nrEDU. com 4.5 角形的中位线
4.5 三 角 形 的 中 位 线
·(二)探究新知图4-119中,D,E分别 nrEDU. com 是AD,AC的中点,所以DE是△ABC的 中位线。注意:三角形的中位线和三角形的中线不同 如图4-120,DE是△ABC的一条中位线, 如果过D作DE//BC,交AC于DE,那么,DE 和DE会有怎样的关系?为什么? ·DE和DE应该重合。因为根据平行线等 分线段定理推论2,E与E应该重合。 ·因为根据平行线等分线段定理推论2,E 应是AC的中点,又因为点E也是AC的中 点,根据线段中点的唯一性可知,E和E E(E) 重合,所以DE和DE`重合,因此DE//BC。D B4 C (图4-121)
• （二）探究新知 图4-119中，D，E分别 是AD， AC的中点，所以DE是ΔABC的 中位线。注意：三角形的中位线和三角形的中线不同 • 如图4-120，DE是ΔABC的一条中位线， 如果过D作DE`//BC，交AC于DE,那么，DE 和DE`会有怎样的关系？为什么？ • DE和DE`应该重合。因为根据平行线等 分线段定理推论2，E`与E应该重合。 • 因为根据平行线等分线段定理推论2，E` 应是AC的中点，又因为点E 也是AC的中 点，根据线段中点的唯一性可知，E和E` 重合，所以DE和DE`重合，因此DE//BC。 A B C D E(E') （图4-121）
如图4-121,过D点作DF∥AC交BC于F,则BF与 FC有怎样的关系,为什么?四边形DFCE是什 nrEDU. com 么形?(BF=FC,根据平行线等分线段定理的 推论2,四边形DFCE是平行四边形) 所以DE=C 因为FC=1/2BC 所以DE=1/2BC 2.三角形中位线定理三角形的中位线平行于 第三边,并且等于它的一半。 因为DE是ΔABC的中位线。 所以DE/BCDE=1/2BC,(三角形中位D 线定理) E(E 注意:定理的特点是,在一个题设下,有两个结论,一个结 论是表明位置关系的,另一个结论是表明数量关系的。在应用时, 不一定同时需平行关系,有时需要倍分关系,可以根据具体情况, 按需选用。 B (图4-120)
• 如图4-121，过D点作DF//AC交BC于F，则BF与 FC有怎样的关系，为什么？四边形DFCE是什 么形？（BF=FC，根据平行线等分线段定理的 推论2，四边形DFCE是平行四边形） 所以 DE=FC 因为 FC=1/2BC 所以 DE=1/2BC 2．三角形中位线定理 三角形的中位线平行于 第三边，并且等于它的一半。 因为 DE是ΔABC的中位线。 所以 DE//BC DE=1/2BC，（三角形中位 线定理） • 注意：定理的特点是，在一个题设下，有两个结论，一个结 论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的。在应用时， 不一定同时需平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况， 按需选用。 A B C D E(E') F （图4-120）
(例1)求证:顺次连结四边形四条边 nrEDU. com 的中点,所得到的四边形是平行四边形 已知:如图4-122,四边形ABCD中,E,F, G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点 求证:四边形EFGH是平行四边形 分析:欲证四边形EFGH为平行四边形 A 可考虑证明它的两组对边分别平行,由于 E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的 中点,若连AC则EF,HG分别是△ABC和E △ADC的中位线,所以EF//=1/2AC HG//=1/2AC,故EF//=HG,所以四边形 EFGH为平边四边形 B C 证明:连结AC, (图4-122)
（ 例1） 求证：顺次连结四边形四条边 的中点，所得到的四边形是平行 四边形。 已知：如图4-122，四边形ABCD中，E，F， G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 分析：欲证四边形EFGH为平行四边形， 可考虑证明它的两组对边分别平行，由于 E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的 中点，若连AC则EF，HG分别是ΔABC和 ΔADC 的中位线 ， 所 以 EF//=1/2AC ， HG//=1/2AC ， 故 EF//=HG ， 所以四边形 EFGH为平边四边形。 证明：连结AC， A B C D E F G （图4-122）
因为AH=HDCG=DG, nrEDU. com 所以HG//ACHG=1/2AC(三角形中位线定理) 同理可证:EF//AC,EF=1/2AC, 所以HG//=EF 所以四边形EFGH是平行四边形。 (三)练习 1画出△ABC的中线,中位线,并说出它们的区别 2(口答)A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连结A 和BC,并分别找出AC和BC的中点,M,N。如果测得MN=20cm,那 么A,B两点的距离是多少?为什么? 3已知:三角形的各边分别为6cm、8cm、10cm求连接各边 中点构成的三角形的周长
因为AH=HD CG=DG， 所以HG//AC HG=1/2AC（ 三角形中位线定理） 同理可证：EF//AC，EF=1/2AC， 所以HG//=EF 所以四边形EFGH是平行四边形。 （三）练习 1 画出ΔABC的中线，中位线，并说出它们的区别。 2 （口答）A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC 和BC，并分别找出AC和BC的中点，M，N。如果测得MN=20cm，那 么A，B两点的距离是多少？为什么？ 3 已知：三角形的各边分别为6cm、8cm、10cm,求连接各边 中点构成的三角形的周长
4已知:梯形ABCD,AD//BC,对角线AC,BD相 nrEDU. com 交于点0,A′,B′,C′,D′分别是A0,BO, C0,DO的中点。 求证:(1)四边形A′B′C′D′分别是梯形; 2)梯形ABCD的周长等于梯形A′B′C′D′周 长2倍 5如图4-123,已知:在ΔABC中,AD⊥BC,M, N,P分别是AB,BC,CA的中点。 求证:∠MNP=∠MDP A P B 图4-123)
4 已知：梯形ABCD，AD//BC，对角线AC，BD相 交于点O，A′ ，B′ ，C′ ，D′分别是AO，BO， CO，DO的中点。 求证：（1）四边形A′B′C′D′分别是梯形； （2）梯形ABCD的周长等于梯形A′B′C′D′周 长2倍。 5 如图4-123，已知：在ΔABC中，AD⊥BC，M， N，P分别是AB，BC，CA的中点。 求证：∠MNP=∠MDP （图4-123） A B C N D M P 1 2 3
(四)总结 ·1三角形中位线的定义 nrEDU. com ·2三角形中位线定理。 ·3三角形中位线定理的证明方法,关键在于添加辅助线,证明的 方法很多,如下面几种添加辅助线方法也可以证明三角形中位线 位置 ·方法一:如图4-124,延长中位线D到F,使EF=DE,连结CF,由 △ADE≌△CFE得AD/=FC,再由BD=AD,得BD/=CF,所以四边形 DBCF是平行四边形,DF/=BC,因为DE=1/2DF,所以DE//=1/2BC 方法二:如图4-125延长DE到F,使EF=DE,连结AF,DC,由对角 线互相平分 可知四边形ADCF是平行四边形,得到BD//=CF,再由 BD=AD,得到,BD//=CF 所以四边形DBCF是平行四边形,DF//=BC,因为 DE=1/2DF,所以DF//=1/2BC
• (四）总结 • 1 三角形中位线的定义。 • 2 三角形中位线定理。 • 3 三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线，证明的 方法很多，如下面几种添加辅助线方法也可以证明三角形中位线 位置。 • 方法一：如图4-124，延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF，由 ΔADE≌ΔCFE得AD//=FC，再由BD=AD，得BD//=CF，所以四边形 DBCF是平行四边形，DF//=BC，因为DE=1/2DF，所以DE//=1/2BC 。 • 方法二：如图4-125延长DE到F，使EF=DE，连结AF，DC，由对角 线互相平分 • 可知四边形ADCF是平行四边形，得到BD//=CF，再由 BD=AD，得到，BD//=CF • 所 以 四 边 形 DBCF 是 平 行 四 边 形 ， DF//=BC ， 因 为 DE=1/2DF，所以DF//=1/2BC
nrEDU. com 方方法三:如图4-126,作CF//AB,与DE的延长线交于点F,通 过证明△ADE≌△CEF,得 得AD//=CF,再由BD=AD,得到,BD//=CF,所以四边形 DBCF是平行四边形,所以DF//=BC,因为DE=1/2DF,所以 DE//=1/2BC。 注意:以上几种证法的关键是把三角形补成平行四边形来证的,当一个命题 有几种证明方法时,要选用比较简捷的方法进行证明。 11三角形中位线定理的作用 (1)位置关系:可以证明两条直线平行。 (2) 数量关系:可以证明线段的相等倍分 2三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形 ,要会区别三角形与中位线
方 方法三：如图4-126，作CF//AB，与DE的延长线交于点F，通 过证明ΔADE≌ΔCEF，得 得AD//=CF，再由BD=AD，得到，BD//=CF，所以四边形 DBCF 是 平 行 四 边 形 ， 所 以 DF//=BC ， 因 为 DE=1/2DF ， 所 以 DE//=1/2BC。 注意：以上几种证法的关键是把三角形补成平行四边形来证的，当一个命题 有几种证明方法时，要选用比较简捷的方法进行证明。 1 1 三角形中位线定理的作用 （1）位置关系：可以证明两条直线平行。 （2） 数量关系：可以证明线段的相等倍分。 2 三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形 ，要会区别三角形与中位线