22.3实际问题与二次函数 (第1课时) 教学目标: 1经历探索物体运动中的最大高度等问题的过程,体会二次函数是一类最优 化的数学模型,并感受数学的应用价值 2能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的 顶点坐标求出实际问题的最大值(或最小值),发展解决问题的能力 教学重点: 1、探究运动中的最大髙度和面积的最大值等问题。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系,并运用二次函 数的知识求出实际问题中的最大(小)值,发展解决问题的能力 教学难点 运用二次函数解决实际问题 教学过程: 、温故知新,引入新课。 前面我们认识了二次函数,研究了二次函数的图像和性质,掌握了二次函数 的表达式,首先我们来回顾二次函数的两种形式y=a(x-h)2+k和y=ax2+b +c各有怎样的性质: 1.二次函数y=a(x-b)2+k的图象和性质 二次函数p=a(x-b}2+k的对称轴是,顶点坐标是 当 时,y的最值是 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是 ,顶点坐标是 当x=时,函数有最值,是 根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗? 1.二次函数y=2(x-3)2-5的对称轴是 顶点坐标是 时,y的最 值,是 次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 顶点坐标是 时,函数有最
22.3 实际问题与二次函数 （第 1 课时） 教学目标： 1.经历探索物体运动中的最大高度等问题的过程，体会二次函数是一类最优 化的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的 顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力。 教学重点： 1、探究运动中的最大高度和面积的最大值等问题。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系，并运用二次函 数的知识求出实际问题中的最大（小）值，发展解决问题的能力。 教学难点 运用二次函数解决实际问题 教学过程： 一、温故知新，引入新课。 前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图像和性质，掌握了二次函数 的表达式，首先我们来回顾二次函数的两种形式 y＝a(x-h)2＋k 和 y＝ax 2＋bx ＋c 各有怎样的性质： 1．二次函数 y＝a(x-h) 2＋k 的图象和性质 二次函数 y＝a(x-h) 2＋k 的对称轴是______ ，顶点坐标是 ______ . 当 x= ______ 时，y 的最值是 ______ . 2．二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象和性质 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的对称轴是______ ，顶点坐标是 ______ . 当 x= ____时，函数有最值，是______ . 根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗？ 1. 二 次 函 数 y=2(x-3)2 -5 的 对 称 轴 是 ______ ， 顶 点 坐 标 是 ______ .当 x= ______ 时， y 的最 ______ 值，是 ______ . 2. 二次函数 y=-3(x+4)2 -1 的对称轴是 ______ ，顶点坐标是 ______ . 当 x=______ 时 ， 函 数有 最 ___ 值，是 ______
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ,顶点坐标是 时,函数有最 值,是 由此可以看出由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大(小)值,这节 课我们就来学习用二次函数解决实际问题。 新授 问题:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的 运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球的运动时 间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? 分析:我们可以借助函数图像解决这个问题。画出函数的图像 可以看出,这个函数的图像抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图 像的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值 因此,当 时,h有 最值, 也就是说, 小球运动的时间是3s时,小球最高 456 小球运动中的最大高度是45m 如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值? 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0的顶点是最低()点,也 就是说, 当 时 2 二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值y 类比引入,探究问题 探究1: 用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长的变化而变 化.当|是多少米时,场地的面积S最大? 解: 2
3. 二 次 函 数 y=2x2 -8x+9 的 对 称 轴 是 ______ ， 顶 点 坐 标 是 ______ . 当 x= ______ 时， 函数 有最 ______值，是 ______ . 由此可以看出由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大（小）值，这节 课我们就来学习用二次函数解决实际问题。 二、新授 问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的 运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时 间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 分析：我们可以借助函数图像解决这个问题。画出函数的图像。 可以看出，这个函数的图像抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图 像的最高点，也就是说，当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 因此，当 时，h 有 最______值 ， 也就是说， 小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m． 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 一般地，当 a＞0（a＜0）时，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低( )点，也 就是说， 当 时， 二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 类比引入，探究问题 探究 1： 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变 化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解： 60 2 S l l = − ， a b x 2 = − ． a ac b y 4 4 2 − =
整理后得 s=-12+301(030) 当 时, S有最大值为 当/是15m时,场地的面积S最大 归纳探究,总结方法: 1.由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,当x=-b 时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值y=4ac-b 2.列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围. 3.在自变量的取值范围内,求出二次函数的最大值或最小值. 三、运用新知,拓展训练: 1手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之 和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm) 的变化而变化. (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积是多少? 2、如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙长为10m)围成长方形养鸡场 设养鸡场的长BC为x米,面积为y平方米 请问:(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围? (2)x取何值时所围成的面积最大,最大值是多少? 3用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,那么a的值不可能 为( C.100 D.120 4.用一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成 个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2
整理后得 （0＜l＜30）． ∴ 当 时， S 有最大值为 ． 当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大． 归纳探究，总结方法： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围. 3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值. 三、运用新知，拓展训练 ： 1.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之 和恰好为 60 cm，菱形的面积 S(单位：cm2)随其中一条对角线的长 x(单位：cm) 的变化而变化. （1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？ 2、如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙长为 10m）围成长方形养鸡场. 设养鸡场的长 BC 为 x 米，面积为 y 平方米. 请问：(1)求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围? (2)x 取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？ 3.用一根长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 a cm2 的长方形，那么 a 的值不可能 为( ) A.20 B.40 C.100 D.120 4. 用一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一 个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______cm2. S l 30l 2 = − + a b x 2 = − ． a ac b y 4 4 2 − =
5如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点 B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移 动,如果P,Q两点同时出发,分别到达B,C两点后就停止移动.设△PQD的 面积为S,点移动的时间为x(x>0) (1)求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围 (2)经过多少时间,△PQD的面积最小? 四、课堂小结 1主要学习了如何将实际问题转化为数学问题,特别是如何利用二次函数的有关 性质解决实际问题的方法. 2利用二次函数解决实际问题时,根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解 决问题的关键. 五.布置作业 教科书习题2.3第4,5题
5.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移 动，如果 P，Q 两点同时出发，分别到达 B，C 两点后就停止移动．设△PQD 的 面积为 S，点移动的时间为 x（x＞0） （1）求 S 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围； （2）经过多少时间，△PQD 的面积最小？ 四、课堂小结 1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关 性质解决实际问题的方法. 2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解 决问题的关键. 五．布置作业 教科书习题 22.3 第 4，5 题．