第二十二章二次函数 22.2二次函数与一元二次方程 、阅读课本:22用函数观点看一元二次方程相关内容 、学习目标 知道二次函数与一元二次方程的关系 会用一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac判断二次函数y=ax2+bx +c与x轴的公共点的个数 三、探索新知 1.问题:如图,以40ms的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路 线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间 t(单位:s)之间具有关系h=20t-5t 考虑以下问题 (1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间 2.观察图象 (1)二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有个交点,则一元二次方程x2+x-2 =0的根的判别式△ 0 (2)二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有 个交点,则一元二次方程 x2-6x+9=0的根的判别式△ (3)二次函数y=x2-x+1的图象与x轴 公共点,则一元二次方程x2-x +1=0的根的判别式△ 四、理一理知识 1.已知二次函数y=-x2+4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次 方程 反之,解一元二次方程一x2+4x=3又可以看作已知二次函数 的函数值为3,求自变量x的值 一般地:已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作 解一元二次方程ax2+bx+c=m.反之,解一元二次方程ax2+bx+c=m又可以看 第1页
第 1 页 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 一、阅读课本：22.2 用函数观点看一元二次方程相关内容 二、学习目标： 1．知道二次函数与一元二次方程的关系． 2．会用一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式△＝b 2－4ac 判断二次函数 y＝ax2＋bx ＋c 与 x 轴的公共点的个数． 三、探索新知 1．问题：如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路 线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系 h＝20t－5t2． 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 2．观察图象： （1）二次函数 y＝x 2＋x－2 的图象与 x 轴有____个交点，则一元二次方程 x 2＋x－2 ＝0 的根的判别式△＝_______0； （2）二次函数 y＝x 2－6x＋9 的图象与 x 轴有___________个交点，则一元二次方程 x 2－6x＋9＝0 的根的判别式△＝_______0； （3）二次函数 y＝x 2－x＋1 的图象与 x 轴________公共点，则一元二次方程 x 2－x ＋1＝0 的根的判别式△_______0． 四、理一理知识 1．已知二次函数 y＝－x 2＋4x 的函数值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次 方程__________________．反之，解一元二次方程－x 2＋4x＝3 又可以看作已知二次函数 __________________的函数值为 3，求自变量 x 的值． 一般地：已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的函数值为 m，求自变量 x 的值，可以看作 解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝m 又可以看
作已知二次函数y=ax2+bx+c的值为m,求自变量x的值 2.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的位置关系 元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac (1)当△=b2-4ac>0时 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点; (2)当△=b-4=0时<>抛物线y=a2+bx+与x轴只有一个交点 (3)当△=b2-4c抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点 五、基本知识练习 二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y= 2.二次函数y=x2-4x+6,当x=时,y=3 3.如图 元二次方程ax2+bx+c=0 的解为 4.如图 元二次方程ax2+bx+c=3 的解为 5.如图 填空 (1)a (2)b (3) (4)b2-4ac 六、课堂训练 1.特殊代数式求值 ①如图 看图填空: (1)a+b+c (2)a-b+c ②如图 x=1 2a+b y-ax+bx +e 4a+2b+ 2.利用抛 元二次不等式 x)方程ax2+bx+c=0的根为 第2页
第 2 页 作已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的值为 m，求自变量 x 的值． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的位置关系： 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的判别式△＝b 2－4ac． （1）当△＝b 2－4ac＞0 时 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点； （2）当△＝b 2－4ac＝0 时 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴只有一个交点； （3）当△＝b 2－4ac＜0 时 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴没有公共点． 五、基本知识练习 1．二次函数 y＝x 2－3x＋2，当 x＝1 时，y＝________；当 y＝0 时，x＝_______． 2．二次函数 y＝x 2－4x＋6，当 x＝________时，y＝3． 3．如图， 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的解为________________ 4．如图 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝3 的解为_________________ 5．如图 填空： （1）a________0 （2）b________0 （3）c________0 （4）b 2－4ac________0 六、课堂训练 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空： （1）a＋b＋c_______0 （2）a－b＋c_______0 （3）2a－b _______0 ②如图 2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0 2．利用抛物线求解一元二次方程及一元二次不等式 （1）方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为___________；
(2)方程 3的根为 (3)方程ax2+bx+c=-4的根为 (4)不等式ax2+bx+c>0的解集为 (5)不等式ax2+bx+c0时,x的范围为 (10)当y0,函数y=ax2与y=ax+b的图象大致是() 5、二次函数y=x2+4x+a的最小值是2,则a的值是() A.4 C 6、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有() A.a>0,b>0 B.a>0,c>0C.b>0,c>0 D.a、b、c都小于0 7、关于函数y=2x2-8x,下列叙述中错误的是() A.函数图象经过原点 B.函数图象的最低点是(2,-8) C.函数图象与ⅹ轴的交点为(0,0),(4,0) D.函数图象的对称轴是直线x=-2 8、若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为() 14 、填空题 第3页
第 3 页 （2）方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根为__________； （3）方程 ax2＋bx＋c＝－4 的根为__________； （4）不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为________； （5）不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为________； （6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0 的解集为________． 七、目标检测 根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0； （8）方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为__________； （9）当 y＞0 时，x 的范围为___________； （10）当 y＜0 时，x 的范围为___________； 八、课后训练 一、选择题 1、若 y＝（2－m） 2 m 3 x − 是二次函数，且图象开口向上，则 m 的值为（ ） A. 5 B. － 5 C. 5 D. 0 2、直线 y＝2x－1 与抛物线 y＝x 2 的交点坐标是（ ） A. （0，0），（1，1） B. （1，1） C. （0，1），（1，0） D. （0，－1），（－1，0）; 3、如图所示，二次函数 y＝x 2－4x＋3 的图象交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于点 C， 则 △ABC 的面积为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 1 4、若 ab＞0，函数 y＝ax2 与 y＝ax＋b 的图象大致是（ ） 5、二次函数 y＝x 2＋4x＋a 的最小值是 2，则 a 的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6、已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ） A. a＞0，b＞0 B. a＞0，c＞0 C. b＞0，c＞0 D. a、b、c 都小于 0 7、关于函数 y＝2x2－8x，下列叙述中错误的是（ ） A. 函数图象经过原点 B. 函数图象的最低点是（2，－8） C. 函数图象与 x 轴的交点为（0，0），（4，0） D. 函数图象的对称轴是直线 x＝－2 8、若抛物线 y＝ax2－6x 经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ ） A. 13 B. 10 C. 15 D. 14 二、填空题
9、已知抛物线y=4x2-11x-3,求它与x轴、y轴的交点坐标是 三、解答题 10.已知二次函数y=x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A,C两点求△ABC的周 长和面积 11已知二次函数y=(1-m)x+4X-3的图象与x轴交于点A和B,与y轴交于点C (1)求点C的坐标 (2)若点A的坐标为(1,0),求二次函数的解析式: (3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点P,使以P、O、B为顶点的三角形与△ AOC相似?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由 【课后训练参考答案】 2、B3、C4、D5、C6、C7 二、9、与x轴的交点坐标为(-0.25,0),(3,0),与y轴的交点坐标为(0,-3) 三、10、令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3) 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3 故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0) 所以AC=31=2,AB=√2+32=√0,BC=32+32=3√2,OB=|-3=3 C△ABC=AB+BC+AC=2+√0+32 S△ABC=-AC·OB=-×2×3=3. l1、(1)C(0,-3) (2)将(1,0)代入y=(1-m)x2+4x-3中,得m=2,所以二次函数的解析式为 (3)存在这样的点P,它的坐标分别为(0,1),(0,-1),(0,9),(0,-9) 第4页
第 4 页 9、已知抛物线 y＝4x 2－11x－3，求它与 x 轴、y 轴的交点坐标是 三、解答题 10.已知二次函数 y=-x 2+4x-3,其图象与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于 A, C 两点. 求△ABC 的周 长和面积. 11、已知二次函数 (1 ) 4 3 2 y = − m x + x − 的图象与 x 轴交于点 A 和 B，与 y 轴交于点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）若点 A 的坐标为（1，0），求二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 P，使以 P、O、B 为顶点的三角形与△ AOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【课后训练参考答案】 一、1、B 2、B 3、C 4、D 5、C 6、C 7、D 8、B 二、9、与 x 轴的交点坐标为（－0.25，0），（3，0），与 y 轴的交点坐标为（0，－3）． 三、10、令 x=0,得 y=-3,故 B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得 x1=1,x2=3. 故 A、C 两点的坐标为(1,0),(3,0). 所以 AC=3-1=2,AB= 2 2 1 3 10 + = ,BC= 2 2 3 3 3 2 + = , OB=│-3│=3. C△ABC=AB+BC+AC= 2 10 3 2 + + . S△ABC= 1 2 AC·OB= 1 2 ×2×3=3. 11、（1）C（0，－3）； （2）将（1，0）代入 (1 ) 4 3 2 y = − m x + x − 中，得 m＝2，所以二次函数的解析式为 2 y x x = − + − 4 3 ； （3）存在这样的点 P，它的坐标分别为（0，1），（0，－1），（0，9），（0，－9）． 15 题