免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 22.3实际问题与二次函数 教学时间 「课题_2.3实际问题与三次函数()课型新授课 知识 使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y=ax2的关系式 2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式 能力 学「过程叫字生体验次函数的图数关系式的网用,提学年用双学意识 标 法 情感 态度 价值观 教学重点 已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2、y=ax2 +bx+c的关系式 教学难点已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式 教学准备教师多媒体课件 学生“五个一” 课堂教学程序设计 「设计意图 创设问题情境 如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高 AB为4m,拱高∞0为0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢? 分析:为了画出符合要求的模板,通常要先建立适 当的直角坐标系,再写出函数关系式,然后根据这个关系 式进行计算,放样画图 如图所示,以AB的垂直平分线为y轴,以过点0的 轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。这时,屋顶的横截面 所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所 以可设它的函数关系式为 ax2(a<0) 因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以CB=2=2(cm),又C0=0.8m, 所以点B的坐标为(2,-0.8)。 因为点B在抛物线上,将它的坐标代人(1),得-0.8=a×22所以a 因此,所求函数关系式是y=-0.2x2 请同学们根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线。 引申拓展 问题1:能不能以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂线为y 轴,建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的,以A点为原点,AB所在的直线 为x轴,过点A的x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系也是可行的。 问题2,若以A点为原点,AB所在直线为x轴,过点A的x轴的垂直为y轴, 建立直角坐标系,你能求出其函数关系式吗? 分析:按此方法建立直角坐标系,则A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0),0C 所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC=CB,AC=2m,0点坐标为(2;0.8)。即把 问题转化为:已知抛物线过(0,0)、(4,0);(2,0.8)三点,求这个二次函数的关 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 22.3 实际问题与二次函数 教学时间 课题 22.3 实际问题与二次函数（1） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数 y＝ax 2 的关系式。 2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 过 程 和 方 法 让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。 情 感 态 度 价值观 教学重点 已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数 y＝ax 2、y＝ax 2 ＋bx＋c 的关系式 教学难点 已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、创设问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线 AOB)的薄壳屋顶。它的拱高 AB 为 4m，拱高 CO 为 0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适 当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系 式进行计算，放样画图。 如图所示，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面 所成抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，开口向下，所 以可设它的函数关系式为： y＝ax 2 (a＜0) (1) 因为 y 轴垂直平分 AB，并交 AB 于点 C，所以 CB＝ AB 2 ＝2(cm)，又 CO＝0.8m， 所以点 B 的坐标为(2，－0.8)。 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以 a＝ －0.2 因此，所求函数关系式是 y＝－0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。 二、引申拓展 问题 1：能不能以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为 y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以 A 点为原点，AB 所在的直线 为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂线为 y 轴，建立直角坐标系也是可行的。 问题 2，若以 A 点为原点，AB 所在直线为 x 轴，过点 A 的 x 轴的垂直为 y 轴， 建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则 A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有 AC＝CB，AC＝2m，O 点坐标为(2；0．8)。即把 问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 函数的一般形式是y=ax2+bx+c,求这个二次函数的关系式,跟以前学过 求一次函数的关系式一样,关键是确定o、6、c,已知三点在抛物线上,所以它的坐 标必须适合所求的函数关系式;可列出三个方程,解此方程组,求出三个待定系数。 解:设所求的二次函数关系式为y=ax2+bx+c 因为OC所在直线为抛物线的对称轴,所以有AC=CB,AC=2m,拱高OC=0.8m, 所以0点坐标为(2,0.8),A点坐标为(0,0),B点坐标为(4,0) 由已知,函数的图象过(0,0),可得c=0,又由于其图象过(2,0.8)、(4,0) 可得到16+4=0°解这个方程组,得,4°所以,所求的二次函数的关系式 5 为y 12,4 问题3:根据这个函数关系式,画出模板的轮廓线,其图象是否与前面所画图象 相同? 问题4:比较两种建立直角坐标系的方式,你认为哪种建立直角坐标系方式能使 解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便,这是因为所设函数关系式待 定系数少,所求出的函数关系式简单,相应地作图象也容易) 请同学们阅渎P18例7。 三、课堂练习 例1.如图所示,求二次函数的关系式。 分析:观察图象可知,A点坐标是(8,0),C点坐标 为(0,4)。从图中可知对称轴是直线x=3,由于抛物线是 关于对称轴的轴对称图形,所以此抛物线在x轴上的另 交点B的坐标是(-2,0),问题转化为已知三点求函数关 系式 解:观察图象可知,A、C两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线 3。因为对称轴是直线x=3,所以B点坐标为(-2,0)。 设所求二次函数为y=ax2+bx+c,由己知,这个图象经过点(0,4),可以得到 64a+8b=-4 c=4,又由于其图象过(8,0)、(-2,0)两点,可以得到 4a-2b=-4 解这个方 程组,得 所以,所求二次函数的关系式是y=4+这x+4 练习 条抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐 标是3,求这条抛物线的解析式 四、小结:二次函数的关系式有几种形式,函数的关系式y=ax2+bx+c就 是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定,关键在于求出三个待定系数 a、b、c,由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式,故可列出三个方程, 求出三个待定系数 作业 必做 教科书P26:1、2、3 设计 选做教科书P26:7 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 系式。 二次函数的一般形式是 y＝ax 2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过 求一次函数的关系式一样，关键是确定 o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐 标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。 解：设所求的二次函数关系式为 y＝ax 2＋bx＋c。 因为 OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有 AC＝CB，AC＝2m，拱高 OC＝0.8m， 所以 O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)。 由已知，函数的图象过(0，0)，可得 c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)， 可得到 4a＋2b＝0.8 16＋4b＝0 解这个方程组，得 a＝－ 1 5 b＝ 4 5 所以，所求的二次函数的关系式 为 y＝－ 1 5 x 2＋ 4 5 x。 问题 3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象 相同? 问题 4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使 解决问题来得更简便?为什么? (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待 定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易) 请同学们阅渎 P18 例 7。 三、课堂练习 例 1．如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C 点坐标 为(0，4)。从图中可知对称轴是直线 x＝3，由于抛物线是 关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在 x 轴上的另一 交点 B 的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关 系式。 解：观察图象可知，A、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线 x ＝3。因为对称轴是直线 x＝3，所以 B 点坐标为(－2，0)。 设所求二次函数为 y＝ax 2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到 c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到 64a＋8b＝－4 4a－2b＝－4 解这个方 程组，得 a＝－ 1 4 b＝ 3 2 所以，所求二次函数的关系式是 y＝－ 1 4 x 2＋ 3 2 x＋4 练习： 一条抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐 标是 3，求这条抛物线的解析式。 四、小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式 y＝ax 2＋bx＋c 就 是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数 a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程， 求出三个待定系数。 作业 设计 必做 教科书 P26：1、2、3 选做 教科书 P26：7
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 教学反思 教学时间 课题22.3实际问題与二次函教(2)课型「新授课 知识 1.复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式 2.使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式 费|能力 标 程法感 态度 价值观 教学重点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学难点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学准备教师多媒体课件 学生“五个一” 课堂教学程序设计 设计意图 复习巩固 1.如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2.已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)。(1)求二次函 数的关系式 (2)画出二次函数的图象 (3)说出它的顶点坐标和对称轴 答案:(1)y=x2+x+1,(2)图略,(3)对称轴x=2”项点坐标为(- 3.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴,顶点坐标各是什么? [对称轴是直线x=-2a,顶点坐标是(-2-4a) 、范例 例1.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二 次函数的关系式。 分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x+h)2+k的形式称为顶点 式,(一h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9), 因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9 由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的 请同学们完成本例的解答 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 教 学 反 思 教学时间 课题 22.3 实际问题与二次函数（2） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。 2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。 过 程 和 方 法 情 感 态 度 价值观 教学重点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学难点 根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、复习巩固 1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过 A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。 (1)求二次函 数的关系式， (2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。 答案：(1)y＝x 2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴 x＝－ 1 2 ，顶点坐标为(－ 1 2 ， 3 4 )。 3．二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线 x＝－ b 2a，顶点坐标是(－ b 2a， 4ac－b 2 4a )] 二、范例 例 1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二 次函数的关系式。 分析：二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 通过配方可得 y＝a(x＋h)2＋k 的形式称为顶点 式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)， 因此，可以设函数关系式为： y＝a(x－8)2＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出 a 的 值。 请同学们完成本例的解答
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 例2.已知抛物线对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,一5)两点,求二次 函数的关系式 解法1:设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0 5),可求得c=-5,又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2, b 可以得2a 9a+3b=6 解这个方程组,得 所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5。 解法二;设所求二次函数的关系式为y=a(x-2)2+k,由于二次函数的图象经过 Ja(3-2)2+k=1 (,1)8和(,-5)两点,可以得到a(0-2+k=-5解这个方程组得:1k= 所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5 例3。已知抛物线的顶点是(2,-4),它与y轴的一个交点的纵坐标为4,求函 数的关系式 解法1:设所求的函数关系式为y=a(x+h)2+k,依题意,得y=a(x-2)2-4 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0,4),于是a(0 -2)2-4=4,解得a=2。所以,所求二次函数的关系式为y=2(x-2)2-4,即y= 2x2-8x+4 b 解法2:设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c?依题意,得4ac-b2 解这个方程组,得:1b=-8所以,所求二次函数关系式为y=2x2-8x+4 三、课堂练习 1.已知二次函数当x=-3时,有最大值-1,且当x=0时,y=-3,求二次函 数的关系式 解法1:设所求二次函数关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3),所以c b 3,又由于二次函数当x=-3时,有最大值-1,可以得到:12-=8=小 这个方程组,得: 98-3 所以,所求二次函数的关系式为y=ax2+x+3 解法2:所求二次函数关系式为y=a(x+h)2+k,依题意,得y=a(x+3)2-1 因为二次函数图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)2-1解得a 所以,所求二次函数的关系为y=419(x+3)2-1,即y=4,、8+3 已知该函数顶点坐标,应用顶点式求解方便,用一般式求解计算量就,就是 小结:让学生讨论、交流、归纳得到:已知二次函数的最大值或最小值, 2.已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,-2),求二次函数关系 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 2．已知抛物线对称轴是直线 x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次 函数的关系式。 解法 1：设所求二次函数的解析式是 y＝ax 2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0， －5)，可求得 c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线 x＝2， 可以得 － b 2a＝2 9a＋3b＝6 解这个方程组，得： a＝－2 b＝8 所以所求的二次函数的关系式为 y＝－2x2＋8x－5。 解法二；设所求二次函数的关系式为 y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过 (3，1)和(0，－5)两点，可以得到 a(3－2) 2＋k＝1 a(0－2) 2＋k＝－5 解这个方程组，得： a＝－2 k＝3 所以，所求二次函数的关系式为 y＝－2(x－2)2＋3，即 y＝－2x2＋8x－5。 例 3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，求函 数的关系式。 解法 1：设所求的函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得 y＝a(x－2)2－4 因为抛物线与 y 轴的一个交点的纵坐标为 4，所以抛物线过点(0，4)，于是 a(0 －2)2－4＝4，解得 a＝2。所以，所求二次函数的关系式为 y＝2(x－2)2－4，即 y＝ 2x2－8x＋4。 解法 2：设所求二次函数的关系式为 y＝ax 2＋bx＋c?依题意，得 － b 2a＝2 4ac－b 2 4a ＝－4 c＝4 解这个方程组，得： a＝2 b＝－8 c＝4 所以，所求二次函数关系式为 y＝2x2－8x＋4。 三、课堂练习 1. 已知二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，且当 x＝0 时，y＝－3，求二次函 数的关系式。 解法 1：设所求二次函数关系式为 y＝ax 2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以 c ＝3，又由于二次函数当 x＝－3 时，有最大值－1，可以得到： － b 2a＝－3 12a－b 2 4a ＝－1 解 这个方程组，得： a＝ 4 9 b＝ 8 3 所以，所求二次函数的关系式为 y＝ 4 9 x 2＋ 8 3 x＋3。 解法 2：所求二次函数关系式为 y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得 y＝a(x＋3)2－1 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得 a＝ 4 9 所以，所求二次函数的关系为 y＝44/9(x＋3)2－1，即 y＝ 4 9 x 2＋ 8 3 x＋3． 小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是 已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2．已知二次函数 y＝x 2＋px＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ 简解:依题意,得 解得:p=-1 所以,所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23 四、小结 1,求二次函数的关系式,常见的有几种类型? [两种类型:(1)一般式:y=ax2+bx+c (2)顶点式:y=a(x+h)2+k,其顶点是(-h,k)] 2.如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流,得出:关键是确定上述两个式子中的待定系数,通常 需要三个已知条件。在具体解题时,应根据具体的已知条件,灵活选用合适的形式, 运用待定系数法求解 作业必做 教科书P26:4、5、6 设计热做人 教学反思 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 式。 简解：依题意，得 － p 2 ＝5 4q－p 2 4 ＝－2 解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函数的关系式是 y＝x 2－10x＋23。 四、小结 1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax 2＋bx＋c (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常 需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式， 运用待定系数法求解。 作业 设计 必做 教科书 P26：4、5、6 选做 教科书 P26：8、9 教 学 反 思