九年级数学上新课标[人] 第二十二章二次函数 222二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 九年级数学·上 新课标 [人]
类型题①】利用函数图象求方程或方程组的解 考查角度1利用图象上的点求方程的解的范围 例1(2015乐平一模)下面表格列出了函数y=ax2+bx+(a,b,c是 常数,且a40)部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x 的取值范围是(C) x 6.176.18619620 0.03-0010.02006 A.6≤x<6,17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<620 〔解析〕由表格中的数据,得在617<x<6,20范围内,y随的增 大而增大,当x=6.18时,y=.0.01,当x=6,19时,y=0.02,故方程 ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是618<x<619 【解题归纳】根据函数y=ax2+b+c图象上的点的坐标确定方程 gx2+bx+c=0的根的范围,就是求出函数值为0时对应的的取值范 围
利用函数图象求方程或方程组的解 (2015·乐平一模)下面表格列出了函数y=ax2+bx+c(a，b，c是 常数，且a≠0)部分x与y的对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x 的取值范围是( ) A.6＜x＜6.17 B.6.17＜x＜6.18 C.6.18＜x＜6.19 D.6.19＜x＜6.20 C 考查角度1 利用图象上的点求方程的解的范围 例1 〔解析〕由表格中的数据，得在6.17＜x＜6.20范围内，y随x的增 大而增大，当x=6.18时，y=-0.01，当x=6.19时，y=0.02，故方程 ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18＜x＜6.19. x 6.17 6.18 6.19 6.20 y -0.03 -0.01 0.02 0.06 【解题归纳】根据函数y=ax2+bx+c图象上的点的坐标确定方程 ax2+bx+c=0的根的范围，就是求出函数值为0时对应的x的取值范 围
针对性训练 1(2015沙县校级质检已知二次函数y=x2+2x-k小聪 利用计算器列出了下表: x 4.1 4.2 4.3 4 y=x2+2xk-1.39 0.76 0.11 0.56 那么方程x2+2x-k=0的一个近似根是(C) A,-4.1 B.-4.2C.-4.3 D.-4.4 「提示:由v=x2+2xk的图象及性质得x<1时y随x的增 大而减小当x=4.4时=056,当x=4.3时y=-01, x2+2x-k=0的一个近似根满足44<x<-4.3, -0.1|=0.11410.56=0.56,x2+2x-k=0的一个近似根 是x-4.3
1.(2015·沙县校级质检)已知二次函数y=x2+2x-k,小聪 利用计算器列出了下表: 那么方程x 2+2x-k=0的一个近似根是( ) A.-4.1 B.-4.2 C.-4.3 D.-4.4 x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y=x2+2x-k -1.39 -0.76 -0.11 0.56 C [提示:由y=x2+2x-k的图象及性质,得x<-1时,y随x的增 大而减小.当x=-4.4时,y=0.56,当x=-4.3时,y=-0.11, ∴x 2+2x-k=0的一个近似根满足-4.4<x<-4.3, ∵|-0.11|=0.11<|0.56|=0.56,∴x 2+2x-k=0的一个近似根 是x≈-4.3.]
考查角度2利用图象的平移或对称求方程的解 例2若二次函数y=m(x+h)2+k(m,1,均为常数,m0的 图象与x轴的交点分别为(3,0,2,0),则方程m(x+h-2)2+ k=0的两根为(B) A1=52=0 B.x1=1,=4 x1=2x,=4 D. 5x2=1 〔解析〕二次函数y=mx+h-2)2+k的图象可以看成是二次函数 y=m(x+h)2+k的图象向右平移2个单位得到的则其与x轴的交点为 (-1,0),4,0)方程m(x+h-2)2+k=0的两根可以看成是函数y=m(x+h 2)2+k的图象与x轴的两个交点的横坐标即为x1=1,x2=4 【解题归纳】二次函数y=m(x+h-2)2+k与y=mx+h)2+k的图象 形状相同位置不同可以通过平移互相得到
考查角度2 利用图象的平移或对称求方程的解 若二次函数y=m(x+h) 2+k(m,h,k均为常数,m≠0)的 图象与x轴的交点分别为(-3,0),(2,0),则方程m(x+h-2)2+ k=0的两根为( ) A.x1=-5,x2=0 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-2,x2=4 D.x1=-5,x2=1 例2 〔解析〕二次函数y=m(x+h-2)2+k的图象可以看成是二次函数 y=m(x+h) 2+k的图象向右平移2个单位得到的,则其与x轴的交点为 (-1,0),(4,0).方程m(x+h-2)2+k=0的两根可以看成是函数y=m(x+h- 2)2+k的图象与x轴的两个交点的横坐标,即为x1=-1,x2=4. 【解题归纳】二次函数y=m(x+h-2)2+k与y=m(x+h) 2+k的图象 形状相同,位置不同,可以通过平移互相得到. B
针对性训练 2.(2015广州模拟)小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的 根,作出如图所示的图象并求得一个近似根x34,则方 程的另一个近似根(精确到0.1)为(D 3-2 A,4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4 提示:由题意知抛物线与x轴的一个交点为(-34,0)又抛 物线的对称轴为直线x=1,另一个交点坐标为140), 则方程的另一个近似根为141
2.(2015·广州模拟)小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的 根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x≈-3.4,则方 程的另一个近似根(精确到0.1)为 ( ) A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4 [提示:由题意知抛物线与x轴的一个交点为(-3.4,0),又抛 物线的对称轴为直线x=-1,∴另一个交点坐标为(1.4,0), 则方程的另一个近似根为1.4.] D
考查角度3函数图象的交点与方程组的解 例3利用函数图象求方程组 3x+3, 的解 y=x-x 解析〕将3x+3与=x2看成两个函数的解析式在直角坐标系 中画出这两个函数的图象则它们交点的坐标就是该方程组的解 解:如图所示在同一直角坐标系中画出函数y=3x+3与y=x2-x的图象, 观察图象可知它们的交点坐标是(-3,12)1,0), i方程组的解为=-3,/x2=4, y=12,(y2=0
考查角度3 函数图象的交点与方程组的解 例 利用函数图象求方程组 的解. 3 〔解析〕将y=-3x+3与y=x2 -x看成两个函数的解析式,在直角坐标系 中画出这两个函数的图象,则它们交点的坐标就是该方程组的解. 解:如图所示,在同一直角坐标系中画出函数y=-3x+3与y=x2 -x的图象， 2 y x3 3 y x x = − + = − ， 观察图象可知它们的交点坐标是(-3,12),(1,0)， ∴方程组的解为: 1 1 3 12 x y = − = ， ， 2 2 4 0. x y = =
息针对性训练 3如图所示抛物线y=x2与直线y=x+交于AB两点求 △AOB的面积 B y= X 解:由题意得 解得 J=x+2 y1=4,(y2=1 AB两点的坐标分别为(-1,1),(2,4) 直线=x+2与y轴的交点C的坐标为(0,2), ∴S △AOB-△AOC 1×2+×2×2=3 +S△BOC-2
3.如图所示,抛物线y=x2与直线y=x+2交于A,B两点,求 △AOB的面积. 解:由题意,得 解得 ∴A,B两点的坐标分别为(-1,1),(2,4) ∵直线y=x+2与y轴的交点C的坐标为(0,2), 2 , 2 y x y x = = + ， 1 1 1 2 2, 1, 4 1, x x y y = = − = = ， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×1×2+ ×2×2=3. 1 2 1 2
类型题】利用函数图象求不等式的解集 考查角度1利用图象求自变量的取值范围 例4阅读材料,解答问题:利用图象法解一元二次不等式2+2x3-0 解:设y=x2+2x-3,则y是x的二次函数∵a=1>0, ∴抛物线开口向上当y=0时,x2+2x3=0,解得x1=1x2=3. 432 二次函数y=x2+2x-3的大致图象如图22-45所示 观察函数图象可知当30的解集; 图22-45 (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式224x+6>0 〔解析〕(1)根据函数图象写出抛物线在轴上方部分对应的x的取值范围即 可:()先判断出抛物线开口向下,再令y=0求出抛物线与轴的交点的横坐标,画出 函数的图象然后写出抛物线在λ轴上方部分对应的的取值范围即可
利用函数图象求不等式的解集 阅读材料,解答问题：利用图象法解一元二次不等式x 2+2x-30, ∴抛物线开口向上.当y=0时,x 2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3. ∴二次函数y=x2+2x-3的大致图象如图22 - 45所示. 观察函数图象可知当-30的解集; (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式-2x 2 -4x+6>0. 考查角度1 利用图象求自变量的取值范围 例4 〔解析〕(1)根据函数图象,写出抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围即 可;(2)先判断出抛物线开口向下,再令y=0求出抛物线与x轴的交点的横坐标,画出 函数的图象,然后写出抛物线在x轴上方部分对应的x的取值范围即可
解:(1)x2+2x-3>0的解集是x>1或x0. 图22-46 2x2-4x+6>0的解集是-30(a+0)的解集在轴下方的部分对应 的的取值范围就是不等式ax2+bx+c<0(a0)的解集
解:(1)x 2+2x-3>0的解集是x>1或x0. ∴-2x 2 -4x+6>0的解集是-30(a≠0)的解集;在x轴下方的部分对应 的x的取值范围就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集
·针对性训练 4.(2015·洛阳校级月考)二次函数y=ax2+bx+c(a(0)的图象如图所示根据图象解答 下列问题(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3) 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4若方程ax2+bx+C=k有两个不相等的实数根求k的取值范围.y 解:(1)由图象可知图象与x轴交于点(1,0和(3,0), 则方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或3 (2)由图象可知当10的解集为1-x2时y随x的增大而减小 (4)由图象可知二次函数y=ax2+bx+c(a=0)的最大值为2若方程ax2+bx+c=k有 两个不相等的实数根则k必须小于y=ax2+b+c(am+0)的最大值,即k<2
4.(2015·洛阳校级月考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答 下列问题.(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3) 写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 解:(1)由图象可知图象与x轴交于点(1,0)和(3,0), 则方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3. (2)由图象可知当10的解集为12时,y随x的增大而减小. (4)由图象可知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为2.若方程ax2+bx+c=k有 两个不相等的实数根,则k必须小于y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值,即k<2