 解得6≤x≤13 ∴在6≤x≤13范围内,S随ⅹ的增大而增大 ∴当ⅹ=13时,S最大=-(13-14)2+196=195(m2)
6.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60 cm,菱形的面积 S(单位:cm2 )随其中一条对角线的长 x(单位:cm)的变化而变化. (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围); (2)当 x 是多少时,菱形风筝面积 S 最大?最大面积是多少? 解:(1)S=- 1 2 x 2+30x. (2)∵S=- 1 2 x 2+30x=- 1 2 (x-30)2+450, 且 a=- 1 2 <0, ∴当 x=30 时,S 有最大值,最大值为 450. 即当 x 为 30 cm 时,菱形风筝的面积最大,最大面积是 450 cm2 . 02 中档题 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB=12 cm,点 P 是 AB 边上的一个动 点,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥AC 于点 F,当 PB=6_cm 时,四边形 PECF 的面积最 大,最大值为 9 3_cm2 . 8.(成都中考)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长), 用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB,BC 两边),设 AB=x m. (1)若花园的面积为 192 m2,求 x 的值; (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD,AD 的距离分别是 15 m 和 6 m,要将这棵树围在花园内 (含边界,不考虑树的粗细),求花园面积 S 的最大值. 解:(1)由题意得 x(28-x)=192, 解得 x1=12,x2=16. ∴x=12 或 16. (2)S=x(28-x)=-(x-14)2+196. 由题意知 x≥6, 28-x≥15, 解得 6≤x≤13. ∴在 6≤x≤13 范围内,S 随 x 的增大而增大. ∴当 x=13 时,S 最大=-(13-14)2+196=195(m2 ).
答:花园面积S的最大值为195m2 9·(淮安中考)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x米,面积为 y平方米 (1)求y关于x的函数关系式 (2)当x为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米? (3)能否围成面积为筲平方米的养鸡场?如果能’请求出其边长;如果不能’请说明理 解:(l)y=x(16-x)=-x2+16x(02cm,PM与BC均在直线1上,开始时M点与B点重合,将三角板向右平行移动 直至M点与C点重合为止.设BM=xCcm,三角板与正方形重叠部分的面积为ycm2 下列结论 ①当0≤X≤3时,y与x之间的函数关系式为y=2 ②当3x≤2时,y与x之间的函数关系式为y ③当MN经过AB的中点时,y=y2cm2 ④存在x的值,使y=S垂方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)
答:花园面积 S 的最大值为 195 m2 . 9.(淮安中考)用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为 x 米,面积为 y 平方米. (1)求 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,围成的养鸡场面积为 60 平方米? (3)能否围成面积为 70 平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理 由. 解:(1)y=x(16-x)=-x 2+16x(0<x<16). (2)当 y=60 时,-x 2+16x=60, 解得 x1=10,x2=6. ∴当 x=10 或 6 时,围成的养鸡场的面积为 60 平方米. (3)不能.理由: 当 y=70 时,-x 2+16x=70,整理得 x 2-16x+70=0. ∵Δ=256-280=-24<0, ∴此方程无实数根. ∴不能围成面积为 70 平方米的养鸡场. 03 综合题 10.(朝阳中考)如图,正方形 ABCD 的边长为 2 cm,△PMN 是一块直角三角板(∠N=30°), PM>2 cm,PM 与 BC 均在直线 l 上,开始时 M 点与 B 点重合,将三角板向右平行移动, 直至 M 点与 C 点重合为止.设 BM=x cm,三角板与正方形重叠部分的面积为 y cm2 . 下列结论: ①当 0≤x≤ 2 3 3时,y 与 x 之间的函数关系式为 y= 3 2 x 2 ; ②当 2 3 3<x≤2 时,y 与 x 之间的函数关系式为 y=2x- 2 3 3; ③当 MN 经过 AB 的中点时,y= 3 2 cm2 ; ④存在 x 的值,使 y= 1 2 S 正方形 ABCD(S 正方形 ABCD 表示正方形 ABCD 的面积). 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号).
第2课时二次函数与商品利润 01基础题 知识点销售中的最大利润 1·一台机器原价60万元,如果每年的折旧率为x,两年后这台机器的价位为y万元,则y 关于x的函数关系式为(4) B.y=60(1-x2) D.y=60(+x)2 2·一件工艺品进价为100元’标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,该件 工艺品每降价1元出售·则每天可多售出4件要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱 数为(A) A·5元 B.10元 D.6元 3(沈阳中考)某种商品每件进价为20元调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30 且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为25元 4·(毕节中考)某工厂生产的某种产品按产量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品 天能生产95件产品,每件利润6元(第一档).每提高一个档次,每件利润增加2元,但 天产量减少5件 (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y 关于x的函数关系式 2若生产第ⅹ档次的产品一天的总利润为1120元,求该产品的质量档次 解:(1y=[6+2(x-1)×[95-5(x-1) 整理,得y=-10x2+180x+400 (2)由-10x2+180x+400=1120,化简,得 x2-18x+72=0 解得x1=6,x2=12(不合题意,舍去) 该产品为第6档次的产品 5·(玉林中考)某超市对进货价为10元/千克的某品种苹果的销售情况进行统计,发现每天销 售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系,如图. (1)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围) (2)应怎样确定销售价’使该品种苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少? d0元千 解:(1)设y=kx+b,由(20,20)(30,0)两点代入得 ∫20k+b=20 30k+b=0 解得
第 2 课时 二次函数与商品利润 01 基础题 知识点 销售中的最大利润 1.一台机器原价 60 万元,如果每年的折旧率为 x,两年后这台机器的价位为 y 万元,则 y 关于 x 的函数关系式为(A) A.y=60(1-x)2 B.y=60(1-x 2 ) C.y=60-x 2 D.y=60(1+x)2 2.一件工艺品进价为 100 元,标价 135 元售出,每天可售出 100 件.根据销售统计,该件 工艺品每降价 1 元出售,则每天可多售出 4 件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱 数为(A) A.5 元 B.10 元 C.0 元 D.6 元 3.(沈阳中考)某种商品每件进价为 20 元,调查表明:在某段时间内若以每件 x 元(20≤x≤30, 且 x 为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 25 元. 4.(毕节中考)某工厂生产的某种产品按产量分为 10 个档次,第 1 档次(最低档次)的产品一 天能生产 95 件产品,每件利润 6 元(第一档).每提高一个档次,每件利润增加 2 元,但一 天产量减少 5 件. (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数,且 1≤x≤10),求出 y 关于 x 的函数关系式; (2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1 120 元,求该产品的质量档次. 解:(1)y=[6+2(x-1)]×[95-5(x-1)], 整理,得 y=-10x2+180x+400. (2)由-10x2+180x+400=1 120,化简,得 x 2-18x+72=0. 解得 x1=6,x2=12(不合题意,舍去). ∴该产品为第 6 档次的产品. 5.(玉林中考)某超市对进货价为 10 元/千克的某品种苹果的销售情况进行统计,发现每天销 售量 y(千克)与销售价 x(元/千克)存在一次函数关系,如图. (1)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围); (2)应怎样确定销售价,使该品种苹果的每天销售利润最大?最大利润是多少? 解:(1)设 y=kx+b,由(20,20),(30,0)两点代入得 20k+b=20, 30k+b=0. 解得 k=-2, b=60
y关于x的函数关系式是y=-2x+60 (2)设每天利润为w元 则w=(x-10y =(x-10(-2x+60) 2x2+80x-600 当ⅹ=20时,w取得最大值 ∵.当销售价为20元时,该品种苹果的每天销售利润最大,为200元 02中档题 6·喜迎圣诞,某商店销售一种进价为50元/件的商品,售价为60元/件,每星期可卖出200 件,若每件商品的售价每上涨1元,则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x 元(x为正整数),每星期销售该商品的利润为y元,则y与x的函数关系式为(4) A·y=-10x2+100x+200 B·y=10x2+100x+2000 C·y=-10x2+200x D·y=-10x2-100x+2000 7·出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x=3元时,一天出售该 种文具盒的总利润最大 8·(红河期末)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 5元’市场调査发现’若每箱以50元的价格出售’平均每天销售90箱·价格每提高1元, 平均每天少销售3箱 (1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元箱)之间的函数关系式 (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式 (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 解:(1)由题意,得y=90-3(x-50), 即y=-3x+240. (2)由题意,得w=(x-40)y (x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600 w=-3x2+360x-9600 抛物线开口向下 当x=-=60时,w有最大值 又∵x<60,w随x的增大而增大 ∴当ⅹ=55元时,w的最大值为1125元 当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得1125元的最大利润 综合题 9·(茂名中考)某公司生产的某种产品每件成本为40元,经市场调查整理出如下信息 ①该产品90天内日销售量(m件)与时间第x天)满足一次函数关系,部分数据如下表: 时间(第x天) 日销售量(m件 l98194188180
∴y 关于 x 的函数关系式是 y=-2x+60. (2)设每天利润为 w 元, 则 w=(x-10)y =(x-10)(-2x+60) =-2x2+80x-600 =-2(x-20)2+200. ∴当 x=20 时,w 取得最大值. ∴当销售价为 20 元时,该品种苹果的每天销售利润最大,为 200 元. 02 中档题 6.喜迎圣诞,某商店销售一种进价为 50 元/件的商品,售价为 60 元/件,每星期可卖出 200 件,若每件商品的售价每上涨 1 元,则每星期就会少卖出 10 件.设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数),每星期销售该商品的利润为 y 元,则 y 与 x 的函数关系式为(A) A.y=-10x2+100x+2 000 B.y=10x2+100x+2 000 C.y=-10x2+200x D.y=-10x2-100x+2 000 7.出售某种文具盒,若每个获利 x 元,一天可售出(6-x)个,则当 x=3 元时,一天出售该 种文具盒的总利润最大. 8.(红河期末)某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于 55 元,市场调查发现,若每箱以 50 元的价格出售,平均每天销售 90 箱,价格每提高 1 元, 平均每天少销售 3 箱. (1)求平均每天销售量 y(箱)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售价 x(元/箱)之间的函数关系式; (3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 解:(1)由题意,得 y=90-3(x-50), 即 y=-3x+240. (2)由题意,得 w=(x-40)y =(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600. (3)w=-3x2+360x-9 600. ∵a=-3<0, ∴抛物线开口向下. 当 x=- b 2a=60 时,w 有最大值. 又∵x<60,w 随 x 的增大而增大. ∴当 x=55 元时,w 的最大值为 1 125 元. ∴当每箱苹果的销售价为 55 元时,可以获得 1 125 元的最大利润. 03 综合题 9.(茂名中考)某公司生产的某种产品每件成本为 40 元,经市场调查整理出如下信息: ①该产品 90 天内日销售量(m 件)与时间(第 x 天)满足一次函数关系,部分数据如下表: 时间(第 x 天) 1 3 6 10 … 日销售量(m 件) 198 194 188 180 …
②该产品90天内每天的销售价格与时间(第x天)的关系如下表: 时间(第x天) 1≤x<5050≤x≤90 销售价格(元/件)x+60 (1)求m关于x的一次函数表达式; (2)设销售该产品每天利润为y元,请写出y关于x的函数表达式,并求出在90天内该 产品哪天的销售利润最大?最大利润是多少?[提示:每天销售利润=日销售量×(每件销售 价格一每件成本) (3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于5400元,请直接写出结果 解:(1)∵m与x为一次函数关系,∴设m=kx+b 将x=1,m=198,x=3,m=194代入,得 k+b=198 解得 =200 所以m关于x的一次函数表达式为m=-2x+200 (2)设销售该产品每天利润为y元,y关于x的函数表达式为: 2x2+160x+4000(1≤x<50), 120x+12000(50≤x≤90) 当1≤x<50时,y=-2x2+160x+4000=-2(x-40)2+7200 当ⅹ=40时,y有最大值,最大值是7200 当50≤x≤90时,y=-120x+12000 120<0 ∴y随ⅹ增大而减小,即当x=50时,y的值最大·最大值是6000 综上所述,当x=40时,y的值最大,最大值是7200,即在90天内该产品第40天的 销售利润最大,最大利润是7200元 (3)在该产品销售的过程中,共有46天销售利润不低于5400元
②该产品 90 天内每天的销售价格与时间(第 x 天)的关系如下表: 时间(第 x 天) 1≤x<50 50≤x≤90 销售价格(元/件) x+60 100 (1)求 m 关于 x 的一次函数表达式; (2)设销售该产品每天利润为 y 元,请写出 y 关于 x 的函数表达式,并求出在 90 天内该 产品哪天的销售利润最大?最大利润是多少?[提示:每天销售利润=日销售量×(每件销售 价格-每件成本)] (3)在该产品销售的过程中,共有多少天销售利润不低于 5 400 元,请直接写出结果. 解:(1)∵m 与 x 为一次函数关系,∴设 m=kx+b. 将 x=1,m=198,x=3,m=194 代入,得 k+b=198, 3k+b=194, 解得 k=-2, b=200. 所以 m 关于 x 的一次函数表达式为 m=-2x+200. (2)设销售该产品每天利润为 y 元,y 关于 x 的函数表达式为: y= -2x2+160x+4 000(1≤x<50), -120x+12 000(50≤x≤90), 当 1≤x<50 时,y=-2x2+160x+4 000=-2(x-40)2+7 200. ∵-2<0, ∴当 x=40 时,y 有最大值,最大值是 7 200; 当 50≤x≤90 时,y=-120x+12 000. ∵-120<0, ∴y 随 x 增大而减小,即当 x=50 时,y 的值最大,最大值是 6 000. 综上所述,当 x=40 时,y 的值最大,最大值是 7 200,即在 90 天内该产品第 40 天的 销售利润最大,最大利润是 7 200 元. (3)在该产品销售的过程中,共有 46 天销售利润不低于 5 400 元.
第3课时实物抛物线 01基础题 知识点1二次函数在桥梁、隧道等建筑问题中的应用 1.(铜仁中考)河北省赵县的赵州桥是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其 函数关系式为y=2:当水面离桥拱顶的高度是4m时,这时水面宽度AB为O B.10 2·某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示.以隧道横截面抛物线的顶点 为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,求得该抛物线对应的函数关系式为y 3 m 3·(崇左中考)崇左市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛 物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛 物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分·则水喷出的最大高度是4米 4·有一个抛物线形的立交拱桥,这个拱桥的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的图形 放在坐标系中(如图).若在离跨度中心5m处的M点垂直竖立一铁柱支撑拱顶,则这根铁柱 的长为15m 5·(潜江、天门、仙桃中考)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱 顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.当水面下降1米时,水面的宽度为2V米 知识点2二次函数在体育中的应用 6·王大力同学在校运动会上投掷标枪,标枪运行的高度hm)与水平距离x(m)的关系式为h
第 3 课时 实物抛物线 01 基础题 知识点 1 二次函数在桥梁、隧道等建筑问题中的应用 1. (铜仁中考)河北省赵县的赵州桥是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其 函数关系式为 y=- 1 25x 2 .当水面离桥拱顶的高度是 4 m 时,这时水面宽度 AB 为(C) A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m 2.某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示.以隧道横截面抛物线的顶点 为原点,以抛物线的对称轴为 y 轴,建立直角坐标系,求得该抛物线对应的函数关系式为 y =- 1 3 x 2. 3.(崇左中考)崇左市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛 物线.如果以水平地面为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛 物线 y=-x 2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是 4 米. 4.有一个抛物线形的立交拱桥,这个拱桥的最大高度为 16 m,跨度为 40 m,现把它的图形 放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 5 m 处的 M 点垂直竖立一铁柱支撑拱顶,则这根铁柱 的长为 15m. 5.(潜江、天门、仙桃中考)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥,当水面宽 4 米时,拱 顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 米.当水面下降 1 米时,水面的宽度为 2 6米. 知识点 2 二次函数在体育中的应用 6.王大力同学在校运动会上投掷标枪,标枪运行的高度 h(m)与水平距离 x(m)的关系式为 h
48x2+24+2,则大力同学投掷标枪的成绩是坐8m 7·(曲靖中考)一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关 系式是y=-12+2+5,铅球运行路线如图 (1)求铅球推出的水平距离; (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m 解:(1)当y=0时, 解得x1=10,x2=-2(不合题意,舍去) 所以推铅球的水平距离是10米. (x2-8x+16)+ 2(x-4)2+3 当x=4时,y取最大值3 所以铅球行进高度不能达到4m,最高能达到3m 02中档题 8·某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t +10表示.经过15,火箭达到它的最高点 9·某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处 各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米.则校门的高为91米(精确到0.1 米,水泥建筑物厚度忽略不计) 10·如图,某公路隧道横截面为抛物线’其最大高度为6米,底部宽度OM为1米.现以 O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系 (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标 (2)求这条抛物线的解析式 (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB·使C、D点在拋物线上,A、B点在地 面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 解:(1)M(12,0),P(6,6) (2)设抛物线解析式为
=- 1 48x 2+ 23 24x+2,则大力同学投掷标枪的成绩是 48m. 7.(曲靖中考)一名男生推铅球,铅球行进高度 y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的关 系式是 y=- 1 12x 2+ 2 3 x+ 5 3 ,铅球运行路线如图. (1)求铅球推出的水平距离; (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到 4 m. 解:(1)当 y=0 时,- 1 12x 2+ 2 3 x+ 5 3 =0, 解得 x1=10,x2=-2(不合题意,舍去). 所以推铅球的水平距离是 10 米. (2)y=- 1 12x 2+ 2 3 x+ 5 3 =- 1 12(x2-8x+16)+ 4 3 + 5 3 =- 1 12(x-4)2+3. 当 x=4 时,y 取最大值 3. 所以铅球行进高度不能达到 4 m,最高能达到 3 m. 02 中档题 8.某种火箭被竖直向上发射时,它的高度 h(m)与时间 t(s)的关系可以用公式 h=-5t2+150t +10 表示.经过 15s,火箭达到它的最高点. 9.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为 8 米,两侧距地面 4 米高处 各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为 6 米.则校门的高为 9.1 米(精确到 0.1 米,水泥建筑物厚度忽略不计). 10.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为 6 米,底部宽度 OM 为 12 米.现以 O 点为原点,OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系. (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标; (2)求这条抛物线的解析式; (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使 C、D 点在抛物线上,A、B 点在地 面 OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 解:(1)M(12,0),P(6,6). (2)设抛物线解析式为
y=a(x-6)2+6 抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0,0) 0=a0-6)2+6,即a= ∴抛物线解析式为:6X-6)2+6, (3)设A(m,0),则B(12-m0),C(12-m,=m2+2m)D(m,-zm2+2m) “支撑架”总长AD+DC+CB=(-m2+2m)+(12-2m)+(-m2+2m) 3m2+2m+12=3m-3)+15 ∵此二次函数的图象开口向下 当m=3米时,AD+DC+CB有最大值为15米 综合题 I1·(天水中考)如图·排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发 出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离xm满足关系式y=a(x-6)+h已 知球网与O点的水平距离为9m,高度为243m,球场的边界距O点的水平距离为18m 界 (1)当h=26时,求y与x的关系式 (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由. 解:(1)∵点(0,2)在y=a(x-6)2+h的图象上, 2-h 函数可写成y=3(x-6)2+h 当h=26时,y与x的关系式是y=-(x-6)2+26 (2)球能越过球网,球会出界 理由:当x=9时,y=-1×(9-6+26=245>243,所以球能越过球网: 当y=0时,-60×-6+26=0解得x1=6+239>18X=6-29舍去),故球 会出界 另解:当x=18时,y=-×(18-6)+26=02>0,所以球会出界
y=a(x-6)2+6. ∵抛物线 y=a(x-6)2+6 经过点(0,0), ∴0=a(0-6)2+6,即 a=- 1 6 . ∴抛物线解析式为:y=- 1 6 (x-6)2+6, 即 y=- 1 6 x 2+2x. (3)设 A(m,0),则 B(12-m,0),C(12-m,- 1 6 m2+2m),D(m,- 1 6 m2+2m). ∴“支撑架”总长 AD+DC+CB=(- 1 6 m2+2m)+(12-2m)+(- 1 6 m2+2m) =- 1 3 m2+2m+12=- 1 3 (m-3)2+15. ∵此二次函数的图象开口向下, ∴当 m=3 米时,AD+DC+CB 有最大值为 15 米. 03 综合题 11.(天水中考)如图,排球运动员站在点 O 处练习发球,将球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发 出,把球看成点,其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已 知球网与 O 点的水平距离为 9 m,高度为 2.43 m,球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m. (1)当 h=2.6 时,求 y 与 x 的关系式; (2)当 h=2.6 时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由. 解:(1)∵点(0,2)在 y=a(x-6)2+h 的图象上, ∴2=a(0-6)2+h,a= 2-h 36 , 函数可写成 y= 2-h 36 (x-6)2+h. ∴当 h=2.6 时,y 与 x 的关系式是 y=- 1 60(x-6)2+2.6. (2)球能越过球网,球会出界. 理由:当 x=9 时,y=- 1 60 ×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,所以球能越过球网; 当 y=0 时,- 1 60(x-6)2+2.6=0,解得 x1=6+2 39>18,x2=6-2 39(舍去),故球 会出界. 另解:当 x=18 时,y=- 1 60 ×(18-6)2+2.6=0.2>0,所以球会出界.