22.2二次函数与一元二次方程 教学目标※ 【知识与技能】 理解二次函数与一元二次方程的关系,会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与 函数间的转化 【过程与方法】 逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系,函数图象与x轴的交点情况。由特殊到 一般,提高学生的分析、探索、归纳能力. 【情感态度】 培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯,体会到二次函数 广泛意义 【教学重点】 探索一次函数图象与一元二次方程的关系,理解抛物线与x轴交点情况 【教学难点】 函数→方程→x轴交点,三者之间的关系的理解与运用 ※教学过程※ 问题导入 问题如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路 线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单 位:s)之间具有关系h=201-5t2 考虑以下问题: (1)小球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞 行时间? (2)小球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞 行时间? (3)小球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)小球从飞出到落地需要多少时间? 、探索新知 从上面的问题可以看出,二次函数与一元二次方程有如下关系 1.函数y=ax2+bx+c,当函数值y为某一确定值m时,对应自变量x的值就是方程 ax2+bx+c=m的根特别是y=0时,对应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=0的根以上 关系,反过来也成立 议一议利用以上关系,可以解决什么问题? 利用以上关系,可以解决两个方面问题其一,当y为某一确定值时,可通过解方程来 求出相应的自变量x值:;其二,可以利用函数图象来找出相应方程的根 2.二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 议一议观察图中的抛物线与x轴的交点情况,你能得出相 应方程的根吗? wr.r+l x6r+9 方程x2+x-2=0的根是x1=-2,x2=1 方程x2-6x+9=0的根是x=x2=3 第1页
第 1 页 22.2 二次函数与一元二次方程 ※教学目标※ 【知识与技能】 理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交点个数、掌握方程与 函数间的转化. 【过程与方法】 逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与 x 轴的交点情况。由特殊到 一般，提高学生的分析、探索、归纳能力. 【情感态度】 培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数 广泛意义. 【教学重点】 探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与 x 轴交点情况. 【教学难点】 函数→方程→x 轴交点，三者之间的关系的理解与运用. ※教学过程※ 一、问题导入 问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路 线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单 位：s）之间具有关系 2 h t t = − 20 5 . 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到 15m？如果能，需要多少飞 行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到 20m？如果能，需要多少飞 行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？ （4）小球从飞出到落地需要多少时间？ 二、探索新知 从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系： 1.函数 2 y ax bx c = + + ，当函数值 y 为某一确定值 m 时，对应自变量 x 的值就是方程 2 ax bx c m + + = 的根.特别是 y=0 时，对应的自变量 x 的值就是方程 2 ax bx c + + = 0 的根.以上 关系，反过来也成立. 议一议 利用以上关系，可以解决什么问题？ 利用以上关系，可以解决两个方面问题.其一，当 y 为某一确定值时，可通过解方程来 求出相应的自变量 x 值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根. 2.二次函数的图象与 x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系 议一议 观察图中的抛物线与 x 轴的交点情况，你能得出相 应方程的根吗？ 方程 2 x x + − = 2 0 的根是 1 x =−2 ， 2 x =1. 方程 2 x x − + = 6 9 0 的根是 1 2 x x = = 3
方程x2-x+1=0无实数根 归纳总结一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论: (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点公共点的横坐标是xn,那么当x=x时 函数值是0,因此x=x是方程ax2+bx+c=0的一个根 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公 共点,有两个公共点这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根, 有两个相等的实数根,有两个不等的实数根 掌握新知 例利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位) 解:画出二次函数y=x2-2x-2的图象它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7 所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-07,x2≈27 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根 观察函数y=x2-2x-2的图象,可以发现,当自变量为2时的函 数值小于0(点(2,-2)在x轴的下方),当自变量为3时的函数值 大于0(点(3,1)在x轴的上方).因为抛物线y=x2-2x-2是一条 连续不断的曲线,所以抛物线y=x2-2x-2在23时函数值小于0
第 2 页 方程 2 x x − + =1 0 无实数根. 归纳总结 一般地，从二次函数 2 y ax bx c = + + 的图象可得如下结论： （1）如果抛物线 2 y ax bx c = + + 与 x 轴有公共点公共点的横坐标是 0 x ，那么当 0 x x = 时， 函数值是 0，因此 0 x x = 是方程 2 ax bx c + + = 0 的一个根. （2）二次函数 2 y ax bx c = + + 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公 共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 的根的三种情况：没有实数根， 有两个相等的实数根，有两个不等的实数根. 三、掌握新知 例 利用函数图象求方程 2 x x − − = 2 2 0 的实数根（结果保留小数点后一位）. 解：画出二次函数 2 y x x = − − 2 2 的图象它与 x 轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程 2 x x − − = 2 2 0 的实数根为 1 x −0.7， 2 x 2.7 . 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 观察函数 2 y x x = − − 2 2 的图象，可以发现，当自变量为 2 时的函 数值小于 0（点（2，-2）在 x 轴的下方）,当自变量为 3 时的函数值 大于 0（点（3，1）在 x 轴的上方）.因为抛物线 2 y x x = − − 2 2 是一条 连续不断的曲线，所以抛物线 2 y x x = − − 2 2 在 2 3 x 这一段经过 x 轴，也就是说，当自变 量取 2，3 之间的某个值时，函数值为 0，即方程 2 x x − − = 2 2 0 在 2，3 之间有根. 我们可以通过去平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取 2，3 的平均数 2.5，用 计算器算得自变量为 2.5 时的函数值为-0.75，与自变量为 3 时的函数值异号，所以这个根 在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625， 与自变量为 2.5 时的函数值异号，所以这个根在 2.5,2.75 之间. 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 2.625，2.75 之间，在 2.6875,2.75 之间…… 可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作 为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于 2.6875 2.75 0.0625 0.1 − = ，我们可以将 2.6875 作为根的近似值. 四、巩固练习 画出函数 2 y x x = − + + 2 4 6 的图象，利用图象回答下列问题： （1）方程 2 − + + = 2 4 6 0 x x 的解是什么？（2）x 取什么值时，函数值大于 0？（3）x 取 什么值时，函数值小于 0？ 答案：1.图象如图所示： （1） x1 =−1， x2 = 3 .（2）当 − 1 3 x 时函数值大于 0.（3） 当 x −1 或 x 3 时函数值小于 0. 2
五、归纳小结 1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程an2+bx+c=0有何关联?你能不画出抛物线 y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗?你是怎样做的? 2.你能引用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗?从中你有哪些体会? ※布置作业※ 从教材习题222中选取 ※教学反思※ 本节课的教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数之间的关系来类比引导挖掘、探 索二次函数与一元二次方程的关系.此外还通过观察图象直观理解、解答联系以及实际观察 分析都是必经的途径与方法 第3页
第 3 页 五、归纳小结 1.抛物线 2 y ax bx c = + + 与一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 有何关联？你能不画出抛物线 2 y ax bx c = + + 而了解此抛物线与 x 轴的交点情况吗？你是怎样做的？ 2.你能引用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？ ※布置作业※ 从教材习题 22.2 中选取． ※教学反思※ 本节课的教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数之间的关系来类比引导挖掘、探 索二次函数与一元二次方程的关系.此外还通过观察图象直观理解、解答联系以及实际观察 分析都是必经的途径与方法