223实际问题与二次函数 第1派时二次函数与图形面积 01基础题 知识点二次函数与图形面积 1.(六盘水中考)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面 积是(C) C.64 2.用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最 大透光面积是C) 3m2 8 3.(泰安中考改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A 沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm的速度运动 (点Q运动到点B停止,在运动过程中,△PCQ面积的最大值为(B) A. 6cm2 b. 9 cm2
22.3 实际问题与二次函数 第 1 课时 二次函数与图形面积 01 基础题 知识点 二次函数与图形面积 1．(六盘水中考)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为 16 m，则所围成矩形 ABCD 的最大面 积是(C) A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 2．用长 8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最 大透光面积是(C) A. m2 B. m2 64 25 4 3 C. m2 D．4 m2 8 3 3．(泰安中考改编)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度运动 (点 Q 运动到点 B 停止)，在运动过程中，△PCQ 面积的最大值为(B) A．6 cm2 B．9 cm2
cm 4.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用 两道墙隔开(如图),已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛 饲养室的总占地面积的最大值为144m 5.将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形, 则这两个正方形面积之和的最小值是2cm 6.已知直角三角形两条直角边的和等于20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的 面积最大?最大值是多少? 解:设直角三角形的一直角边长为x,则另一直角边长为(20-x),其面积为y,则 y=2x(20-x) 2x2+10x (x-102+50 ∴当x=10时,面积y值取最大,y最大=50
C．12 cm2 D．15 cm2 4．(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长 50 m)，中间用 两道墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48 m，则这三间长方形种牛 饲养室的总占地面积的最大值为 144m2 . 5．将一根长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形， 则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 . 25 2 6．已知直角三角形两条直角边的和等于 20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的 面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一直角边长为 x，则另一直角边长为(20－x)，其面积为 y，则 y＝ x(20－x) 1 2 ＝－ x 2＋10x 1 2 ＝－ (x－10)2＋50. 1 2 ∵－ <0， 1 2 ∴当 x＝10 时，面积 y 值取最大，y 最大＝50
7.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面 周长为180cm,高为20cm请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大? 最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计) 解:根据题意,得y=20x(2-x 整理,得 y=-20x2+1800x 20x2-90x+2025)+40500 20(x-45)2+40500 ∴当x=45时,函数有最大值,y最大=40500 即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cm3 易错点二次函数最值问题未与实际问题相结合 8.(咸宁中考)用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,那么a的值不可 能为(D) C.100 D.120 中档题 9.(教材P52习题T7变式新疆中考)如图,在边长为6 的正方形ABCD中,点 E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀 速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为3s时
7．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面 周长为 180 cm，高为 20 cm.请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？ 最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 解：根据题意，得 y＝20x( －x)． 180 2 整理，得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500 ＝－20(x－45)2＋40 500. ∵－20＜0， ∴当 x＝45 时，函数有最大值，y 最大＝40 500. 即当底面的宽为 45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为 40 500 cm3 . 易错点 二次函数最值问题未与实际问题相结合 8．(咸宁中考)用一根长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 a cm2的长方形，那么 a 的值不可 能为(D) A．20 B．40 C．100 D．120 02 中档题 9．(教材 P52 习题 T7 变式)(新疆中考)如图，在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别从点 A，B，C，D 同时出发，均以 1 cm/s 的速度向点 B，C，D，A 匀 速运动，当点 E 到达点 B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3s 时
四边形EFGH的面积最小,其最小值是18cm2 10.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好 为60cm,菱形的面积S(单位:cm2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积是多少? 解:(1)S=-2x2+30x (2)∵S=-2x2+30x=-2(x-30)2+450, ∴当x=30时,S有最大值,最大值为450 即当ⅹ为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cn 11.(包头中考)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2 000元.设矩形一边长为x米,面积为S平方米 (1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围 (2)设计费能达到24000元吗?为什么? (3)当x是多少米时,设计费最多?最多是多少元? 解:(1)∵矩形的一边长为x米,周长为16米, ∴另一边长为(8-x)米 ∴S=x(8-x)=-x2+8x,其中0<x<8
四边形 EFGH 的面积最小，其最小值是 18cm2 . 10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好 为 60 cm，菱形的面积 S(单位：cm2 )随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S＝－ x 2＋30x. 1 2 (2)∵S＝－ x 2＋30x＝－ (x－30)2＋450， 1 2 1 2 且－ ＜0， 1 2 ∴当 x＝30 时，S 有最大值，最大值为 450. 即当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是 450 cm2 . 11．(包头中考)某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 2 000 元．设矩形一边长为 x 米，面积为 S 平方米． (1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)设计费能达到 24 000 元吗？为什么？ (3)当 x 是多少米时，设计费最多？最多是多少元？ 解：(1)∵矩形的一边长为 x 米，周长为 16 米， ∴另一边长为(8－x)米． ∴S＝x(8－x)＝－x 2＋8x，其中 0＜x＜8
(2)能.理由:当设计费为24000元时,广告牌的面积为240002000=12(平方米) 即-x2+8x=12,解得x=2或x=6. x=2和x=6在00),试用含x的代数式表示BC的长; (2)请你判断谁的说法正确,为什么? 解:(1)BC=69+3-2x=72-2x (2)小英的说法正确.理由: 矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648
(2)能．理由：当设计费为 24 000 元时，广告牌的面积为 24 000÷2 000＝12(平方米)， 即－x 2＋8x＝12，解得 x＝2 或 x＝6. ∵x＝2 和 x＝6 在 0＜x＜8 内， ∴设计费能达到 24 000 元． (3)∵S＝－x 2＋8x＝－(x－4)2＋16，0＜x＜8， ∴当 x＝4 时，S 最大＝16. ∴当 x＝4 米时，矩形的面积最大，为 16 平方米，设计费最多，最多是 16×2 000＝32 000 元． 12．(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个 矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围成，与墙 平行的一边留一个宽为 3 米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面 是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： (1)设 AB＝x 米(x＞0)，试用含 x 的代数式表示 BC 的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？ 解：(1)BC＝69＋3－2x＝72－2x. (2)小英的说法正确．理由： 矩形面积 S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648
>0,∴x2cm,PM与BC均在直线l上,开始时M点与B点重合,将三角板向右平行移动, 直至M点与C点重合为止,设BM=xcm,三角板与正方形重叠部分的面积为ycm 下列结论: ①当0≤x≤3V3时,y与x之间的函数关系式为y=2x2 2 ②当3≤2时,y与x之间的函数关系式为y=2x-3√5 ③当MN经过AB的中点时,y=23cm2 ④存在x的值,使y=2S正方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积) 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)
∵72－2x＞0，∴x＜36. ∴0＜x＜36. ∴当 x＝18 时，S 取最大值，此时 x≠72－2x. ∴面积最大的不是正方形． ∴小英的说法正确． 03 综合题 13．(朝阳中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，△PMN 是一块直角三角板(∠N＝30°)， PM＞2 cm，PM 与 BC 均在直线 l 上，开始时 M 点与 B 点重合，将三角板向右平行移动， 直至 M 点与 C 点重合为止．设 BM＝x cm，三角板与正方形重叠部分的面积为 y cm2 . 下列结论： ①当 0≤x≤ 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝ x 2； 2 3 3 3 2 ②当 <x≤2 时，y 与 x 之间的函数关系式为 y＝2x－ ； 2 3 3 2 3 3 ③当 MN 经过 AB 的中点时，y＝ cm2； 1 2 3 ④存在 x 的值，使 y＝ S 正方形 ABCD(S 正方形 ABCD 表示正方形 ABCD 的面积)． 1 2 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号)．
第2课时二次函数与商品利润 01基础题 知识点1简单销售问题中的最大利润 1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售 价为ⅹ元,则可卖出(350-10x)件商品,那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数 关系为(B) y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350 10x2+350x D.y=-10x2+350x-7350 2.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投 资与收益的关系为:每投入x万元,可获得利润P=-10x-60)2+41(万元).每年最多可 投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值是205万元, 3.(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某 段时间内,甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨近似满足函数关系y甲=0.3x;乙 种水果的销售利润yz(万元)与进货量x(吨近似满足函数关系yz=ax2+bx(其中 a≠0,a,b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润y乙为14万元;进货量x为2吨时, 销售利润yz为26万元 (1)求yz(万元)与x(吨)之间的函数关系式 (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为t吨,请你写出这两种 水果所获得的销售利润之和W(万元)与(吨之间的函数关系式,并求出这两种水果各进多 少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少? r a+b=1. 4. 0.1, 解:(1)由题意,得14a+2b=26解得(b=15
第 2 课时 二次函数与商品利润 01 基础题 知识点 1 简单销售问题中的最大利润 1．某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售 价为 x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱 y 元与售价 x 元之间的函数 关系为(B) A．y＝－10x2－560x＋7 350 B．y＝－10x2＋560x－7 350 C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7 350 2．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投 资与收益的关系为：每投入 x 万元，可获得利润 P＝－ (x－60)2＋41(万元)．每年最多可 1 100 投入 100 万元的销售投资，则 5 年所获利润的最大值是 205 万元． 3．(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一 段时间内，甲种水果的销售利润 y 甲(万元)与进货量 x(吨)近似满足函数关系 y 甲＝0.3x；乙 种水果的销售利润 y 乙(万元)与进货量 x(吨)近似满足函数关系 y 乙＝ax2＋bx(其中 a≠0，a，b 为常数)，且进货量 x 为 1 吨时，销售利润 y 乙为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨时， 销售利润 y 乙为 2.6 万元． (1)求 y 乙(万元)与 x(吨)之间的函数关系式； (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为 t 吨，请你写出这两种 水果所获得的销售利润之和 W(万元)与 t(吨)之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多 少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 解：(1)由题意，得{ 解得 a＋b＝1.4， 4a＋2b＝2.6.) { a＝－0.1， b＝1.5. )
∴yz=-0.1x2+1.5x (2W=y甲+yz=0.3(10-t)+(-0.1t2+1.5t) 01t+1.2t+3=-0.1(t-62+66 0.1<0,∴t=6时,W有最大值为66 10-6=4(吨) 答:甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润 是66万元 知识点2“每…每…”的问题 4.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,该件 工艺品每降价1元出售,则每天可多售岀4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的 钱数为(A A.5元 B.10元 C.0元 D.6元 5.(十堰中考)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售 价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调査发现:若这种牛奶的售价每降价1元,则每 月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价ⅹ元(x为正整数),每月的销量为y箱. (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围 (2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元? 解:(1)y=10x+60(1≤x≤12,且x为整数) (2)设每月销售利润为w元,根据题意,得 w=(36-x-24(10x+60) 整理,得w=-10x2+60x+720=-10x-3)2+810
∴y 乙＝－0.1x2＋1.5x. (2)W＝y 甲＋y 乙＝0.3(10－t)＋(－0.1t2＋1.5t) ＝－0.1t2＋1.2t＋3＝－0.1(t－6)2＋6.6. ∵－0.1<0，∴t＝6 时，W 有最大值为 6.6. ∴10－6＝4(吨)． 答：甲、乙两种水果的进货量分别为 4 吨和 6 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润 是 6.6 万元． 知识点 2 “每…，每…”的问题 4．一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件．根据销售统计，该件 工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的 钱数为(A) A．5 元 B．10 元 C．0 元 D．6 元 5．(十堰中考)某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于进价．现在的售 价为每箱 36 元，每月可销售 60 箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 1 元，则每 月的销量将增加 10 箱，设每箱牛奶降价 x 元(x 为正整数)，每月的销量为 y 箱． (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)y＝10x＋60(1≤x≤12，且 x 为整数)． (2)设每月销售利润为 w 元．根据题意，得 w＝(36－x－24)(10x＋60)， 整理，得 w＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810
10<0,且1≤x≤12, ∴当ⅹ=3时,w有最大值,最大值是810 36-3=33 答:当定价为33元/箱时,每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元 02中档题 6.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产,现有一生产季节性产品的 企业,其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业 一年中应停产的月份是C) A.1月、2月、3月 B.2月、3月、4月 C.1月、2月、12月 D.1月、11月、12月 7.(沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元 (20≤x≤30,且ⅹ为整数)出售,可卖出(30-x)件,要使利润最大,每件的售价应为2 8.(阳泉市平定县月考)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系 y=ax2+bx-75,其图象如图所示 (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (2)销售单价在什么范围内时,该种商品每天的销售利润不低于16元? 57 解:(1)∵y=ax2+bx-75的图象过点(5,0),(7,16)
∵－10＜0，且 1≤x≤12， ∴当 x＝3 时，w 有最大值，最大值是 810. ∴36－3＝33. 答：当定价为 33 元/箱时，每月销售牛奶的利润最大，最大利润是 810 元． 02 中档题 6．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的 企业，其一年中获得的利润 y 和月份 n 之间的函数关系式为 y＝－n 2＋14n－24，则该企业 一年中应停产的月份是(C) A．1 月、2 月、3 月 B．2 月、3 月、4 月 C．1 月、2 月、12 月 D．1 月、11 月、12 月 7．(沈阳中考)某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30，且 x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．要使利润最大，每件的售价应为 25 元． 8．(阳泉市平定县月考)某种商品每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间满足关系 y＝ax2＋bx－75，其图象如图所示． (1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)销售单价在什么范围内时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ 解：(1)∵y＝ax2＋bx－75 的图象过点(5，0)，(7，16)
25a+5b-75=0, 149a+7b-75=16 解得(b=20 y=-x2+20x-75=-(x-102+25,-1<0, 当x=10时,y最大=25 答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元 (2)由(1)可知函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10,点(7,16)关于对称轴的 对称点是(13,16) 又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下, 当7≤x≤13时,y≥16 答:销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元 9.(襄阳中考)为了“创建文明城市,建设美丽家园”,我市某社区将辖区内的一块面积为1 000~m2的空地进行绿化,一部分种草,剩余部分栽花,设种草部分的面积为x(m2),种草 klx(0≤x<600) 所需费用y(元)与x(m2)的函数关系式为y1=1k2x+b(600≤x≤1000,其图象如图所 示,栽花所需费用y2(元)与x(m2)的函数关系式为y2=-001x2-20x+300000≤x≤1 000 (1)请直接写出k1,k2和b的值 (2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元),请利用W与x的函数关系式,求出绿化总 费用W的最大值 (3)若种草部分的面积不少于700m2,栽花部分的面积不少于100m2,请求出绿化总费用
∴{ 25a＋5b－75＝0， 49a＋7b－75＝16.) 解得{ a＝－1， b＝20. ) ∴y＝－x 2＋20x－75. ∵y＝－x 2＋20x－75＝－(x－10)2＋25，－1<0， ∴当 x＝10 时，y 最大＝25. 答：销售单价为 10 元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为 25 元． (2)由(1)可知函数 y＝－x 2＋20x－75 图象的对称轴为直线 x＝10，点(7，16)关于对称轴的 对称点是(13，16)． 又∵函数 y＝－x 2＋20x－75 图象开口向下， ∴当 7≤x≤13 时，y≥16. 答：销售单价不少于 7 元且不超过 13 元时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元． 9．(襄阳中考)为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为 1 000 m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为 x(m2 )，种草 所需费用 y1(元)与 x(m2 )的函数关系式为 y1＝{ 其图象如图所 k1x（0 ≤ x < 600）， k2x＋b（600 ≤ x ≤ 1 000），) 示．栽花所需费用 y2(元)与 x(m2 )的函数关系式为 y2＝－0.01x2－20x＋30 000(0≤x≤1 000)． (1)请直接写出 k1，k2和 b 的值； (2)设这块 1 000 m2空地的绿化总费用为 W(元)，请利用 W 与 x 的函数关系式，求出绿化总 费用 W 的最大值； (3)若种草部分的面积不少于 700 m2，栽花部分的面积不少于 100 m2，请求出绿化总费用