免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 24.1圆(第3课时) 教学内容 1.圆周角的概念 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对 的圆心角的一半. 推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用 教学目标 1.了解圆周角的概念 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条 弧所对的圆心角的一半 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对 的弦是直径 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予 逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决 些实际问题 重难点、关键 1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理 3.关键:探究圆周角的定理的存在 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们口答下面两个问题 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们 所对的其余各组量都分别相等 刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的 位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨, 要研究,要解决的问题 二、探索新知 问题:如图所示的⊙0,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们A 只能在EF所在的⊙0其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我 们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两 边都与圆相交的角叫做圆周角 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言 0 老师点评 1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的 3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半. 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化, D 并且 解压密码联系q114加微信公众号 jiaoxuewuyou九折优惠c 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com O B A C 24.1 圆 (第 3 课时) 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弦所对 的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条 弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对 的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们 所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨， 要研究，要解决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门， 设球员们 只能在 EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的 A、B、C 点．通过观察，我 们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上， 并且两 边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且 O B A C D
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.” (1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙0的直径,如图所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∠AOC=∠ABO+∠BAO OAEOB ∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∠ABC==∠AOC (2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径0D的两侧,那么∠ABC=1 ∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程 老师点评:连结B0交⊙0于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC 的外角,那么就有∠AOD=2∠AB0O,∠DOC=2∠CB0,因此∠AOC=2∠ABC (3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC ∠AOC吗?请同学们独立完成证明 老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交⊙0于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CB0, 而∠ABC=∠ABD∠CBO=1∠0-1∠Cm=1∠AC 现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半 因此,同弧上的圆周角是相等的 从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步,我们还可以得到下面的推导: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目 例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙0的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD 与CD的大小有什么关系?为什么? 分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点, C 只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可 解:BD=CD 理由是:如图24-30,连接AD AB是⊙0的直径 ∵∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB BDECD 三、巩固练习 1.教材P92思考题 2.教材P93练习 四、应用拓展 例2.如图,已知△ABC内接于⊙0,∠A、∠B、∠C的对边分别设为a,b,c,⊙0半 径为R,求证 b sin a sinb sin C 分析:要证明_a=b=c in a sinb sin c sin a sin B 2R,c 只要证明=2.b sin C 2R 即 因此,十分明显要在直角 2R 2R 解压密码联系q11980徽信公众号 jiaoxun/、、 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC 的一边 BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2 ∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角， 那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC． （3）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的同侧，那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交⊙O 于 D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO， 而∠ABC=∠ABD-∠CBO= 1 2 ∠AOD- 1 2 ∠COD= 1 2 ∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C， 同样可证得它等于同弧上圆心角一半， 因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目． 例 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个△ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点， 只要连结 AD 证明 AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图 24-30，连接 AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习 1．教材 P92 思考题． 2．教材 P93 练习． 四、应用拓展 例 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的对边分别设为 a，b，c，⊙O 半 径为 R，求证： sin a A = sin b B = sin c C =2R． 分析：要证明 sin a A = sin b B = sin c C =2R，只要证明 sin a A =2R， sin b B =2R， sin c C =2R， 即 sinA= 2 a R ，sinB= 2 b R ，sinC= 2 c R ，因此，十分明显要在直角三
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 角形中进行 证明:连接C0并延长交⊙0于D,连接DB ∵CD是直径 ∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在Rt△DBC中,sinD= BC 即2R=- 同理可证: sin B sin a sinb sin c 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆周角的概念 2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所 对的圆心角的一半; 3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题 六、布置作业 1.教材P95综合运用9、10 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 角形中进行． 证明：连接 CO 并延长交⊙O 于 D，连接 DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 Rt△DBC 中，sinD= BC DC ，即 2R= sin a A 同理可证： sin b B =2R， sin c C =2R ∴ sin a A = sin b B = sin c C =2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念； 2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都相等这条弧所 对的圆心角的一半； 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业 1．教材 P95 综合运用 9、10