第二十一章二次根式 教材内容 本单元教学的主要内容 次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式 2.本单元在教材中的地位和作用 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股 定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的 基础. 教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念 (2)理解√(a≥0)是一个非负数,(√)2=a(a≥0),√a2=a(a≥0) (3)掌握a·√=(a≥0,b≥0),m=√a·b (a≥0,b>0) √a (a≥0,b>0). √bVb b√b (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.·再 对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式 的计算和化简 (2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定, ·并运用规定进行计算 (3)利用逆向思维,·得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它 进行化简 (4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,·给出最简 次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到 对二次根式进行计算和化简的目的 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神, 经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发 现问题的能力 教学重点 1.二次根式√a(a≥0)的内涵 a(a≥0)是一个非负数 (a)2=a(a≥0) 后a2=a(a≥0)·及其运用
- 1 - 第二十一章 二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股 定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的 基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解 a （a≥0）是一个非负数，（ a ）2=a（a≥0）， 2 a =a（a≥0）． （3）掌握 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）， ab = a · b ； a b = a b （a≥0，b>0）， a b = a b （a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．• 再 对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式 的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定， • 并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，• 得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它 进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，• 给出最简二 次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到 对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神， 经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发 现问题的能力． 教学重点 1．二次根式 a （a≥0）的内涵． a （a≥0）是一个非负数； （ a ）2＝a（a≥0）； 2 a =a（a≥0）• 及其运用．
2.二次根式乘除法的规定及其运用 3.最简二次根式的概念 4.二次根式的加减运算 教学难点 1.对√a(a≥0)是一个非负数的理解 对等式(a)2=a(a≥0)及√=a(a≥0)的理解及应用 2.二次根式的乘法、除法的条件限制. 3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式 教学关键 1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力,突出重点,突破难点 2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力,·培养学生 丝不苟的科学精神 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时,具体分配如下: 21.1二次根式 3课时 21.2二次根式的乘法3课时 21.3二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结2课时
- 2 - 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对 a （a≥0）是一个非负数的理解； 对等式（ a ）2＝a（a≥0）及 2 a =a（a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，• 培养学生 一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需 11 课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3 课时 21．2 二次根式的乘法 3 课时 21．3 二次根式的加减 3 课时 教学活动、习题课、小结 2 课时
21.1二次根式 第一课时 教学内容 次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念,并利用√a(a≥0)的意义解答具体题目 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题 教学重难点关键 1.重点:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式的概念 2.难点与关键:利用“a(a≥0)”解决具体问题 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题 问题1:已知反比例函数y=二,那么它的图象在第一象限横、·纵坐标相等的 点的坐标是 问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的 长是 问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次 射击的方差是S2,那么S 老师点评: 问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以x= 所以所求点的坐标(3,√3) 问题2:由勾股定理得AB=√10 问题3:由方差的概念得S 探索新知
- 3 - 21．1 二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ a （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题 1：已知反比例函数 y= 3 x ，那么它的图象在第一象限横、• 纵坐标相等的 点的坐标是___________． 问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么 AB 边的 长是__________． B A C 问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次 射击的方差是 S 2，那么 S=_________． 老师点评： 问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x 2=3．因为点在第一象限，所以 x= 3 ， 所以所求点的坐标（ 3 ， 3 ）． 问题 2：由勾股定理得 AB= 10 问题 3：由方差的概念得 S= 4 6 . 二、探索新知
很明显、√0、 V6·都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算 术平方根的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如√a(a≥0) 的式子叫做二次根式,“√”称为二次根号 (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0,√G有意义吗? 老师点评:(略) 例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 互、、1、√(x0)、5、、 、√x+y(x≥0,y≥0 x+ y 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“√”;第二,被开方 数是正数或0. 解:二次根式有:、√(x0)、√、、√x+y(x0,y≥0);不 是二次根式的有:3、1、组 xty 例2.当x是多少时,√3x-1在实数范围内有意义? 分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0 3x-1才能有意义 解:由3x1≥0,得:x≥1 当x≥时,√3x-1在实数范围内有意义 三、巩固练习 教材P练习1、2、3. 四、应用拓展 例3.当x是多少时,√2x+3+在实数范围内有意义? 分析:要使√2x+3+-在实数范围内有意义 必须同时满足√2x+3中的≥0和一中的x+1≠0
- 4 - 很明显 3 、 10 、 4 6 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算 术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a （a≥0） • 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1 有算术平方根吗？ 2．0 的算术平方根是多少？ 3．当 a0）、 0 、4 2 、- 2 、 1 x y + 、 x y + （x≥0，y• ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方 数是正数或 0． 解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、- 2 、 x y + （x≥0，y≥0）；不 是二次根式的有： 3 3 、 1 x 、 4 2 、 1 x y + ． 例 2．当 x 是多少时， 3 1 x − 在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1≥0， • 3 1 x − 才能有意义． 解：由 3x-1≥0，得：x≥ 1 3 当 x≥ 1 3 时， 3 1 x − 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材 P 练习 1、2、3． 四、应用拓展 例 3．当 x 是多少时， 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义？ 分析：要使 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义， 必须同时满足 2 3 x + 中的≥0 和 1 x +1 中的 x+1≠0．
2x+3≥0 解:依题意,得 x+1≠0 由①得:x≥- 由②得:x≠-1 当x≥3且x≠1时,√2x+3+1在实数范围内有意义 x+1 例41)已知y=√2-x+√x-2+5,求_的值.(答案2) (2)若√a++√b-1=0,求a204+b20的值.(答案2) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 1.形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,“√”称为二次根号 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数 六、布置作业 1.教材Pg复习巩固1、综合应用5. 2.选用课时作业设计 3课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 、选择题 1.下列式子中,是二次根式的是() A.-5B.v7 √x 2.下列式子中,不是二次根式的是() ④4 x 3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是() 5B.√5 D.以上皆不对 二、填空题 形如 的式子叫做二次根式 2.面积为a的正方形的边长为 3.负数 平方根 三、综合提高题
- 5 - 解：依题意，得 2 3 0 1 0 x x + + 由①得：x≥- 3 2 由②得：x≠-1 当 x≥- 3 2 且 x≠-1 时， 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义． 例 4(1)已知 y= 2 − x + x − 2 +5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若 a +1 + b −1 =0，求 a 2004+b2004的值．(答案: 2 5 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材 P8 复习巩固 1、综合应用 5． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- 7 B． 3 7 C． x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． 4 B． 16 C． 8 D． 1 x 3．已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ） A．5 B． 5 C． 1 5 D．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为 a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题
1.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要 底面应做成正方形,试问底面边长应是多少? 2.当x是多少时, +x2在实数范围内有意义 3.若√3-x+√x-3有意义,则√x2 4使式子√(x-5)有意义的未知数x有()个 B.1 C.2D.无数 5已知a、b为实数,且√a-5+2√10-2a=b+4,求a、b的值 第一课时作业设计答案: 、1.A2 3.B 、1.a(a≥0)2.√a3.没有 、1.设底面边长为x,则02x2=1,解答:x=√5. 2x+3≥0x 2.依题意得: x≠ 0 x≠0 ∴当x>-且x≠0时 +x2在实数范围内没有意义 4.B
- 6 - 1．某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要， • 底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当 x 是多少时， 2 3 x x + +x2 在实数范围内有意义？ 3．若 3− x + x −3 有意义，则 2 x − =_______． 4.使式子 2 − − ( 5) x 有意义的未知数 x 有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知 a、b 为实数，且 a −5 +2 10 2 − a =b+4，求 a、b 的值． 第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1． a （a≥0） 2． a 3．没有 三、1．设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 5 ． 2．依题意得： 2 3 0 0 x x + ， 3 2 0 x x − ∴当 x>- 3 2 且 x≠0 时， 2 3 x x + ＋x 2 在实数范围内没有意义． 3. 1 3 4．B 5．a=5，b=-4
21.1二次根式(2) 第二课时 教学内容 1.√a(a≥0)是一个非负数 2.(G)2=a(a≥0) 教学目标 理解√G(a≥0)是一个非负数和(√a)2=a(a≥0),并利用它们进行计算和 化简 通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出√a(a≥0)是一个非负数 用具体数据结合算术平方根的意义导出(√a)2=a(a≥0);最后运用结论严谨解 题 教学重难点关键 1.重点:a(a≥0)是一个非负数:(√a)2=a(a≥0)及其运用 2.难点、关键:用分类思想的方法导出√(a≥0)是一个非负数;·用探究 的方法导出(√G)2=a(a≥0) 教学过程 、复习引入 学生活动)口答 什么叫二次根式? 2.当a≥0时,园a叫什么?当a<0时,Va有意义吗? 老师点评(略) 二、探究新知 议一议:(学生分组讨论,提问解答) √a(a≥0)是一个什么数呢? 老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出 (a≥0)是一个非负数 做一做:根据算术平方根的意义填空: √4) √) (√3)2= (√0) 老师点评:√是4的算术平方根, 根据算术平方根的意义,√是一个平方等于4的非负数,因此有(√4)2 同理可得
- 7 - 21.1 二次根式(2) 第二课时 教学内容 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）． 教学目标 理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和 化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数， 用具体数据结合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解 题． 教学重难点关键 1．重点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；• 用探究 的方法导出（ a ）2=a（a≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当 a≥0 时， a 叫什么？当 a<0 时， a 有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______；（ 9 ）2=______；（ 3 ）2=_______； （ 1 3 ）2=______；（ 7 2 ）2=_______；（ 0 ）2=_______． 老师点评： 4 是 4 的算术平方根， 根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，因此有（ 4 ）2=4． 同理可得：
()2=2,()29,(5)2=3,(,)2=1,()2=2,()2=0, 所以(√)2=(≥0) 例1计算 3.(2) 4.(Y) 分析:我们可以直接利用(√a)2=a(a≥0)的结论解题 解:()2=3,(3√5)2=32·(√5)2=32·5=45, 点-5 √7、2(7)2 巩固练习 计算下列各式的值: √9 2(√6)2(41)2(35)2-(5) 四、应用拓展 例2计算 1.(√x+1)2(x≥0)2.(√a2)2 1)2 分析:(1)因为x≥0,所以x+1>0;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0 (4)4x2-12x+9=(2x)22·2x·3+32=(2x-3)2≥0. 所以上面的4题都可以运用(√)2=a(a≥0)的重要结论解题 解:(1)因为x≥0,所以x+1>0 (√x+1)2=x+1 (2)∵a2≥0,∴(√a2)2=a2 (3)∵a2+2a+1=(a+1)2 又∵:(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,∴a+2a+1=a2+2a+1 (4)∵4x2-12X+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 又∵(2x-3)2≥0 ∴4x2-12x+9≥0,∴(√4x2-12x+9)2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式 (1)x2-3(2)x4-4 (3)2x2-3 分析:(略)
- 8 - （ 2 ）2=2，（ 9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（ 1 3 ）2= 1 3 ，（ 7 2 ）2= 7 2 ，（ 0 ）2=0， 所以（ a ）2=a（a≥0） 例 1 计算 1．（ 3 2 ）2 2．（3 5 ）2 3．（ 5 6 ）2 4．（ 7 2 ）2 分析：我们可以直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题． 解：（ 3 2 ）2 = 3 2 ，（3 5 ）2 =32·（ 5 ）2=32·5=45， （ 5 6 ）2= 5 6 ，（ 7 2 ）2= 2 2 ( 7) 7 2 4 = ． 三、巩固练习 计算下列各式的值： （ 18 ）2 （ 2 3 ）2 （ 9 4 ）2 （ 0 ）2 （4 7 8 ）2 2 2 (3 5) (5 3) − 四、应用拓展 例 2 计算 1．（ x +1 ）2（x≥0） 2．（ 2 a ）2 3．（ 2 a a + + 2 1 ）2 4．（ 2 4 12 9 x x − + ）2 分析：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0 （ x +1 ）2=x+1 （2）∵a 2≥0，∴（ 2 a ）2=a2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴ 2 a a + + 2 1 =a2+2a+1 （4）∵4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2 -12x+9≥0，∴（ 2 4 12 9 x x − + ）2=4x2 -12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x2-3 分析：(略)
五、归纳小结 本节课应掌握 1.√a(a≥0)是一个非负数; 2.(√)2a(a≥0);反之:a=(√G)2(a≥0) 六、布置作业 1.教材P8复习巩固2.(1)、(2)P7 2.选用课时作业设计 3课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 、选择题 1.下列各式中√5、√知、Vb2-1、a2+b2、√m2+20、√14, 二次根式的个数是() 2.数a没有算术平方根,则a的取值范围是() a. a>0 B 填空题 1.(-√3)2= 2.已知√x+1有意义,那么是一个 数 三、综合提高题 1.计算 (1)(√5)2(2)-(√3 (3)(√6) (4)(-3÷)2 (5)(2√3+3223-32) 2.把下列非负数写成一个数的平方的形式 (1)5 (2)3.4 (3) (4)x(x≥0) 3.已知√x-y+1+√x-3=0,求x的值 4.在实数范围内分解下列因式 (1)x2-2(2)x4-93x2-5 第二课时作业设计答案 、1.32.非负数 、1.(1)(√5)2=9(2)-(3)2
- 9 - 五、归纳小结 本节课应掌握： 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2 =a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0）． 六、布置作业 1．教材 P8 复习巩固 2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1．下列各式中 15 、 3a 、 2 b −1、 2 2 a b + 、 2 m + 20 、 −144 ， 二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题 1．（- 3 ）2=________． 2．已知 x +1 有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 （1）（ 9 ）2 （2）-（ 3 ）2 （3）（ 1 2 6 ）2 （4）（-3 2 3 ）2 (5) (2 3 3 2)(2 3 3 2) + − 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） 1 6 （4）x（x≥0） 3．已知 x y − +1 + x −3 =0，求 x y 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数 三、1．（1）（ 9 ）2=9 （2）-（ 3 ）2=-3
(3)(√6)2=×6= (4)(-3,2)2=9×2=6(5)-6 4 2.(1)5=(5)2(2)34=(√34)2 (3) (,)2(4)x=(√x)2(x≥0) 6 3.x-y+1=0[x=3 Xy=34= y 2)(x√2 (2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+3)(x-√3) (3)略
- 10 - （3）（ 1 2 6 ）2= 1 4 ×6= 3 2 （4）（-3 2 3 ）2=9× 2 3 =6 (5)-6 2．（1）5=（ 5 ）2 （2）3.4=（ 3.4 ）2 （3） 1 6 =（ 1 6 ）2 （4）x=（ x ）2（x≥0） 3． 1 0 3 3 0 4 x y x x y − + = = − = = x y=34=81 4.（1）x 2-2=（x+ 2 ）（x- 2 ） （2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（x+ 3 ）（x- 3 ） (3)略