人教版九年级数学22.2二次函数与一元二次方程的关系练习(含答案) 二次函数与一元二次方程的关系 知识要点: 1.二次函数与一元二次方程的关系 般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图像可得如下结论 (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标为x0,那么当x=xo时, 函数值是0,因此x=x0是方程的ax2+bx+c=0的一个根 (2)二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公 共点,有两个公共点这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况:没有实数根,有 两个相等实数根,有两个不相等实数根。 2利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根.具 体过程如下 ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c ②观察图象,确定抛物线与x轴的交点的横坐标 ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根 3用两点夹逼法估计一元二次方程的根,具体方法如下:在交点(抛物线与x轴的交 点)的两侧各取一点, 则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间 单选题 1.如图,一次函数=-x与二次函数为均2=ax+bx+c的图象相交于点M, N,则关于x的一元二次方程x2+(b+1)x+C=0的根的情况是 试卷第1页,总8页
试卷第 1 页，总 8 页 人教版九年级数学 22.2 二次函数与一元二次方程的关系练习（含答案） 二次函数与一元二次方程的关系 知识要点： 1. 二次函数与一元二次方程的关系 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图像可得如下结论. （1）如果抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标为 x0，那么当 x=x0时， 函数值是 0，因此 x=x0是方程的 ax2+bx+c=0 的一个根. （2）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公 共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况：没有实数根，有 两个相等实数根，有两个不相等实数根。 2.利用抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点的横坐标求一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根．具 体过程如下： ①在平面直角坐标系中画出抛物线 y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与 x 轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根． 3.用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与 x 轴的交 点）的两侧各取一点， 则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间． 一、单选题 1．如图，一次函数 1 与二次函数为 的图象相交于点 ， y x 2 2 y ax bx c M N ，则关于 x 的一元二次方程 的根的情况是（ ） 2 ax (b 1)x c 0
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 【答案】A 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况 是 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 C.有两个同号的实数根 D.没有实数根 【答案】D 3.抛物线y=-3x2+2x-1与y轴的交点坐标为() B.(0.-1) 【答案】B 4.根据下面表格中的对应值 3.24 3.25 3.26 ax-TDxtc □0.02 0.01 0.03 判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的一个解x的范围是() A.x3.26 【答案】B 试卷第2页,总8页
试卷第 2 页，总 8 页 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】A 2．已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根的情况 是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个同号的实数根 D．没有实数根 【答案】D 3．抛物线 与 轴的交点坐标为（ ） 2 y 3x 2x 1 y A． B． C． D． 0,1 0,1 1,0 1,0 【答案】B 4．根据下面表格中的对应值： x 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03 判断关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解 x 的范围是（ ） A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26 【答案】B
5.已知二次函数y=(k2)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( C.k3且k2 【答案】C 6.若二次函数y=x202x+c的图象与x轴没有交点,则c的值可能是() 【答案】D 7.二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点,则此公共点的坐标是( (1,0) C.(01,0)或(2,0)D.(口1,0)或(1,0) 【答案】D 8.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是() A.0个B.1个C.2个D.3个 【答案】B 9.函数y=ax2+bx+c(a≠0的图象如图所示,那么关于x的方程x2+bx+c=0的根的 情况是 A.有两个不相等的实数根B.有两个同号的实数根 C.有两个相等实数根D.无实数根 【答案】A 试卷第3页,总8页
试卷第 3 页，总 8 页 5．已知二次函数 y=（k﹣2）x 2+2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（ ） A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3 且 k≠2 D．k＜2 【答案】C 6．若二次函数 y=x2﹣2x+c 的图象与 x 轴没有交点，则 c 的值可能是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】D 7．二次函数 y=x2+bx+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（ ） A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0）或（﹣2，0） D．（﹣1，0）或（1，0） 【答案】D 8．已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根，则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 9．函数y = ax 的图象如图所示，那么关于 的方程 的根的 2 + bx + c(a ≠ 0) x ax 2 + bx + c = 0 情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个同号的实数根 C．有两个相等实数根 D．无实数根 【答案】A
10.函数y=kx2+(2k+1)x+1的图象与x轴的交点有 A.2个 B.1个 或2个 【答案】A 11.抛物线y=-2x2-x+2与坐标轴的交点个数是() 【答案】A 12.若抛物线y=x22x口1与x轴的交点坐标为(a,0),则代数式a2口2a+2017的值 为() A.2019B.2018C.2017D.2016 【答案】B 13.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为() A.-1或2B.-1或1 C.1或2D.一1或2或1 【答案】D 14.根据下面表格中的对应值: 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.02 判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数的一个解x的范围是() A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<X<3.26 【答案】C 试卷第4页,总8页
试卷第 4 页，总 8 页 10.函数 y=kx2+（2k+1）x+1 的图象 与 x 轴的交点有 A．2 个 B．1 个 C．0 个 D．1 或 2 个 【答案】A 11．抛物线 y＝－2x2－x＋2 与坐标轴的交点个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 12．若抛物线 y=x2﹣2x﹣1 与 x 轴的交点坐标为（a，0），则代数式 a 2﹣2a+2017 的值 为（ ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】B 13．若函数 y＝(a－1)x 2－4x＋2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为( ). A．－1 或 2 B．－1 或 1 C．1 或 2 D．－1 或 2 或 1 【答案】D 14．根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 为常数)的一个解 x 的范围是( ) A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 【答案】C
、填空题 15.抛物线y=x2+3x+2与y轴的公共点的坐标是 【答案】(0,2) 16.二次函数y=x2+bx+C的图象如图所示 +bx+c=0的两根分别是 【答案】-3, 17.二次函数y=x2n3x+c的图象与x轴有且只有一个交点,c 【答案】 18.函数y=2x2中,自变量x的取值范围是,函数值y的取值范围是 【答案】全体实数y20 三、解答题 19.抛物线y=ax-4x+c经过A(-1,-1)和B(3,·9) (1)求该二次函数的表达式 (2)直接写出当y>0时,x的取值范围; 3)若点Pm,m)在该函数图像上,求点P的坐标 【答案】 解:(1)根据题意得:(9a-12+c=9, 试卷第5页,总8页
试卷第 5 页，总 8 页 二、填空题 15．抛物线 与 y 轴的公共点的坐标是____________． 2 y x 3 x 2 【答案】（0，2） 16．二次函数 的图象如图所示，则 的两根分别是 2 y x bx c 2 x bx c=0 _________. 【答案】-3，1 17．二次函数 y＝x 2﹣3x+c 的图象与 x 轴有且只有一个交点，c＝_____． 【答案】 9 4 18．函数 y=2x2中，自变量 x 的取值范围是____，函数值 y 的取值范围是____． 【答案】全体实数 y≥0. 三、解答题 19．抛物线y = ax 经过 和 . 2 - 4x + c A( - 1, - 1) B(3, - 9) （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出当y > 0时，x的取值范围； （3）若点P(m,m)在该函数图像上，求点P的坐标. 【答案】 .解：（1）根据题意得：{ ， a + 4 + c =- 1 9a - 12 + c =- 9
解得:c=6 所以抛物线的解析式为y=x-4x-6 (2)令x-4x-6=0 解得X=2+√10,x2=2-0, 根据二次函数的性质可得y>0时X的取值范围是X2+y10 (3)把P(mm)代入y=x-4x-6,得m=m-4m-6 解得 P点的坐标为(-1,-1)或(6,6 故答案为:(1)y=x2-4x-6;(2)x2+√10.(3)P点的坐标为 (-1,-1)或(66) 21.我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数 y=x+1,令y=0,可得x=1,我们就说x=1是函数y=x+1的零点已知函数 y=x2-2(m+1)x-2(m+2) (m为常数).(1)当m=1时,求该函数的零点; (2)证明:无论m取何值,该函数总有两个零点; (3)设函数的两个零点分别为x和x2,且 ×中 -,求此时的函数解析式,并 判断点(n+2,n2-10)是否在此函数的图象上 【答案】(1)、当m=-1时,该函数为y=x2-2,令y=0,可得x=±√2 当m=-1时,该函数的零点为x=√2和x=-√2 (2)令y=0,得△=[2(m+-4[-2(m+2)]=4m+2)2+1>0 试卷第6页,总8页
试卷第 6 页，总 8 页 解得：{ ， a = 1 c =- 6 所以抛物线的解析式为y = x ； 2 - 4x - 6 （2）令x ， 2 - 4x - 6 = 0 解得x1 = 2 + 10 ，x2 = 2 - 10 ， 根据二次函数的性质可得y > 0时x的取值范围是x 2 + 10 （3）把P(m,m)代入y = x ，得 ， 2 - 4x - 6 m = m 2 - 4m - 6 解得：m1 =- 1 ，m2 = 6 ， ∴P点的坐标为 或 . ( - 1, - 1) (6,6) 故答案为：（1）y = x ；（2） 或 ；（3） 点的坐标为 2 - 4x - 6 x 2 + 10 P 或 . ( - 1, - 1) (6,6) 21．我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点 . 例如，对于函数 y=-x+1，令 y=0，可得 x=1，我们就说 x=1 是函数 y=-x+1 的零点 .己知函数 y=x 2 -2(m+1)x-2(m+2) (m 为常数 ) .（1）当 m=-1 时，求该函数的零点； （2）证明：无论 m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为 x1 和 x2 ，且 ，求此时的函数解析式，并 3 1 1 2 1 2 x x 判断点 (n+2，n 2 -10)是否在此函数的图象上 . 【答案】(1)、当 m 1时，该函数为 ，令 ，可得 . 2 y x 2 y 0 x 2 ∴当 m 1时，该函数的零点为 x 2 和 x 2 . (2)、令 y 0，得 2 2 2(m 1) 4 2(m 2) 4(m 2) 1 0
∴无论m取何值时,方程x2-2(m+1)x-2(m+2)=0总有两个不相等的实数根,即 无论m取何值,该函数总有两个两个零点 (3)、根据题意,得,x+x2=2(m+1),xx2=-2(m+2), 1+1=-2.:x+x2=2 2(m+1)2 23,即 解得m=1 xx 2(m+2)3 函数的解析式为y=x2-4x-6:配方得,y=(x-2)2-10,把x=n+2代入可得 点(n+2,n2-10)在函数y=x2-4x-6的图象上 考点:(1)、新定义型;(2)、二次函数的性质 22.已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于 C、D两点。点P是x轴上的一个动点 (1)求此抛物线的解析式 (2)求C、D两点坐标及△BCD的面积; 【答案 解:(1)、抛物线的顶点为A(1,4), 设抛物线的解析式y=a(x口1)2+4, 把点B(0,3)代入得,a+4=3 解得a=口1, 抛物线的解析式为y=口(xD1)2+4; (2)由(1)知,抛物线的解析式为y=(x口1)2+4 令y=0,则0=(x1)2+4 x=D1或x=3,∴C(口1,0),D(3,0); cD=4 试卷第7页,总8页
试卷第 7 页，总 8 页 ∴无论 m 取何值时，方程 总有两个不相等的实数根，即 2 x 2(m 1)x 2(m 2) 0 无论 m 取何值，该函数总有两个两个零点. (3)、根据题意，得， x1 x2 2(m 1) ， x1x2 2(m 2)， ∵ ，∴ ，即 ，解得 . 3 1 1 2 1 2 x x 1 2 1 2 2 3 x x x x 2( 1) 2 2( 2) 3 m m m 1 ∴函数的解析式为 .∴配方得， ，把 代入可得 2 y x 4x 6 2 y (x 2) 10 x n 2 . 2 y n 10 ∴点( 2 10) 在函数 的图象上. 2 n ，n 2 y x 4x 6 考点：(1)、新定义型；(2)、二次函数的性质 22．已知抛物线的顶点为 A（1，4)，抛物线与 y 轴交于点 B（0，3），与 x 轴交于 C、D 两点。点 P 是 x 轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求 C、D 两点坐标及△BCD 的面积； 【答案】 解：(1)、∵抛物线的顶点为 A（1，4）， ∴设抛物线的解析式 y=a（x﹣1）2+4， 把点 B（0，3）代入得，a+4=3， 解得 a=﹣1， ∴抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣1）2+4； (2)由（1）知，抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣1）2+4； 令 y=0，则 0=﹣（x﹣1）2+4， ∴x=﹣1 或 x=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∴CD=4
S△BCD=2cDbB=2×4×3=6 试卷第8页,总8页
试卷第 8 页，总 8 页 ∴S△BCD= CD×|yB|= ×4×3=6； 1 2 1 2