免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 24.1圆(第2课时) 教学内容 1.圆心角的概念 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等. 3.定理的推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所 对的弦相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 教学目标 了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都 分别相等,最后应用它解决一些具体问题 重难点、关键 1.重点:定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦也相等及其两 个推论和它们的应用 2.难点与关键:探索定理和推导及其应用 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们完成下题 已知△OAB,如图所示,作出绕0点旋转30°、45°、60°的图形 老师点评:绕0点旋转,0点就是固定点,旋转30°,就是旋转角∠BOB 30° 探索新知 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 (学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题 如图所示的⊙0中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠ AOB绕圆心0旋转到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? AB=A"B',AB=A′B 理由:∵半径OA与0′A′重合,且∠AOB=∠A′OB ∴半径OB与OB′重合 ∴点A与点A′重合,点B与点B′重合 ∴AB与A'B'重合,弦AB与弦A′B′重合 AB=A"B',AB=A′B′ 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢? 请同学们现在动手作一作 (学生活动)老师点评:如图1,在⊙0和⊙0′中,分别作相等的圆 心角∠AOB和∠A′0′B′得到如图2,滚动一个圆,使0与0′重合,固定圆心,将其中的 个圆旋转一个角度,使得OA与0′A′重合 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 24.1 圆(第 2 课时) 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其两 个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30°、45°、60°的图形． 老师点评：绕 O 点旋转，O 点就是固定点，旋转 30°，就是旋转角∠BOB′ =30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠ AOB 绕圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ AB = A B' ' ，AB=A′B′ 理由：∵半径 OA 与 O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径 OB 与 OB′重合 ∵点 A 与点 A′重合，点 B 与点 B′重合 ∴ AB 与 A B' ' 重合，弦 AB 与弦 A′B′重合 ∴ AB = A B' ' ，AB=A′B′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动手作一作． （学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O 和⊙O′中， 分别作相等的圆 心角∠AOB 和∠A′O′B′得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O′重合，固定圆心，将其中的 一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O′A′重合． B A O B A O B' B A A' O
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ B 你能发现哪些等量关系?说一说你的理由? 我能发现:AB=AB',AB=AB 现在它的证明方法就转化为前面的说明了,这就是又回到了我们的数学思想上去呢 一化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 (学生活动)请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书,老师点评 例1.如图,在⊙0中,AB、①是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别 为EF. (1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与0F的大小有什么关系?为什么? 于D (2)如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系?AB与CD的大小 有什么关系?为什么?∠AOB与∠COD呢? 分析:(1)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中 说明AE=CF,即说明AB=CD,因此,只要运用前面所讲的定理即可 (2)∵OE=0F,∴在Rt△AOE和Rt△COF中, 又有A0=C0是半径,∴Rt△AOE≌Rt△COF, ∴AE=CF,∴AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CD 解:(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE=OF 理由是:∵∠AOB=∠COD AB=CD ∵OE⊥AB,OF⊥CD 又∵0A=0C Rt△OAE≌Rt△ OCF . OE=OF (2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,∠AOB=∠COD 理由是 0A=OC, OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF AE=CF 又∵OE⊥AB,OF⊥CD ∴AE=一AB,CF=一CD AB=2AE, CD=2CF AB=CD,∠AOB=∠COD 三、巩固练习 教材练习1 四、应用拓展 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com O' O(O') O B' A' B B ' O(O') O' O B A A A ' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： AB = A B' ' ，AB=A/ B /． 现在它的证明方法就转化为前面的说明了， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢─ ─化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评． 例 1．如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别 为 EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果 OE=OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小 有什么关系？ 为什么？∠AOB 与∠COD 呢？ 分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中 说明 AE=CF，即说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可． （2）∵OE=OF，∴在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中， 又有 AO=CO 是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF （2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF 又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴ AB =CD ，∠AOB=∠COD 三、巩固练习 教材 练习 1 四、应用拓展 O B A C E D F
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 例2.如图3和图4,MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠ CPM (1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由 (2)若交点P在⊙0的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明:若不成立,请 说明理由 分析:(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等,只要说明它们的一半 相等 上述结论仍然成立,它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解:(1)AB=CD 理由:过0作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、 ∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 连结OD、OB且OB=0D Rt△OFD≌Rt△OEB DF=BE 根据垂径定理可得:AB=CD (2)作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F ∠APM=∠CPN且OP=OP,∠PEO=∠PFO=90° Rt△OPE≌Rt△OPF 连接OA、OB、OC、OD 易证Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF ∠1+∠2=∠3+∠4 五、归纳总结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆心角概念 2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都部分相等,及其它们的应用 六、布置作业 1.教材P94-95复习巩固4、5、 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 2．如图 3 和图 4，MN 是⊙O 的直径，弦 AB、CD•相交于 MN•上的一点 P， ∠APM=∠ CPM． （1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点 P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请 说明理由． B A C E D P O N M F B A C E D P N M F (3) (4) 分析：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等， 只要说明它们的一半 相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD 理由：过 O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD，垂足分别为 E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结 OD、OB 且 OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为 E、F ∵∠APM=∠CPN 且 OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接 OA、OB、OC、OD 易证 Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所 对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业 1．教材 P94-95 复习巩固 4、5